Правило цепочки для производной композиции функций
С учётом всего рассмотренного ранее, мы уже располагаем необходимыми основами для вычисления практически любой производной. Однако следует различать саму возможность вычисления производной и усилие, которое мы затрачиваем на выполнение таких вычислений. Именно здесь вступают в действие теоремы, подобные правилу цепочки для случая одной переменной. Правило цепочки позволит нам быстро вычислять производные, которые в противном случае потребовали бы довольно утомительной и сложной работы.
СОДЕРЖАНИЕ
Теорема о правиле цепочки для действительной функции одной переменной
Доказательство правила цепочки
Примеры использования правила цепочки для функций одной переменной
Предостережение, которое следует учитывать при применении правила цепочки
Полезные результаты, полученные из правила цепочки
Теорема об обратной функции
Производная экспоненциальной функции
Производные обратных тригонометрических функций
Неявное дифференцирование
Производные рациональных степеней
Производные рациональных степеней
Сборник упражнений
Теорема о правиле цепочки для действительной функции одной переменной
Пусть f и g — две функции, допускающие композицию
f: A\subseteq \mathbb{R} \longmapsto B\subseteq \mathbb{R}
g: B\subseteq Dom(g) \longmapsto D\subseteq \mathbb{Р}
Если f дифференцируема на A, а g дифференцируема на B, то составная функция g\circ f дифференцируема для всех x\in A, и справедлива формула
\displaystyle \frac{d}{dx}(g\circ f)(x) = \frac{d}{dx} g(f(x)) = \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx}
Доказательство правила цепочки
Рассмотрим функции f и g, определённые выше. Если вычислить производную композиции, то получим
\begin{array}{rcl} \dfrac{d}{dx} g(f(x))& = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{f(x+\Delta x) - f(x)} \\ \\ &=& \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \lim_{f(x+\Delta x) \to f(x) } \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx} \end{array}
Что и требовалось доказать.
Примеры использования правила цепочки для функций одной переменной
То, что кажется очевидным на первый взгляд, хотя операционно это не так уж просто, — это тот факт, что правило цепочки указывает нам: когда мы имеем дело с композицией функций, можно дифференцировать «снаружи внутрь». Чтобы объяснить это максимально доступно, примеры являются, безусловно, самым быстрым способом.
- Если нам просят вычислить производную f(x) = (2x^2+1)^{12}, то сначала пришлось бы развернуть степень, а затем применять правило дифференцирования степенной функции к каждой части полученного большого многочлена. Это была бы излишне утомительная работа. Используя правило цепочки, производную можно вычислить в несколько строк:
\displaystyle \frac{d}{dx} (2x^2+1)^{12} = 12(2x^2+1)^{11}(4x)= 48x(2x^2+1)^{11}
- Попробуй вычислить производную g(x) = \sin(\cos(x)) только с помощью базовых техник дифференцирования — и приготовься к вечным мучениям. Сделай это с правилом цепочки — и результат появится без слёз и за несколько шагов:
\displaystyle \frac{d}{dx} \sin(\cos(x))= -\cos(cos(x))\sin(x)
- Также можно вычислять производные функций, являющихся композицией большого количества функций. Если f(x)=\cos(\cos(\cos(x))), производная df/dx будет такой:
\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d}{dx} \cos(\cos(\cos(x))) &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot(-\sin(\cos(x))\cdot(-\sin(x)) \\ \\ &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot\sin(\cos(x))\cdot\sin(x) \end{array}
Как видно, применение правила цепочки — это просто последовательное дифференцирование от внешней функции к внутренней.
Предостережение при использовании правила цепочки
В литературе широко подчеркивают большие преимущества применения правила цепочки, однако лишь немногие делают достаточно сильный акцент на тех мерах предосторожности, которые необходимо учитывать перед его использованием. Несмотря на мощь этого теоремы, всегда следует уделять пристальное внимание областям определения и значений функций перед применением правила цепочки. Прежде чем начать вычисления, необходимо убедиться, что области определения и значения функций совместимы для композиции; если этого не сделать, существует риск вычислять производные в точках, где они не существуют. Если, например, попытаться дифференцировать функцию вида
f(x)=\ln(\cos(x))
и полагаться слепо на правило цепочки, можно прийти к вычислениям следующего вида:
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(\cos(x)) = -\frac{1}{\cos(x)}\sin(x) = -\tan(x)
Очевидно, функция тангенса определена при значении x=2\pi/3, так как \tan(2\pi/3) = -\sqrt{3}. Однако функция f(x)=\ln(\cos(x)) не определена в этой точке, поскольку f(2\pi/3) = \ln(\cos(2\pi/3)) = \ln(-1/2), а логарифм отрицательных чисел не существует! В подобных случаях необходимо заранее указать, до применения правила цепочки, что рассматриваются только такие значения x, при которых функция косинуса остаётся положительной (тем самым обеспечивается совместимость композиции), и только после этого правило цепочки будет применимо.
