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Topos Uranos
中文 (中国)

求导法则

摘要

本课从卡拉泰奥多里刻画推导出一些法则，使求导不必每次都回到差商：线性组合、乘积、倒数和商的导数。每条法则都以同样的方式得到：把新函数的增量写成与 x−ax - a 的乘积，其因子在 aa 处连续，而该因子在 aa 处的值就是导数。利用这些法则可以求整数指数幂、多项式和有理函数的导数。本课最后讨论分段函数：在每个分段内部由该分段的公式决定，而在分界点处由单侧导数决定，单侧导数并不总是公式的导数。

学习目标

  1. 用卡拉泰奥多里刻画证明线性组合、乘积、倒数和商的求导法则。
  2. 求整数指数幂、多项式和有理函数的导数，并确定每个导数的定义域。
  3. 借助单侧导数判断分段函数在分界点处是否可导。
  4. 区分法则中的充分条件与必要条件，并识别何时各分段公式的导数给不出函数的导数。

导数只依赖于点附近发生的情况

关于作为极限的导数的课用差商计算了每个导数。对于像 x3−2xx2+1\frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1} 这样的函数，这种计算很长；更好的做法是了解导数在运算下如何表现。本课的所有法则都以同一课中的卡拉泰奥多里刻画为基础：ff 在 aa 处可导，且 f′(a)=Lf'(a) = L，当且仅当存在函数 φ\varphi，在 aa 处连续，φ(a)=L\varphi(a) = L，使得 f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a) 对定义域中任意 xx 成立。因此，要证明一个函数在 aa 处可导，只需把它的增量写成与 x−ax - a 的乘积，其因子在 aa 处连续；该因子在 aa 处的值就是导数。关于极限与连续性的课中的连续函数的运算定理负责因子的连续性。

先要解决一个定义域的问题。两个函数的定义域可能不同，而商 fg\frac{f}{g} 只在 gg 不为零的地方有定义。下面的引理说明，缩小定义域时只要该点仍是聚点，导数就不变，并且导数只依赖于该点附近的值。

引理导数的局部性

设 ff 是定义在 AA 上的函数，aa 是 AA 的元素，BB 是 AA 的子集且包含 aa，FF 是 ff 在 BB 上的限制。

  • 若 aa 是 BB 的聚点且 ff 在 aa 处可导，则 FF 在 aa 处可导，且 F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a)。
  • 若 aa 是 AA 的聚点，且存在 δ>0\delta > 0，使得每个 xx（属于 AA 且 ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta）都属于 BB，则 ff 在 aa 处可导当且仅当 FF 在该点可导，此时 F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a)。

第一个结论就是极限的运算法则中的限制的极限引理；第二个结论是说，极限的定义只看附近的点。

证明

  1. x∈B∖{a}→F(x)−F(a)x−a=f(x)−f(a)x−ax \in B \setminus \{a\} \rightarrow \frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \resaltar{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}

    FF 的差商是一个限制，即在 B∖{a}B \setminus \{a\} 上对 ff 的差商所作的限制。若 aa 是 BB 的聚点，由关于极限的运算法则的课中的限制的极限引理，得到相同的极限。

  2. x∈A∧0<∣x−a∣<min⁡{δ,δ′}→∣f(x)−f(a)x−a−L∣<εx \in A \wedge 0 < \abs{x - a} < \min\{\delta, \delta'\} \rightarrow \resaltar{\abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon}

    在第二种情形下，AA 中每个不等于 aa 且距离小于 δ\delta 的点都在 BB 中：由于 aa 是 AA 的聚点，它也是 BB 的聚点，于是第一个结论给出一个方向的蕴涵。对另一个方向，若 F′(a)=LF'(a) = L，设 ε>0\varepsilon > 0，并设 δ′\delta' 是对 FF 的差商的一个回应；δ\delta 与 δ′\delta' 中较小者是对 ff 的差商的一个回应，因为两个差商在它所覆盖的 xx 处相同。

由第二个结论可知，定义在 AA 上、在 AA 中靠近 aa 的点处相同的两个函数，要么都在 aa 处可导且导数相同，要么都不可导：它们在这些点上的限制相同。由第一个结论可知，若 ff 与 gg 的定义域不同，但都含有点 aa，则可以在两个定义域的交集上讨论，只要 aa 是这个交集的聚点。因此，在下文中，假定 ff 与 gg 定义在同一个集合 AA 上。