التطابقات والحساب النمطي

علاقة التوافق

إذا كان اليوم الاثنين، فبعد $15$ يومًا يكون الثلاثاء، وبعد $1000$ يومًا يكون الأحد: ولمعرفة ذلك لا حاجة إلى عدّ الأيام واحدًا واحدًا، بل يكفي باقي قسمة عدد الأيام على $7$. وكذلك بعد $5$ ساعات من الساعة $9$ تكون الساعة $2$ على قرص ساعة ذي $12$ علامة، والرقم الأخير لحاصل ضرب لا يتوقف إلا على الأرقام الأخيرة للعوامل. وفي الحالات الثلاث يُحسب بالبواقي ويُهمل خارج القسمة. وقد وزّع درس قابلية القسمة والقسمة مع الباقي الأعداد الصحيحة في أصناف بحسب باقيها عند القسمة على عدد طبيعي، وبرهن أن باقي المجموع والجداء والقوة لا يتوقف إلا على بواقي المعطيات. ويمنح هذا الدرس تلك الملاحظات لغة خاصة بها، لغة التوافقات (وتسمى أيضًا التطابقات)، التي أدخلها غاوس عام 1801 في كتابه Disquisitiones Arithmeticae، ويجعل منها أداة حساب. وكما في ذلك الدرس، تُستعمل الأعداد الصحيحة مسبقًا، مع قواعد حسابها وترتيبها المبرَّرة في درس الأعداد الصحيحة.

تعريف (التوافق). ليكن $n$ عددًا طبيعيًّا. يُقال إن العددين الصحيحين $a$ و$b$ متوافقان بترديد $n$ إذا كان $n$ يقسم فرقهما $a - b$. ويُكتب $a \equiv b \pmod{n}$ ويُقرأ «$a$ يوافق $b$ بترديد $n$»؛ ويُسمى العدد الطبيعي $n$ ترديد التوافق.

وهكذا $17 \equiv 2 \pmod{5}$، لأن $17 - 2 = 15$؛ و$-3 \equiv 9 \pmod{4}$، لأن $-3 - 9 = -12$؛ ويكون العدد الصحيح زوجيًّا إذا وفقط إذا كان يوافق $0$ بترديد $2$. وأن يكون $a$ مضاعفًا لـ $n$ يُكتب الآن $a \equiv 0 \pmod{n}$. وبترديد $1$ تتوافق الأعداد الصحيحة كلها فيما بينها، لأن $1$ يقسم كل عدد صحيح؛ وهذه الحالة لا فائدة فيها، فيكون الترديد في الأمثلة $2$ على الأقل. والرمز $\equiv$ ذو الخطوط الثلاثة يذكّر بعلامة التساوي، لأن التوافق، كما سيتبين، يسلك سلوك التساوي في كل شيء تقريبًا؛ والاستثناء، أي القسمة، تتناوله فقرة المقلوبات.

التعريف بالفرق هو الأنسب للبراهين، لكن حدس الأمثلة الأولى يتعلق بالباقي. والقضية الآتية تضمن أن الوصفين يقولان الشيء نفسه؛ وقد سبقت الإشارة إلى مضمونها، بصيغة أخرى، في درس قابلية القسمة عند تبرير قواعد قابلية القسمة، وهي تُبرهن هنا بجميع خطواتها.

وبوجه خاص، كل عدد صحيح يوافق بترديد $n$ باقيه، وهو أحد الأعداد الصحيحة $n$ الآتية $0, 1, \ldots, n - 1$، ولا يوافق إلا واحدًا منها، لأن كل عددين من هذه هما باقيا نفسيهما، وإذا اختلفا اختلف باقياهما. والحساب بترديد $n$ هو استبدال كل عدد بممثل مناسب من عموده: باقيه، أو أحيانًا عدد سالب صغير، مثل $-1$ بدلًا من $n - 1$.