أنظمة العدّ الموضعية

الترقيم الموضعي

عند كتابة $2025$ لا نجمع أربعة أرقام، بل يُضرب كل رقم في قوة لـ$10$ تتوقف على منزلته: الرقم $2$ الأول قيمته ألفان؛ والثاني، عشرتان. ويدل الرقم $0$ على أنه لا توجد مئات، وهو بشغله منزلته يُبقي الأرقام الأخرى في المنازل التي تخصها.

هذا المبدأ، المسمى الترقيم الموضعي، لا يتوقف على العدد $10$. إذا كان $b \geq 2$ عددًا طبيعيًا، يسمى الأساس، فإن الأرقام في الأساس $b$ هي الأعداد $0, 1, \ldots, b - 1$، ومتتالية من الأرقام $a_k, a_{k-1}, \ldots, a_1, a_0$، مع $a_k \neq 0$، تمثّل العدد

تُكتب الأرقام متجاورة، من اليسار إلى اليمين، ويُشار إلى الأساس بدليل سفلي: مثلًا، $3412_5$ هو العدد الذي يُكتب في الأساس $5$ بالأرقام $3$ و$4$ و$1$ و$2$، ويُقرأ «$3412$ في الأساس $5$». ونقول إن $a_i$ يشغل المنزلة $i$، مع عدّ المنازل من اليمين بدءًا من $0$. والعدد الذي لا دليل سفليًا له مكتوب في الأساس $10$. وفي الأساس $2$ لا يوجد إلا رقمان، $0$ و$1$، ويسميان بتّين؛ وفي الأساس $16$ تلزم ستة عشر رقمًا، فتضاف إلى الأرقام العشرة المعتادة الحروف A وB وC وD وE وF، وقيمها $10$ و$11$ و$12$ و$13$ و$14$ و$15$.

غير أن قيمة عدد مكتوب في الأساس $b$ يمكن حسابها بإخراج $b$ عاملًا مشتركًا مرة بعد مرة، مما يغني عن حساب القوى: تلك هي قاعدة هورنر.