Полезные результаты, полученные на основе правила цепочки
Правило цепочки полезно не только для вычисления производных, которые иначе были бы крайне трудоёмкими; оно также позволяет расширить методы дифференцирования на множество других функций. Ниже рассмотрим эти методы, их результаты и соответствующие доказательства.
Теорема об обратной функции
Пусть f — биективная функция и дифференцируемая на некотором интервале I\subseteq \mathbb{R}. Используя правило цепочки, можно вычислить производную тождественной функции (f^{-1}\circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x. Вычисления приводят к следующему результату:
1 = \displaystyle \frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}
Из этого выражения можно выделить df^{-1}(f(x))/df(x), и в результате получаем:
\displaystyle \color{blue}{\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}= \frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}}
Это и есть теорема об обратной функции для вычисления производных. В литературе этот результат нередко записывают в следующем виде:
\displaystyle \color{blue}{\frac{dx}{dy}= \frac{1}{\frac{dy}{dx}}}
Обе формы записи теоремы об обратной функции эквивалентны и получаются, если положить y=f(x) и x=f^{-1}(y).
До этого момента мы рассмотрели всё, что касается формулировки теоремы об обратной функции; теперь посмотрим, как её можно использовать для вычисления некоторых производных, которые иначе было бы довольно сложно получить.
Производная экспоненциальной функции
Когда мы изучали базовые техники дифференцирования, мы установили, что
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}
Используя этот результат и теорему об обратной функции, легко доказать, что
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Очевидно, что y=\ln(x) эквивалентно выражению x=e^y. Тогда, применяя теорему об обратной функции, получаем:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{\frac{d}{dx}\ln(x)} = x = e^y
Es decir:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = e^y
Si en esta ultima expresión remplazamos las «y» por «x», obtenemos lo que se quería demostrar:
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x.
Производные обратных тригонометрических функций
Теорема об обратной функции также позволяет получить производные всех обратных тригонометрических функций. Эти производные son:
\begin{array}{ccccccc} \dfrac{d}{dx}\text{Arcsin}(x) &=& \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccos}(x) &=& \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arctan}(x) &=& \dfrac{1}{1+x^2} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccot}(x) &=& \dfrac{-1}{1-x^2} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arcsec}(x) &=& \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccsc}(x) &=& \dfrac{-1}{x\sqrt{x^2-1}} \end{array}
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Арксинус
Mostrar DemostraciónФункция \sin(x) является биективной, если ограничить её область определения множеством вида \displaystyle \left[\frac{-\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], где k — любое целое число. Без потери общности можно рассматривать основной случай, где k=0, так что биективная функция синуса принимает вид
\displaystyle\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow [-1,1]
и при этих условиях выполняется
y=\sin(x) \longleftrightarrow x=arcsin(y).
Если применить теорему об обратной функции, получим:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sin(x)} = \frac{1}{\cos(x)}
Теперь вспомним тригонометрическую тождество:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
откуда следует, что для x\in [-\pi/2, \pi/2] выполняется
\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}
Подставляя это выражение в производную арксинуса, получаем:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{ \sqrt{1 - \sin^2(x)}}
И поскольку y=\sin(x), то
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{ \sqrt{1 - y^2}}
И, наконец, заменив «y» на «x» в последнем выражении, получаем требуемый результат:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
Арккосинус
Mostrar DemostraciónФункция \cos(x) является биективной, если ограничить её область определения множеством вида \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right],, где k — любое целое число. Без потери общности можно рассмотреть основной случай, где k=0, так что биективная функция косинуса будет иметь вид
\cos : \left[0, \pi\right] \longrightarrow [-1,1]
и при этих условиях выполняется
y=\cos(x) \longleftrightarrow x=arccos(y).
