Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Корни многочленов высших степеней и синтетическое деление

Краткое содержание

В этом уроке изучаются корни многочленов степени больше двух. Из деления многочленов с остатком выводится синтетическое деление (схема Горнера), или правило Руффини, которое делит многочлен на x−rx - r с помощью одних лишь умножений и сложений и одновременно даёт значение P(r)P(r), и устанавливается его связь с правилом Горнера. Доказывается теорема о рациональных корнях, которая сводит поиск рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами к конечному списку кандидатов, и она применяется к полному разложению на множители многочленов степеней 33 и 44, с учётом кратности корней и с повторным синтетическим делением. Доказываются две границы для действительных корней: граница Коши и граница, которую даёт само синтетическое деление; формулируется основная теорема алгебры и из неё выводится, что всякий действительный многочлен есть произведение линейных множителей и неприводимых квадратных множителей; наконец, выводятся формулы Виета для кубического многочлена.

Цели обучения

  1. Делить многочлен на x−rx - r с помощью синтетического деления и обосновывать, что схема даёт коэффициенты частного и остаток P(r)P(r).
  2. Находить рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами по теореме о рациональных корнях и применять её для доказательства иррациональности некоторых чисел.
  3. Полностью раскладывать на множители многочлены степеней 33 и 44, определяя кратность каждого корня и заранее ограничивая промежуток, содержащий действительные корни.
  4. Связывать корни и коэффициенты кубического многочлена формулами Виета и описывать разложение действительного многочлена, которое гарантирует основная теорема алгебры.
  5. Формулировать прикладные задачи, приводящие к полиномиальному уравнению степени 33 или 44, например о ватерлинии буя, и выбирать среди его корней те, которые имеют смысл в данном контексте.

Синтетическое деление

В уроке об алгебре многочленов была доказана теорема о делении многочленов с остатком: для двух многочленов PP и QQ, где QQ ненулевой, существуют единственные частное и остаток. Когда делитель равен x−rx - r, остаток есть постоянная, которая по теореме Безу (об остатке) равна P(r)P(r); а по теореме о множителе rr является корнем PP в точности тогда, когда этот остаток равен нулю. Поэтому поиск корней многочлена высокой степени требует многократного деления на делители такого вида. Синтетическое деление, называемое также правилом Руффини, сводит каждое такое деление к последовательности умножений и сложений над коэффициентами, без записи переменной.

Схема такова. В строку записывают коэффициенты PP, от старшей степени до свободного члена, включая нулевые, а слева число rr. Первый коэффициент сносят вниз; затем раз за разом умножают на rr последнее полученное число, записывают произведение под очередным коэффициентом и складывают их. Числа последней строки, кроме последнего, суть коэффициенты частного; последнее число есть остаток.

ПримерСинтетическое деление на примере

Разделить P(x)=2x4−5x3+7x−3P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 7x - 3 на x−2x - 2. В многочлене нет члена с x2x^2, поэтому его коэффициент, 00, нужно записать в строку: если его пропустить, сдвинутся все остальные. Обозначим через b3b_3, b2b_2, b1b_1 и b0b_0 коэффициенты частного, а через RR остаток.

Доказательство

  1. 2x4−5x3+0x2+7x−3→2,−5,0,7,−32x^4 - 5x^3 + \resaltar{0x^2} + 7x - 3 \rightarrow \resaltar{2, -5, 0, 7, -3}

    Записываем коэффициенты от старшей степени к младшей, включая 00 при x2x^2, а слева число r=2r = 2.

  2. b3=2b_3 = \dato{b3}{\resaltar{2}}

    Сносим вниз первый коэффициент: это старший коэффициент частного.

  3. b2=−5+2⋅2=−1b_2 = -5 + \resaltar{2 \cdot 2} = \dato{b2}{\resaltar{-1}}

    Умножаем на 22 полученное число и прибавляем произведение к очередному коэффициенту.

  4. b1=0+2⋅(−1)=−2b_1 = 0 + \resaltar{2 \cdot (-1)} = \dato{b1}{\resaltar{-2}}

    Повторяем операцию с только что полученным числом.

  5. b0=7+2⋅(−2)=3b_0 = 7 + \resaltar{2 \cdot (-2)} = \dato{b0}{\resaltar{3}}

    Ещё раз.

  6. R=−3+2⋅3=3R = -3 + \resaltar{2 \cdot 3} = \dato{R}{\resaltar{3}}

    Последнее сложение даёт остаток.

  7. 2x4−5x3+7x−3=(x−2)(2x3−x2−2x+3)+32x^4 - 5x^3 + 7x - 3 = (x - 2)\left( \resaltar{2x^3 - x^2 - 2x + 3} \right) + \resaltar{3}

    Частное имеет степень 33, на единицу меньше степени делимого, и его коэффициенты стоят в последней строке; остаток равен 33, что совпадает с P(2)=32−40+14−3P(2) = 32 - 40 + 14 - 3, как того требует теорема Безу.

