Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Обратные тригонометрические функции

Краткое содержание

В этом уроке строятся функции, обратные к синусу, косинусу и тангенсу. Так как эти функции периодичны, они не инъективны, и чтобы их обратить, их нужно сузить на промежуток, где каждое значение принимается лишь один раз: синус на [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, косинус на [0,π]\icc{0}{\pi} и тангенс на (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}. Из аксиомы обхода по длине дуги, согласно которой абсцисса точки, совершающей обход, строго убывает на протяжении первого пол-оборота, выводится, что косинус строго убывает на [0,π]\icc{0}{\pi}; отсюда и из симметрий доказывается, что синус и тангенс строго возрастают на своих промежутках и что все три сужения биективны; определяются арксинус, арккосинус и арктангенс, и их графики получаются как отражения относительно прямой y=xy = x. Затем доказываются связывающие их тождества, тщательно различаются равенство sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x, верное всегда, и равенство arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x, верное лишь на промежутке главных значений, и решаются уравнения sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c и tan⁡x=c\tan x = c на одном полном обороте.

Цели обучения

  1. Выводить из аксиомы обхода строгую монотонность косинуса и синуса на их промежутках главных значений, доказывать с её помощью монотонность тангенса и определять три обратные функции с их областями определения и множествами значений.
  2. Строить графики арксинуса, арккосинуса и арктангенса как отражения относительно прямой y=xy = x и вычислять их значения в замечательных точках.
  3. Доказывать тождества композиции, симметрии и дополнительных углов для обратных функций и упрощать выражения, в которых тригонометрические функции сочетаются с обратными к ним.
  4. Решать простейшие тригонометрические уравнения на промежутке [0,2π)\ico{0}{2\pi} с помощью обратных функций и симметрий единичной окружности.

Сужение тригонометрических функций

Согласно уроку курса I о действиях с функциями, функция имеет обратную тогда и только тогда, когда она биективна, и тогда график обратной функции есть отражение её графика относительно прямой y=xy = x. Однако тригонометрические функции, изученные в уроке о тригонометрических функциях и их графиках, не инъективны: синус и косинус имеют период 2π2\pi, а тангенс имеет период π\pi, так что каждое значение повторяется бесконечно много раз. Более того, значения повторяются и в пределах одного периода: по симметрии дополнения до развёрнутого угла, доказанной в уроке о тригонометрических отношениях, выполняется sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x. Если это так, то для обращения этих функций их нужно сузить на промежуток, где они инъективны и где принимают все свои значения. Выбираются промежутки, которые содержат острые углы и на которых функция строго монотонна.

ТеоремаМонотонность на промежутках главных значений

Косинус строго убывает на [0,π]\icc{0}{\pi}; синус строго возрастает на [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, и тангенс строго возрастает на (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

Используются определение синуса и косинуса через точку P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) единичной окружности из урока о тригонометрических отношениях и аксиома обхода по длине дуги, принятая в уроке об углах и их измерении. Монотонность косинуса представляет собой перевод свойства пол-оборота этой аксиомы; монотонность синуса и тангенса доказывается на её основе.

Доказательство

  1. 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi

    Пусть α\alpha и β\beta таковы, что 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi. Точки P(α)P(\alpha) и P(β)P(\beta) суть концы дуг длины α\alpha и β\beta, выходящих из (1,0)(1, 0) против часовой стрелки, и обе лежат на первом пол-обороте обхода, который покрывает верхнюю полуокружность.

  2. 0≤α<β≤π→cos⁡α>cos⁡β\dato{c}{0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \cos \alpha > \cos \beta}

    По свойству пол-оборота из аксиомы на протяжении первого пол-оборота абсцисса точки, совершающей обход, строго убывает: абсцисса точки P(α)P(\alpha) больше абсциссы точки P(β)P(\beta). Так как косинус по определению есть абсцисса точки P(θ)P(\theta), неравенство между абсциссами есть неравенство между косинусами.

  3. sin⁡α=cos⁡(π2−α)<cos⁡(π2−β)=sin⁡β\sin \alpha = \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)} < \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)} = \dato{s}{\sin \beta}

    Пусть теперь −π2≤α<β≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \alpha < \beta \leq \frac{\pi}{2}. Дополнительные к ним углы удовлетворяют неравенству π2−β<π2−α\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2} - \alpha и лежат в [0,π]\icc{0}{\pi}; по симметрии дополнительных углов синус угла равен косинусу дополнительного к нему угла, и так как косинус убывает на [0,π]\icc{0}{\pi}, синус возрастает на [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

  4. tan⁡α=sin⁡αcos⁡α<sin⁡βcos⁡α<sin⁡βcos⁡β=tan⁡β\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < \frac{\resaltar{\sin \beta}}{\cos \alpha} < \frac{\sin \beta}{\resaltar{\cos \beta}} = \dato{t}{\tan \beta}

    Для тангенса пусть 0≤α<β<π20 \leq \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}. По предыдущим шагам 0≤sin⁡α<sin⁡β0 \leq \sin \alpha < \sin \beta и cos⁡α>cos⁡β>cos⁡π2=0\cos \alpha > \cos \beta > \cos \frac{\pi}{2} = 0. Если сначала увеличить числитель, а затем уменьшить знаменатель, оба положительные, частное увеличивается.

