Работа и кинетическая энергия

Когда мы прикладываем силу к блоку, нам кажется, что мы добавляем что-то в систему; интуитивно мы говорим, что «мы добавляем энергию», хотя это не обязательно так. Если силы недостаточно, чтобы преодолеть статическое трение, то нельзя сказать, изменился ли блок. Безусловно, мы добавляем что-то в систему, можно сказать, «усилие», но также верно и то, что статическое трение возвращает это «усилие» в противоположном и дополнительном направлении. Однако, когда статическое трение преодолевается, тогда можно различить изменение в системе: теперь она находится в другом состоянии движения. Чтобы создать это новое состояние движения, нам нужно добавить в систему что-то «новое»: это «что-то» называется кинетической энергией.

Теперь у нас есть две физические величины, описывающие состояние физического объекта или системы: линейный импульс, который мы хорошо знаем, представляющий состояние движения, и кинетическая энергия, которую мы начнем изучать и которая, на данный момент, будет представлять то, что мы должны были добавить, чтобы перевести тело или систему из состояния покоя в это состояние движения.

Связь между работой и кинетической энергией

Вернемся к блоку и силе, которая приводит его в движение. Если сила не производит движения, то мы говорим, что она не добавила ничего в систему, а если производит, то мы говорим, что добавляет кинетическую энергию. При возникновении движения тело неизбежно проходит определенный путь, и пока это происходит, сила будет добавлять энергию. Это действие добавления или удаления кинетической энергии мы назовем «выполнением механической работы», таким образом элемент механической работы dW определяется через уравнение

\begin{array}{lr} dW =\vec{F} \cdot d\vec{r} & (1) \end{array}

где \vec{F} — это приложенная сила, а d\vec{r} — элемент перемещения, на котором действует сила. Поскольку эта сила приложена к телу массы m, используя второй закон Ньютона, мы можем записать

\begin{array}{lr} \displaystyle\vec{F} =\frac{d\vec{p}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} & (2) \end{array}

Таким образом, из уравнений (1) и (2) мы получаем

\begin{array}{llr} dW & \displaystyle =m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m\frac{d\vec{r}}{dt} \cdot d\vec{v} = m\vec{v} \cdot d\vec{v} & (3) \end{array}

Интегрируя это последнее выражение для получения полной выполненной работы, мы получим:

\begin{array}{llr} W & = \displaystyle {\int_{i}^{f}} m\vec{v} \cdot d\vec{v} = \left.\frac{1}{2}m \|\vec{v}\|^2 \right|_i^f & \\ \\ & \displaystyle = \frac{1}{2}m \|\vec{v}_f\|^2 - \frac{1}{2}m\|\vec{v}_i\|^2 & (4) \end{array}

Из этого рассуждения мы можем видеть, что механическая работа эквивалентна разнице одной и той же величины в двух разных состояниях: одно соответствует конечному состоянию, а другое начальному. Такая величина соответствует тому, что мы должны были добавить (или убрать), чтобы изменить состояние движения, и это то, что мы называем кинетической энергией, и, следовательно, она определяется уравнением:

\begin{array}{llr} E_{cin} & \displaystyle = \frac{1}{2}m\|\vec{v}\|^2 & (5) \end{array}

Таким образом, у нас есть:

\begin{array}{llr} W & = \Delta E_{cin} & (6) \end{array}

Это и есть то, что называется теоремой живых сил.

Кинетическая энергия и тормозной путь

Очень распространенная ошибка, которую совершают автомобилисты, состоит в том, что они интуитивно полагают, что тормозной путь прямо пропорционален скорости: если мы удвоим скорость, то тормозной путь также удвоится. В этом разделе мы рассмотрим ошибку, лежащую в основе этого предположения, и покажем, что на самом деле тормозной путь пропорционален квадрату скорости.

Предположим, что у нас есть блок массы m, движущийся по горизонтальной плоскости с начальной скоростью v_i\hat{x} и где есть коэффициент кинетического трения \mu_c. Из этого видно, что существует сила трения, противоположная движению \vec{F}_{roce}=-\mu_c mg\hat{x}, которая будет действовать до тех пор, пока тело не остановится, пройдя тормозной путь x_{fre}. Работа, выполненная этой силой, определяется следующим образом:

\displaystyle W_{roce}= \int_{0}^{x_{fre}} \vec{F}_{roce} \cdot d\vec{l} = \int_{0}^{x_{fre}} -\mu_c mg dx = -\mu_cmgx_{fre}

С другой стороны, изменение кинетической энергии тела, которое начинает движение с начальной скоростью v_i и приходит в покой, имеет конечную скорость v_f=0 равно:

\displaystyle \Delta E_{cin}= \frac{1}{2}m (\underbrace{\color{red}{v_f^2}}_{= 0} - v_i^2) = - \frac{1}{2}mv_i^2

Таким образом, если вся кинетическая энергия рассеивается за счет трения до того, как тело достигнет состояния покоя, мы получим:

\displaystyle \begin{array}{rrl} & W_{roce} & \displaystyle = \Delta E_{cin} \\ \\ \equiv & -\mu_cmg x_{fre} & \displaystyle = - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \\ \equiv & x_{fre} & = \frac{1}{2} \frac{v_i^2}{\mu_c g} \end{array}

Из этого мы получаем то, что хотели показать: что тормозной путь пропорционален квадрату скорости.

Работа и потенциальная энергия

Представьте, что у нас есть тело массы m, которое падает с высоты h_i до конечной высоты h_f (где h_f \leq h_i). Тогда работа, выполненная силой тяжести, будет равна:

\displaystyle W_g = \int_{h_i}^{h_f} \vec{F}_g \cdot d\vec{l} = \int_{h_i}^{h_f} -mgdz = -mg(h_f - h_i)

Из этого мы имеем, что если начальная высота равна h_i = h, а конечная высота на уровне земли h_f = 0, то получится:

\displaystyle W_g = -mg(0 - h) = mgh

Из этого мы имеем, что когда тело падает с высоты h, высвобождается энергия, связанная с его относительным положением в пространстве. Эту энергию мы называем потенциальной энергией.

\displaystyle \begin{array}{rr}{E_{pot} = mgh} & (7)\end{array}

Потенциальная энергия и свободное падение

Вспомним задачу о свободном падении. Используя теперь потенциальную и кинетическую энергию, которую мы изучили, мы можем найти скорость падения гораздо более простым способом. Энергия — это еще одна из тех физических величин, которая обладает свойством сохраняться; то есть она не создается и не уничтожается, а только преобразуется. Когда у нас есть тело, находящееся на высоте h над землей, когда оно падает под действием гравитации, его потенциальная энергия не исчезает, а преобразуется в другую форму энергии: в энергию движения, так что получится:

\begin{array}{rl} E_{pot,inicial} & = E_{cin, final} \\ \\ mgh &\displaystyle = \frac{1}{2}mv^2 \\ \\ v^2 & = 2gh \\ \\ v& =\sqrt{2gh}\end{array}