Арифметические свойства пределов

План доказательств

На занятии о пределе функции одной действительной переменной с помощью определения было доказано, что $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$, и работа состояла в том, чтобы оценить $\abs{x^2 - 9}$ через кратное $\abs{x - 3}$. Все правила этого занятия имеют ту же форму: чтобы доказать, что функция $F$ стремится к $K$, расстояние $\abs{F(x) - K}$ оценивают через кратное расстояний, о которых уже известно, что они становятся малыми. Если это так, то стоит один раз доказать с помощью ε и δ, что такой оценки достаточно; после этого каждое правило сводится к отысканию подходящего неравенства, и ни одно рассуждение с ε и δ не повторяется.

На всём занятии $f$ и $g$ есть действительные функции, определённые на одном и том же множестве $A$, точка $a$ есть предельная точка множества $A$, и когда говорится, что $f(x)$ обладает некоторым свойством «вблизи $a$», имеется в виду, что существует $r > 0$, такое что этим свойством обладает каждое $x$ из $A$ с $0 < \abs{x - a} < r$. С предыдущего занятия используются определение, единственность предела, пределы постоянной и тождественной функций, лемма о том, что предел зависит лишь от значений вблизи точки, а также локальная ограниченность и сохранение знака.