自变量趋于无穷大时的极限

无穷大的两种用法

“无穷大”一词在极限的研究中有两种不同的含义，最好从一开始就把它们分开。在第一种含义中，是自变量无限增大，而函数的值趋近于一个数。在第二种含义中，是函数无限增大，而自变量趋近于一个数。因此，下面三个论断是不同的。

• $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$：自变量无限增大，$f$ 的值趋近于数 $L$。例如，$\frac{1}{x}$ 趋近于 $0$（当 $x$ 增大时）。这是本课的对象。
• $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$：自变量趋近于数 $a$，$f$ 的值无限增大。例如，$\frac{1}{x^2}$ 无限增大（当 $x$ 趋近于 $0$ 时）。这是关于无穷极限的课的对象。
• $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$：二者都无限增大，如 $x^2$。这也在关于无穷极限的课中研究。

符号 $\infty$ 不是实数，两种情形也不对称。在第一种情形中，极限存在并且是一个数，即 $L$，对它适用唯一性、极限的运算法则以及所有已知的定理。在第二种情形中，函数没有关于实变量函数的极限的课中所说意义下的极限：写法 $= \infty$ 并不是指一个极限，而是指没有极限的一种精确方式。因此，对数进行运算的极限运算法则，不能像对待一个数那样应用于 $\infty$。

然而，两种情形都可以纳入同一个模式。每个极限定义都说：对关于值的每个挑战，都存在关于自变量的回应。唯一变化的是接近每一种对象意味着什么：

• 自变量接近数 $a$，是指 $0 < \abs{x - a} < \delta$；接近 $\infty$，是指 $x > M$；
• 值接近数 $L$，是指 $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$；接近 $\infty$，是指 $f(x) > N$。

关于极限的课中的定义组合每一行的第一种形式；本课组合第一行的第二种形式与第二行的第一种形式；关于无穷极限的课组合其余的形式。本课的第一个命题用同一个函数展示这两种用法。