  5. tan⁡α=−tan⁡(−α)<−tan⁡(−β)=tan⁡β\tan \alpha = \resaltar{-\tan(-\alpha)} < \resaltar{-\tan(-\beta)} = \tan \beta

    Тангенс нечётен, так как он есть частное нечётного синуса и чётного косинуса. Если −π2<α<β≤0-\frac{\pi}{2} < \alpha < \beta \leq 0, то противоположные числа удовлетворяют неравенству 0≤−β<−α0 \leq -\beta < -\alpha, и при смене знака неравенство предыдущего шага меняется на противоположное; если α<0<β\alpha < 0 < \beta, то тангенс отрицателен в α\alpha и положителен в β\beta. Следовательно, тангенс возрастает на всём промежутке (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

Биективные сужения

Всякая строго монотонная функция инъективна по теореме о монотонных функциях из урока о действиях с функциями. Остаётся показать, что каждое сужение принимает все значения своего множества значений.

ТеоремаБиективные сужения

Синус, суженный на [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, есть биекция на [−1,1]\icc{-1}{1}; косинус, суженный на [0,π]\icc{0}{\pi}, есть биекция на [−1,1]\icc{-1}{1}, и тангенс, суженный на (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, есть биекция на R\mathbb{R}.

Инъективность вытекает из теоремы выше. То, что каждое сужение принимает все свои значения, вытекает из свойства покрытия аксиомы обхода, согласно которому всякая точка единичной окружности есть конец дуги, выходящей из (1,0)(1, 0), и из леммы о том, что за один оборот точки не повторяются; оба утверждения взяты из урока об углах и их измерении.

Доказательство

  1. 0≤α<β≤π→cos⁡α≠cos⁡β0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \resaltar{\cos \alpha \neq \cos \beta}

    По теореме выше все три сужения строго монотонны, а всякая строго монотонная функция инъективна: два различных угла верхней полуокружности имеют различные абсциссы.

  2. Q=(c,1−c2),c2+(1−c2)2=1→Q=P(θ)Q = \left( c, \sqrt{1 - c^2} \right), \quad \resaltar{c^2 + \left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 = 1} \rightarrow \dato{q}{Q = P(\theta)}

    Пусть cc и −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1. Приведённая ниже точка QQ лежит на единичной окружности; по свойству покрытия и поскольку за один оборот точки не повторяются, она есть P(θ)P(\theta) для единственного θ\theta из [0,2π)\ico{0}{2\pi}.

  3. sin⁡θ=1−c2≥0→θ∈[0,π],cos⁡θ=c\sin \theta = \sqrt{1 - c^2} \geq 0 \rightarrow \theta \in \icc{0}{\pi}, \quad \dato{c}{\cos \theta = c}

    Ордината точки QQ неотрицательна, а синус отрицателен на (π,2π)\ioo{\pi}{2\pi} согласно знакам по координатным четвертям из урока о тригонометрических отношениях: это θ\theta лежит в [0,π]\icc{0}{\pi}, и его косинус равен cc. Суженный косинус принимает все значения из [−1,1]\icc{-1}{1}.

  4. sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ=c,π2−θ∈[−π2,π2]\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \resaltar{\cos \theta} = \resaltar{c}, \quad \frac{\pi}{2} - \theta \in \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}

    По симметрии дополнительных углов синус угла π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta равен косинусу угла θ\theta, и когда θ\theta пробегает [0,π]\icc{0}{\pi}, дополнительный к нему угол пробегает [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}: суженный синус тоже принимает все значения из [−1,1]\icc{-1}{1}.

  5. tan⁡x=m,x−kπ∈(−π2,π2),tan⁡(x−kπ)=m\tan x = m, \quad x - k\pi \in \ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, \quad \tan(x - k\pi) = m

    Для тангенса теорема о его свойствах из урока о тригонометрических функциях и их графиках утверждает, что его множество значений есть R\mathbb{R}: при данном mm прямая с угловым коэффициентом mm, проходящая через начало координат, пересекает правую полуокружность в точке P(x)P(x), где xx лежит между −π2-\frac{\pi}{2} и π2\frac{\pi}{2}. Это видно и из периодичности: если tan⁡x=m\tan x = m, то, вычитая из xx целое кратное π\pi, как при приведении к первому обороту, получаем число из этого промежутка с тем же тангенсом.