Применяя теорему об обратной функции, получаем:
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\cos(x)} = \frac{-1}{\sin(x)}
Теперь вспомним тригонометрическое тождество:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
откуда следует, что если x\in [0, \pi], тогда
\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}
Подставляя это выражение в производную арккосинуса, получаем:
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{\sin(x)} = \frac{-1}{ \sqrt{1 - \cos^2(x)}}
И поскольку y=\cos(x), то
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - y^2}}
Наконец, заменив «y» на «x» в последнем выражении, получаем требуемый результат:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arccos(x) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
Арктангенс
Mostrar DemostraciónФункция \tan(x) является биективной, если ограничить её область определения множеством вида \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right],, где k — любое целое число. Без потери общности можно рассмотреть основной случай, где k=0, так что биективная функция тангенса будет иметь вид
\displaystyle \tan : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow \mathbb{R}
и при этих условиях выполняется
y=\tan(x) \longleftrightarrow x=arctan(y).
Применяя теорему об обратной функции, получаем:
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\tan(x)} = \frac{1}{\sec^2(x)}
Теперь вспомним тригонометрическое тождество:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
из которого следует:
\sec^2(x) =1+\tan^2(x)
Подставляя это в производную арктангенса, получаем:
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{1}{ 1+\tan^2(x)}
И поскольку y=\tan(x), то
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{1 + y^2}
И наконец, заменив «y» на «x», получаем требуемый resultado:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arctan(x) = \frac{1}{1+ x^2}}
Арккотангенс
Mostrar DemostraciónФункция cot(x) является биективной, если ограничить её область определения множеством вида \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right],, где k — любое целое число. Без потери общности можно рассматривать основной случай, где k=0, так что биективная функция котангенса будет иметь вид
ctg : \left[0, \pi\right] \longrightarrow \mathbb{R}
и при этих условиях выполняется
y=ctg(x) \longleftrightarrow x=arcctg(y).
Применяя теорему об обратной функции, получаем:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}ctg(x)} = \frac{-1}{\csc^2(x)}
Теперь вспомним тригонометрическое тождество:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
откуда следует:
\csc^2(x) =1+ctg^2(x)
Подставляя это в производную арккотангенса, получаем:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{\csc^2(x)} = \frac{-1}{ 1+ctg^2(x)}
И поскольку y=ctg(x), то
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{1 + y^2}
Наконец, заменив «y» на «x» в последнем выражении, получаем требуемый resultado:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcctg(x) = \frac{-1}{1+ x^2}}
Арксеканс
Mostrar DemostraciónФункция \sec(x) является биективной, если ограничить её область определения множеством вида \displaystyle \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right]\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}, где k — любое целое число. Без потери общности можно рассмотреть основной случай, где k=0, так что биективная функция секанса будет иметь вид
\sec : \left[0, \pi\right]\setminus\{\pi/2\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
и при этих условиях выполняется
y=\sec(x) \longleftrightarrow x={arcsec}(y).
Применяя теорему об обратной функции, получаем:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sec(x)} = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)}
Теперь вспомним тригонометрическое тождество:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
откуда следует:
\tan^2(x) =\sec^2(x)-1
Тогда, подставив это выражение в производную арксеканса, получаем:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)} = \frac{1}{sec(x)\sqrt{\sec^2(x)-1}}
И поскольку y=\sec(x), то
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{y\sqrt{y^2-1}}
И наконец, заменив «y» на «x» в последнем выражении, получаем требуемый resultado:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arcsec}(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}
Арккосеканс
Mostrar DemostraciónФункция \csc(x) является биективной, если ограничить её область определения множеством вида \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2} + k\pi \right]\setminus\left\{0+k\pi\right\}, где k — любое целое число. Без потери общности можно рассмотреть основной случай, где k=0, так что биективная функция косеканса будет иметь вид
\displaystyle \csc : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
и при этих условиях выполняется
y=\csc(x) \longleftrightarrow x={arccsc}(y).
Применяя теорему об обратной функции, получаем:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\csc(x)} = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)}
Теперь вспомним тригонометрическое тождество:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
откуда следует:
ctg^2(x) =\csc^2(x)-1
Тогда, подставив это в производную арккосеканса, получаем:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)} = \frac{-1}{csc(x)\sqrt{\csc^2(x)-1}}
И поскольку y=\csc(x), то
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{-1}{y\sqrt{y^2-1}}
И наконец, заменив «y» на «x» в последнем выражении, получаем требуемый resultado:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arccsc}(x) = \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}}
Неявное дифференцирование
Все производные, которые мы вычисляли до этого момента, были получены для функций, заданных в явном виде: y=f(x). Однако существуют ситуации, когда, исходя из соотношения между переменными, либо трудно получить явное выражение функции, либо это вообще невозможно. Для таких случаев применяется техника неявного дифференцирования, основанная, как и прежде, на правиле цепочки.
