正規分布における問題とその解決

最も広く利用されている連続分布の一つが正規分布である。確率変数 X は、パラメータ \mu,\sigma を持つ正規分布に従うとき、次が成り立つ。

\displaystyle P(X\leq x) =\Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt

さらに、すでに見たように、この分布は積分において \displaystyle z= \frac{t-\mu}{\sigma}, という代入を行うことで「標準化」することができ、次を得る:

\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2} }dt = \Phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)

この標準化の過程は積分を簡略化するが、それでもなお、この分布に対する単一の確率を計算することはできない。実際、この積分を解析的に評価することは不可能であり、その結果を表現できる代数的な式は存在しないため、困難に直面する。しかし、標準正規分布関数のいくつかの値に対して数値的近似を得ることができれば、そこから推定を始めることが可能となる。これらの値は、私が Excel で作成した標準正規分布表にまとめられている。>:D

この表を Excel 形式で次のリンクからダウンロードできます。そのファイルを確認することをお勧めします。そうすれば、既存の表が見つからない場合に、自分で作成する方法を学ぶことができます 🙂

この表をどのように使うか？

この表を問題なく使用するためには、累積確率を示すだけでなく、確率密度関数の曲線下の面積を表していることを覚えておく必要がある。これは次の図に示されている。

これを理解したうえで、次に表の具体的な使い方を説明する。ここで示されているのは、関数 \Phi_{0,1}(z) を評価する際の z の値が 2 つの部分に分けられているということである。列には小数第1位までの展開が、行には小数第2位が示されている。例えば、数値 z=1,72 は「座標」のように見つけることができる。すなわち、縦方向が 1,7,、横方向が 0,02. である。最終的に、\Phi_{0,1}(1,72) の数値近似は「1,7」と「0,02」の座標ブロックに現れ、その値は 0,957284. である。

演習

1. \Phi_{0,1}(2,93) の値を推定せよ
2. \Phi_{\mu=12,\sigma=3}(11,5) の値を推定せよ
3. 確率変数 X は正規分布 N(\mu=37,\sigma=9). に従う。P(35 \lt X \lt 43). を求めよ
4. 露天商の店で毎日腐るトマトの数は平均 \mu=50、標準偏差 \sigma=15. である。露天商が週に 3 回トマトを仕入れるとき、1 か月のうち 60 個を超えてトマトが腐る日の数を推定せよ。
5. X \sim N(\mu,\sigma) と仮定して、次の確率を求めよ:
   1. P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)
   2. P(X \leq \mu - \sigma \vee \mu + \sigma \leq X)
   3. P(X \leq \mu - n\sigma \vee \mu + n\sigma \leq X)