確率測度の主要な性質
概要
本講義では、確率論の基本的な定義として、確率測度およびシグマ代数を紹介する。さらに、相対頻度の極限としての確率の概念を、6面サイコロの投擲例を用いて探究する。相対頻度関数を通して、その極限を取ることで確率測度を得る方法、すなわち「相対頻度の極限としての確率」が示される。また、確率測度の主要な性質を提示し、事象の確率を「有利な場合の数／全場合の数」によって計算できることを示す。この知識は確率論を理解し、様々な文脈での意思決定に応用するための基礎となる。
学習目標：
本講義を修了すると、受講者は次のことができるようになる。
- 理解する 確率測度の定義とその基本的性質。
- 把握する 相対頻度の極限としての確率の概念。
- 計算する 「有利な場合の数／全場合の数」としての確率。
基本的な定義
確率空間の本質を凝縮する部分は、まさに確率測度の概念である。これは、ある事象が起こる可能性を最終的に定量化する関数である。
確率測度 P とは、与えられたシグマ代数 \Sigma=(\Omega,\mathcal{A})に対して、各事象 E\in\mathcal{A} に確率を割り当てる関数である。この確率測度は以下の性質を満たす。
- (E\in \mathcal{A}) \rightarrow (0 \leq P(E) \leq 1)
- P(\Omega) = 1
- \left[E_1,_2 \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[ (E_1 \cap E_2 = \emptyset) \rightarrow \left(P\left(E_1 \cup E_2 \right) = P(E_1) + P(E_2) \right) \right]
- \displaystyle \left[E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[P \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)\right] （連続性）
相対頻度の極限としての確率
この確率の概念は、「相対頻度の極限」としての確率という直感的な考え方を通じて理解できる。例えば、6面サイコロを N 回投げる実験を考える。各投擲の標本空間は \Omega_{1d6} = \{1,2,3,4,5,6\} である。A を \Omega_{1d6} の任意の事象とすると、N 回の投擲において事象 A が起こる回数 f_N(A) を測定できる。このとき次のことが成り立つ。
0 \leq f_N(A) \leq f_N(\Omega_{1d6}) = N,
さらに、\Omega_{1d6} の別の任意の事象 B を考えると、次が成り立つ。
(A\cap B = \emptyset ) \rightarrow (f_N(A\cup B) = f_N(A)+f_N(B) )
ここから、新しい「関数」 g_N を次の式で相対頻度として定義する。
g_N(A) = \displaystyle \frac{f_N(A)}{N}
関数 g_N は最初の三つの性質を満たすが、四番目の（連続性）の性質はこの方法では得られない。ただし、この性質は主に「技術的」理由で導入される。なぜなら、この性質なしでは得られない結果があるからである。
それでもなお、g_N はまだ確率測度ではない。なぜなら、任意の N に対して g_N は必ずしも一意の値を与えるわけではなく、関数としての性質を満たさないからである。これを解決するために、極限を取るステップを追加し、最終的に確率測度を得る。このとき次の式が得られる。
\displaystyle P(A) = \lim_{N\to\infty} g_N(A)
これが「相対頻度の極限としての確率」として知られているものである。
例：サイコロの投擲
6面サイコロの投擲の分析を続けると、 次のようになる。
\displaystyle\left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\}\right) \left( g_N(\{x\}) = \frac{f_N(\{x\})}{N}\right)
そして、実験を非常に多く繰り返すと、次が確認できる。
\displaystyle \left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\} \right) \left( \lim_{N \to \infty} g_N(\{x\}) = \displaystyle \frac{1}{6} \right)
\displaystyle \lim_{N \to \infty} g_N(\Omega_{1d6}) = 1
したがって、P(\{x\}) = \lim_{N\to\infty} g_N(\{x\}) と定義すると、次が成り立つ。
\displaystyle P(x=\{1,3,5\}) = P(\{1\}\cup\{3\}\cup\{5\}) = P(\{1\})+P(\{3\})+P(\{5\}) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}= \frac{1}{2}
この例からも容易に推測できるように、標本空間 \Omega の事象 E に対して
\displaystyle P(E) = \frac{\# E}{\# \Omega}
これは「有利な場合の数／全場合の数としての確率」として知られ、確率空間および確率測度に関する多くの推論を理解するための基礎となる。