Чтобы понять этот método, полезнее рассмотреть примеры, чем формальные доказательства. Рассмотрим соотношение между переменными x и y, заданное уравнением
x^3 +y^3- 9xy=0
Если построить график этого соотношения, то станет ясно, что это не график какой-либо функции. Это график кривой, называемой «лист Декарта».
Ahora, si quisiéramos calcular, por ejemplo: la derivada de y con respecto a x, entonces tendríamos serias dificultades con encontrar de forma explicita expresión f(x) que satisface la ecuación y=f(x) para luego derivar. Lo que hacemos, sin embargo, es saltarnos ese paso y asumimos implícitamente que y es función de x, es decir: y=y(x). Haciendo esto, la relación de la hoja de Descartes se transforma en:
x^3 +y^3(x)- 9xy(x)=0
Y podemos, en consecuencia, derivar todo utilizando la regla de la cadena. Si lo hacemos, llegaremos al siguiente resultado:
\begin{array}{rcl} \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - \left(9\,y(x) + 9x\,\frac{dy}{dx}\right) &=& 0 \\ \\ \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - 9\,y(x) - 9x\,\frac{dy}{dx} &=& 0 \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}\,\big(3\,y(x)^{2} - 9x\big) &=& 9\,y(x) - 3x^{2} \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \dfrac{9\,y(x) - 3x^{2}}{3\,y(x)^{2} - 9x} \\ \\ \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx}} &\color{blue}{=}& \color{blue}{\dfrac{3\,y(x) - x^{2}}{y(x)^{2} - 3x}} \end{array}
А исходя из этого, если мы знаем точку кривой, можно вычислить наклон касательной прямой, проходящей через эту точку. Например, глядя на график, можно предположить, что точка (2,4) принадлежит кривой; и действительно, это подтверждается, поскольку 2^3 + 4^3 - 9\cdot 2\cdot 4 = 8+64 - 72 = 0. Зная это, можно быстро вычислить наклон касательной прямой в этой точке:
\displaystyle \color{blue}{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)}= \frac{3\cdot 4 - 2^2}{4^2 - 3\cdot 2}= \frac{8}{10}= \frac{4}{5}}
Производные рациональных степеней
Неявное дифференцирование позволяет расширить область применения одной из базовых техник дифференцирования — производной функции вида f(x)=x^n, где n\in\mathbb{Z}. Теперь мы можем перейти от целых значений к рациональным и без труда доказать, что
\displaystyle \frac{d}{dx}x^{p/q}= \frac{p}{q}x^{(p/q) -1}
где p,q\in\mathbb{Z} и q\neq 0.
Чтобы доказать это, положим y=x^{p/q} и применим натуральный логарифм, получая:
\ln(y) = \displaystyle \frac{p}{q}\ln(x)
Теперь, дифференцируя это выражение неявно, получаем:
\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x} \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x}y(x)= \frac{p}{q}\frac{1}{x}x^{p/q} = \frac{p}{q}x^{(p/q) - 1}}
Guía de Ejercicios:
Regla de la Cadena Una Variable
- Calcule las derivadas del siguiente grupo de funciones:
a. f(x)=(x^2-3)^{12} b. f(x)=\displaystyle \left(\frac{4x^3 - x\cos(2x) - 1}{\sin(2x) + 2} \right)^5 c. f(x)=\cos(1-x^2) d. f(x)=\tan(x\cos(3-x^2)) e. f(x)=\displaystyle \frac{1}{(\sec(2x)-1)^{3/2}} f. f(x)=\displaystyle \frac{\tan(2x)}{1-\cot(2x)} g. f(x)=\displaystyle \ln\left(\frac{\tan(x)}{x^2+1}\right) h. f(x)=3^{\csc(4x)} - Calcule la derivada del siguiente grupo de funciones:
a. f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}arctan\left(x^3\right)} b. f(x)=\displaystyle \frac{{arcsec}(x^2-x+2)}{\sqrt{x^2+1}} c. f(x)=x^x d. f(x)={arccsc}\left(x^{\ln(x)}\right) e. f(x)=\ln\left(arctan(e^x)\right)