मूलभूत परिभाषाएँ

संभावना के स्थान का सार यही प्रायिकता माप का विचार है। यह वह कार्य है जो अंततः किसी घटना के होने की संभावना को मापता है।

प्रायिकता माप P ऐसा फ़ंक्शन है जो। दिए गए एक सिग्मा-बीजगणित \Sigma=(\Omega,\mathcal{A}) के लिए, प्रत्येक घटना E\in\mathcal{A} को एक प्रायिकता आवंटित करता है। यह प्रायिकता माप निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

1. (E\in \mathcal{A}) \rightarrow (0 \leq P(E) \leq 1)
2. P(\Omega) = 1
3. \left[E_1,_2 \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[ (E_1 \cap E_2 = \emptyset) \rightarrow \left(P\left(E_1 \cup E_2 \right) = P(E_1) + P(E_2) \right) \right]
4. \displaystyle \left[E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[P \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)\right] (निरंतरता)

सापेक्षिक आवृत्तियों की सीमा के रूप में संभावना

इस संभावना की अवधारणा को समझा जा सकता है “सापेक्षिक आवृत्तियों की सीमा” के रूप में संभावना के सहज विचार के माध्यम से। उदाहरण के लिए, उस प्रयोग को लें जिसमें N बार एक छह-फलक वाले पासे को फेंका जाता है। हर फेंक के लिए नमूना स्थान \Omega_{1d6} = \{1,2,3,4,5,6\} है। यदि A \Omega_{1d6} की कोई भी घटना है, तो हम N बार फेंकने पर घटना A की आवृत्ति f_N(A) को माप सकते हैं। इसे करके हम पाते हैं कि:

0 \leq f_N(A) \leq f_N(\Omega_{1d6}) = N,

और यदि हम \Omega_{1d6} की दूसरी घटना B पर विचार करें, तो यह होगा कि:

(A\cap B = \emptyset ) \rightarrow (f_N(A\cup B) = f_N(A)+f_N(B) )

इससे हम एक नया “फ़ंक्शन” g_N परिभाषित कर सकते हैं, जिसे हम सापेक्षिक आवृत्ति कहते हैं, इस अभिव्यक्ति के माध्यम से

g_N(A) = \displaystyle \frac{f_N(A)}{N}

हम देखेंगे कि g_N फ़ंक्शन पहले तीन गुणों का पालन करता है, केवल चौथा (निरंतरता) इस तरह से प्राप्त नहीं किया जा सकता, लेकिन इसे “तकनीकी” कारणों से पेश किया जाता है क्योंकि कुछ परिणाम इस गुण के बिना प्राप्त नहीं किए जा सकते।

फिर भी, g_N अभी भी संभावना का माप नहीं है, क्योंकि यह अभी भी एक फ़ंक्शन नहीं है। यह इसलिए है क्योंकि N के मान की परवाह किए बिना, g_N एक अनूठा मूल्य प्रदान नहीं करता है, जैसा कि एक फ़ंक्शन करेगा। इसे हल करने के लिए हम सीमा में एक कदम जोड़ते हैं ताकि अंततः संभावना का एक माप प्राप्त कर सकें, प्राप्त करते हैं:

\displaystyle P(A) = \lim_{N\to\infty} g_N(A)

यह वह है जिसे सापेक्षिक आवृत्तियों की सीमा के रूप में संभावना के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण: छह-फलक वाले पासे का फेंक

छह-फलक वाले पासे के फेंक के विश्लेषण को जारी रखते हुए, यह होगा कि:

\displaystyle\left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\}\right) \left( g_N(\{x\}) = \frac{f_N(\{x\})}{N}\right)

और यदि प्रयोग कई बार दोहराया जाता है, तो हम पुष्टि कर सकते हैं कि

\displaystyle \left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\} \right) \left( \lim_{N \to \infty} g_N(\{x\}) = \displaystyle \frac{1}{6} \right)

\displaystyle \lim_{N \to \infty} g_N(\Omega_{1d6}) = 1

इसलिए अगर हम P(\{x\}) = \lim_{N\to\infty} g_N(\{x\}) परिभाषित करते हैं, तो यह होगा:

\displaystyle P(x=\{1,3,5\}) = P(\{1\}\cup\{3\}\cup\{5\}) = P(\{1\})+P(\{3\})+P(\{5\}) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}= \frac{1}{2}

इस उदाहरण से यह भी आसानी से समझा जा सकता है कि, किसी E घटना के लिए एक नमूना स्थान \Omega में

\displaystyle P(E) = \frac{\# E}{\# \Omega}

यह वही है जिसे “संभाव्यता अनुकूल मामलों पर कुल मामलों के रूप में” कहा जाता है और यह संभाव्यता के स्थान और संभाव्यता के माप के बारे में कई तर्कों को समझने के लिए मौलिक है।