То, что схема работает, не является случайностью примера; следующая теорема доказывает это в общем виде, сравнивая коэффициенты в равенстве деления с остатком.

ТеоремаСинтетическое деление

Пусть P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 есть многочлен степени n≥1n \geq 1, а rr есть действительное число. Если положить bn−1=anb_{n - 1} = a_n, затем bk−1=ak+rbkb_{k - 1} = a_k + r b_k для kk от n−1n - 1 до 11 и, наконец, R=a0+rb0R = a_0 + r b_0, то частное от деления PP на x−rx - r равно bn−1xn−1+⋯+b1x+b0b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0, а остаток равен R=P(r)R = P(r).

Доказательство сравнивает коэффициенты обеих частей равенства деления с остатком; рисунок следует случаю n=3n = 3.

Доказательство

  1. P(x)=(x−r)(bn−1xn−1+⋯+b1x+b0)+R\dato{d}{P(x) = (x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0 \right) + R}

    По теореме о делении с остатком существуют единственные частное CC и остаток RR. Поскольку делитель имеет степень 11, остаток есть постоянная, и по правилу степени произведения частное имеет степень n−1n - 1; обозначим через bkb_k его коэффициенты.

  2. (x−r)(bn−1xn−1+⋯+b0)=bn−1xn+(bn−2−rbn−1)xn−1+⋯+(b0−rb1)x−rb0(x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_0 \right) = \resaltar{b_{n - 1}} x^n + \resaltar{\left( b_{n - 2} - r b_{n - 1} \right)} x^{n - 1} + \cdots + \resaltar{\left( b_0 - r b_1 \right)} x \resaltar{- r b_0}

    Раскрываем скобки: каждый коэффициент bkb_k встречается дважды, умноженный на xx в члене степени k+1k + 1 и умноженный на −r-r в члене степени kk.

  3. an=bn−1,ak=bk−1−rbk,a0=R−rb0\dato{c}{a_n = b_{n - 1}, \quad a_k = b_{k - 1} - r b_k, \quad a_0 = R - r b_0}

    По принципу равенства многочленов коэффициенты при каждой степени в обеих частях равенства деления совпадают; среднее равенство выполняется для kk от 11 до n−1n - 1.

  4. bn−1=an,bk−1=ak+rbk,R=a0+rb0b_{n - 1} = a_n, \quad \resaltar{b_{k - 1} = a_k + r b_k}, \quad \resaltar{R = a_0 + r b_0}

    Выражаем неизвестные: первый коэффициент сносится вниз, а каждое из последующих чисел, как и остаток, равно коэффициенту PP плюс rr, умноженному на предыдущее число. Обратно, числа, определённые таким образом, удовлетворяют предыдущим равенствам и потому дают деление PP на x−rx - r; по единственности частного и остатка они в точности совпадают с числами этого деления.

  5. P(r)=(r−r)C(r)+R=RP(r) = \resaltar{(r - r)} C(r) + R = \resaltar{R}

    При подстановке в равенство деления значения x=rx = r первое слагаемое обращается в нуль: последнее число таблицы есть P(r)P(r).

Синтетическое деление и правило Горнера

Правило Горнера, доказанное в уроке о позиционных системах счисления, вычисляет значение суммы степеней, начиная со старшего коэффициента и повторяя операцию «умножить на основание и прибавить очередной коэффициент». Именно это делает последняя строка синтетического деления с основанием rr: числа bn−1,bn−2,…,b0b_{n - 1}, b_{n - 2}, \ldots, b_0 суть промежуточные результаты правила Горнера, применённого при x=rx = r, а последняя операция даёт значение многочлена.

R=(⋯((anr+an−1)r+an−2)⋯ )r+a0=P(r)R = \left( \cdots \left( \left( a_n r + a_{n - 1} \right) r + a_{n - 2} \right) \cdots \right) r + a_0 = P(r)

Отсюда следует, что правило Горнера даёт второе доказательство теоремы Безу и что синтетическое деление есть одновременно самый экономный способ вычислить значение многочлена и разделить его: вычисление значения в точке rr стоит nn умножений и nn сложений, и тот же расчёт оставляет записанным частное. По теореме о множителе rr является корнем в точности тогда, когда последнее число таблицы равно 00.

Чтобы разделить на линейный делитель ax−bax - b, где a≠0a \neq 0, достаточно заметить, что ax−b=a(x−ba)ax - b = a\left( x - \frac{b}{a} \right): делим на x−bax - \frac{b}{a} синтетическим делением, а полученное частное делим на aa; остаток не меняется.

P(x)=(x−ba)C(x)+R=(ax−b)⋅C(x)a+RP(x) = \left( x - \frac{b}{a} \right) C(x) + R = (ax - b) \cdot \frac{C(x)}{a} + R