أعداد الفاصلة العائمة

الصيغة العلمية في الأساس 2

بيّن الدرس الأعداد الصحيحة وتمثيلها أن العدد الصحيح ذا $n$ بت يمثّل بالضبط $2^n$ قيمة متتالية. غير أن الأعداد ذات المنازل العشرية تطرح صعوبة مختلفة: فبين أي عددين حقيقيين عدد لانهائي من الأعداد الأخرى، ولا يستطيع أي عدد منتهٍ من البتات أن يميّزها جميعًا. والحل الذي تعتمده جميع الحواسيب الحالية هو نفسه الذي يستعمله العلم لكتابة المقادير الكبيرة جدًا أو الصغيرة جدًا: الصيغة العلمية. ففي الأساس 10 تُكتب المسافة المتوسطة بين الأرض والشمس $1.496 \times 10^{11}$ مترًا؛ وللعدد إشارة، وبضعة أرقام معنوية (الجزء المعنوي، $1.496$)، وقوة للأساس (الأس، $11$) تدلّ على موضع الفاصلة. وإذا كان الأمر كذلك، فإن عددًا ثابتًا من الأرقام يغطّي مقادير من رتب شديدة التفاوت، مقابل ألّا يُحفظ من كل مقدار إلا أرقامه الأولى.

والحاسوب يفعل الشيء نفسه في الأساس 2. فكل عدد غير الصفر يُكتب بطريقة وحيدة على الصورة

حيث $s$ هي الإشارة (0 للموجب، و1 للسالب)، و$1.m_1 m_2 \ldots$ هو الجزء المعنوي مكتوبًا بالنظام الثنائي، ورقمه الأول دائمًا 1، و$e$ هو الأس. ولكون الرقم الأول دائمًا 1 نتيجة عملية: لا حاجة إلى حفظه، والبت الذي يُوفَّر يُكسب للدقة. واسم الفاصلة العائمة يصف هذه الصورة تحديدًا: فالفاصلة لا تشغل موضعًا ثابتًا بين الأرقام، بل «تعوم» بحسب الأس.

يستعمل النوع double في C++، في جميع المترجمات الحالية، الصيغة الثنائية مزدوجة الدقة الموحّدة دوليًا، ذات 64 بتًا: بت واحد للإشارة، و11 بتًا للأس، و52 بتًا للجزء المعنوي، من غير الرقم الأول. ويُحفظ الأس مُزاحًا: فحقل البتات الأحد عشر يحتوي $e + 1023$، بحيث يحفظ قيمًا عديمة الإشارة من 1 إلى 2046 لأسس من $-1022$ إلى $1023$ (وقيمتا الحقل 0 و2047 محجوزتان للصفر، والأعداد الصغيرة جدًا، واللانهاية، والقيمة «ليس عددًا»، وسنراها في آخر الدرس). أما النوع float فيستعمل صيغة الدقة الأحادية، ذات 32 بتًا: بت واحد للإشارة، و8 للأس، و23 للجزء المعنوي.

ويمكن رؤية بتات double. فالبرنامج الآتي يستعمل std::bit_cast من ملف الترويسة <bit>، التي تعيد تفسير بتات العدد الأربعة والستين عددًا صحيحًا عديم الإشارة من 64 بتًا، من غير أن تغيّر أيًا منها؛ وهي تُستعمل هنا من غير مزيد شرح، أداةً للنظر في الذاكرة. ومواصفة التنسيق {:064b} تكتب ذلك العدد الصحيح بالنظام الثنائي في 64 رقمًا، كما في الدرس الماضي، و{:016X} بالنظام الست عشري في 16.

#include <bit>#include <cstdint>#include <print>​int main(){    const double tenth{0.1};    // البتات الأربعة والستون للعدد، مقروءة عددًا صحيحًا عديم الإشارة.    const std::uint64_t bits{std::bit_cast<std::uint64_t>(tenth)};    std::println("{:064b}", bits);    std::println("{:016X}", bits);}

00111111101110011001100110011001100110011001100110011001100110103FB999999999999A