Sistemas de numeração posicional

Resumo

Esta aula estuda a notação posicional, na qual o valor de cada algarismo depende do lugar que ocupa. Demonstra que todo número natural se escreve de uma única maneira em qualquer base $b \geq 2$ , mediante um procedimento que consiste em dividir repetidamente pela base, e ensina a converter números entre a base $10$ e as bases $2$ , $8$ e $16$ , e entre estas últimas agrupando algarismos binários. Mostra que a soma e o produto se calculam em qualquer base com as mesmas regras que na base $10$ , explica por que funcionam os critérios de divisibilidade e os estende a outras bases, e fecha com uma nota sobre a história da numeração e sobre o uso da base $2$ nos computadores.

Objetivos de aprendizagem

Interpretar a notação posicional e calcular o valor de um número escrito em qualquer base.
Demonstrar a existência e a unicidade da representação na base $b$ , e obtê-la mediante divisões sucessivas.
Converter números entre as bases $2$ , $8$ , $10$ e $16$ , e somar e multiplicar na base $2$ .
Justificar os critérios de divisibilidade por $b - 1$ e por $b + 1$ na base $b$ , e aplicá-los na base $10$ e em outras bases.

A notação posicional

Ao escrever $2025$ não se somam quatro algarismos: cada um se multiplica por uma potência de $10$ que depende de sua posição. O primeiro $2$ vale dois milhares; o segundo, duas dezenas. O algarismo $0$ indica que não há centenas e, ao ocupar seu lugar, mantém os demais na posição que lhes corresponde.

2025 = 2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 5

Este princípio, chamado notação posicional, não depende do número $10$ . Se $b \geq 2$ é um natural, chamado base, os algarismos na base $b$ são os números $0, 1, \ldots, b - 1$ , e uma sequência de algarismos $a_k, a_{k-1}, \ldots, a_1, a_0$ , com $a_k \neq 0$ , representa o número

n = a_k b^k + a_{k-1} b^{k-1} + \cdots + a_1 b + a_0

Os algarismos se escrevem um ao lado do outro, da esquerda para a direita, e a base se indica como índice: por exemplo, $3412_5$ é o número que na base $5$ se escreve com os algarismos $3$ , $4$ , $1$ e $2$ , e se lê “ $3412$ na base $5$ ”. Diz-se que $a_i$ ocupa a posição $i$ , contada a partir da direita e começando por $0$ . Sem índice, um número está escrito na base $10$ . Na base $2$ há só dois algarismos, $0$ e $1$ , que se chamam bits; na base $16$ são necessários dezesseis, e aos dez algarismos habituais se acrescentam as letras A, B, C, D, E e F, que valem $10$ , $11$ , $12$ , $13$ , $14$ e $15$ .

Ora, o valor de um número escrito na base $b$ pode ser calculado colocando $b$ em evidência uma e outra vez, o que evita calcular potências: é a regra de Horner.

LemaRegra de Horner

Para todo $k$ e todos os números $a_0, a_1, \ldots, a_k$ , a soma dos produtos $a_i b^i$ se obtém partindo de $a_k$ e repetindo $k$ vezes a operação de multiplicar por $b$ e somar o coeficiente seguinte.

a_k b^k + a_{k-1} b^{k-1} + \cdots + a_1 b + a_0 = (\cdots((a_k b + a_{k-1}) b + a_{k-2}) \cdots) b + a_0

A demonstração é uma indução sobre $k$ que só usa a distributividade. A expressão é o valor em $x = b$ do polinômio $a_k x^k + \cdots + a_1 x + a_0$ , e a aula sobre a álgebra dos polinômios voltará a ela.

Demonstração

$a_0 = a_0$
Passo inicial: para $k = 0$ , ambos os membros se reduzem a $a_0$ , porque a regra não faz nenhuma operação.
$\dato{h}{c_k b^k + \cdots + c_1 b + c_0 = (\cdots(c_k b + c_{k-1}) \cdots) b + c_0}$
Hipótese de indução: a regra vale para toda soma de $k + 1$ termos, com coeficientes quaisquer, que chega até a potência $b^k$ .
$a_{k+1} b^{k+1} + \cdots + a_1 b + a_0 = \resaltar{(a_{k+1} b^k + \cdots + a_2 b + a_1)} \, b + a_0$
Seja uma soma que chega até $b^{k+1}$ . Pela distributividade, coloca-se $b$ em evidência em todos os termos exceto o último.
$a_{k+1} b^{k+1} + \cdots + a_1 b + a_0 = \resaltar{((\cdots(a_{k+1} b + a_k) \cdots) b + a_1)} \, b + a_0$
O parêntese tem a forma da hipótese de indução, com os coeficientes $c_i = a_{i+1}$ ; escreve-se com a regra, e ao multiplicá-lo por $b$ e somar $a_0$ obtém-se a regra para $k + 1$ . Pelo princípio de indução, vale para todo $k$ .

ExemploO valor de um número escrito na base 5

Calcular o número que na base $5$ se escreve $3412_5$ , de duas maneiras: somando os valores das posições e com a regra de Horner.

Demonstração

$3412_5 = \resaltar{3} \cdot 5^3 + \resaltar{4} \cdot 5^2 + \resaltar{1} \cdot 5 + \resaltar{2}$
Cada algarismo se multiplica pela potência de $5$ que corresponde à sua posição: $5^3$ , $5^2$ , $5$ e $1$ .
$3 \cdot \resaltar{125} + 4 \cdot \resaltar{25} + 1 \cdot 5 + 2 = \resaltar{375} + \resaltar{100} + 5 + 2 = \dato{v}{482}$
Calculamos as potências e os produtos, e somamos.
$3412_5 = \resaltar{((3 \cdot 5 + 4) \cdot 5 + 1)} \cdot 5 + 2$
Com a regra de Horner colocamos $5$ em evidência nos três primeiros termos, e depois nos dois primeiros do parêntese.
$\resaltar{3 \cdot 5 + 4} = 19, \quad \resaltar{19 \cdot 5 + 1} = 96, \quad \resaltar{96 \cdot 5 + 2} = \resaltar{482}$
Calcula-se de dentro para fora: cada resultado se multiplica pela base e se lhe soma o algarismo seguinte. Obtém-se o mesmo valor, sem nenhuma potência.

No restante desta aula

Existência e unicidade da representação
As bases 2, 8 e 16
Operações na base 2
Os critérios de divisibilidade
Divisores da base
Divisibilidade por $b - 1$ e por $b + 1$
Uma nota histórica e aplicada
Problemas resolvidos
Um número que é o dobro de seu inverso
Os algarismos permutados
Os palíndromos com um número par de algarismos
Multiplicar duplicando
Os pesos de Bachet
Problemas propostos
Os algarismos de uma potência sem calculá-la
Um endereço de internet
Da base 3 à base 9
Divisibilidade por 7, por 11 e por 13
Dobros em duas bases