फ़ंक्शनों की संरचना की अवकलन के लिए श्रंखला नियम
अब तक जो हमने देखा है, उसके आधार पर हमारे पास लगभग किसी भी अवकलज की गणना करने के लिए सभी मूलभूत elementos उपलब्ध हैं। फिर भी, हमें एक अवकलज की गणना करने की posibilidad और ऐसी गणनाएँ करने में लगाए गए प्रयास के बीच अंतर करना चाहिए, और यहीं पर एक चर के cálculo के लिए श्रंखला नियम जैसे प्रमेय उपयोगी सिद्ध होते हैं। श्रंखला नियम हमें ऐसे अवकलज को तेजी से calcular करने में सक्षम बनाएगा, जो अन्यथा काफ़ी श्रमसाध्य और जटिल कार्य की मांग करते।
सामग्री सूचकांक
एक वास्तविक चर में श्रंखला नियम का प्रमेय
श्रंखला नियम का प्रमाण
एक चर वाले फ़ंक्शनों में श्रंखला नियम के उपयोग के उदाहरण
श्रंखला नियम के प्रयोग में ध्यान रखने वाली सावधानियाँ
श्रंखला नियम से प्राप्त उपयोगी resultados
प्रतिलोम फ़ंक्शन का प्रमेय
घातांक फ़ंक्शन का अवकलज
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का अवकलज
अव्यक्त अवकलन
परिमेय घातों के अवकलज
परिमेय घातों के अवकलज
अभ्यास मार्गदर्शिका
एक वास्तविक चर में श्रंखला नियम का प्रमेय
मान लें कि f और g दो फ़ंक्शन हैं जो संयोजन योग्य हैं
f: A\subseteq \mathbb{R} \longmapsto B\subseteq \mathbb{R}
g: B\subseteq Dom(g) \longmapsto D\subseteq \mathbb{R}
यदि f A में अवकलनीय है और g B में अवकलनीय है, तो समिश्र फ़ंक्शन g\circ f सभी x\in A के लिए अवकलनीय होगा और निम्नलिखित सूत्र संतुष्ट करेगा
\displaystyle \frac{d}{dx}(g\circ f)(x) = \frac{d}{dx} g(f(x)) = \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx}
श्रंखला नियम का प्रमाण
हम निम्नलिखित फ़ंक्शनों पर विचार करते हैं f और g, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है। यदि हम संयोजन का अवकलज गणना करते हैं, तो हमें प्राप्त होगा
\begin{array}{rcl} \dfrac{d}{dx} g(f(x))& = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{f(x+\Delta x) - f(x)} \\ \\ &=& \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \lim_{f(x+\Delta x) \to f(x) } \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx} \end{array}
जो सिद्ध करना था।
एक चर वाले फ़ंक्शनों में श्रंखला नियम के उपयोग के उदाहरण
कम से कम पहली नज़र में यह स्पष्ट लगता है, परंतु परिचालनिक दृष्टिकोण से यह उतना सरल नहीं है, कि श्रंखला नियम हमें यह बताता है कि जब हम फ़ंक्शनों की संरचना का सामना करते हैं, तो हम “बाहर से भीतर” अवकलन कर सकते हैं। इसे सरलता से समझाने के लिए, उदाहरण निस्संदेह सबसे तेज़ मार्ग हैं।
- यदि हमें f(x) = (2x^2+1)^{12} का अवकलज निकालने को कहा जाए, तो पहले हम घात को विस्तार करते और फिर उस बड़े बहुपद के प्रत्येक término पर घात का अवकलज लागू करते, जो अनावश्यक रूप से थकाऊ trabajo है। श्रंखला नियम के साथ, अवकलज की गणना कुछ पंक्तियों में की जा सकती है:
\displaystyle \frac{d}{dx} (2x^2+1)^{12} = 12(2x^2+1)^{11}(4x)= 48x(2x^2+1)^{11}
- केवल आधारभूत अवकलन तकनीकों का उपयोग करके g(x) = \sin(\cos(x)) का अवकलज निकालने की कोशिश करें और अनन्त पीड़ा का सामना करें। इसे श्रंखला नियम से करें और परिणाम बिना आँसुओं और कुछ ही चरणों में प्रकट हो जाएगा:
\displaystyle \frac{d}{dx} \sin(\cos(x))= -\cos(cos(x))\sin(x)
- आप कई फ़ंक्शनों की संरचना वाली फ़ंक्शनों का अवकलज भी निकाल सकते हैं। यदि f(x)=\cos(\cos(\cos(x))), तो df/dx का अवकलज इस प्रकार होगा:
\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d}{dx} \cos(\cos(\cos(x))) &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot(-\sin(\cos(x))\cdot(-\sin(x)) \\ \\ &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot\sin(\cos(x))\cdot\sin(x) \end{array}
जैसा कि आप देख सकते हैं, श्रंखला नियम लागू करना बस बाहर से भीतर क्रमबद्ध अवकलन करना है।
श्रंखला नियम के संदर्भ में ध्यान रखने योग्य सावधानी
साहित्य में सभी लोग बड़े beneficios प्रदर्शित करते हैं जो श्रंखला नियम के उपयोग से प्राप्त होते हैं, परंतु बहुत कम लोग इस बात पर ज़ोर देते हैं कि इसे उपयोग करने से पहले किन सावधानियों पर ध्यान देना आवश्यक है। इस प्रमेय की शक्ति के बावजूद, तुम्हें हमेशा श्रंखला नियम लागू करने से पहले फ़ंक्शनों के डोमेन और रेंज पर विशेष ध्यान देना चाहिए। कार्य करने से पहले यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि फ़ंक्शनों के डोमेन और रेंज संयोजन के लिए संगत हों; अन्यथा तुम उन स्थानों पर अवकलज की गणना करने का जोखिम उठाते हो जहाँ वे अस्तित्व में ही नहीं हैं। यदि, उदाहरण के लिए, तुम इस प्रकार के फ़ंक्शन का अवकलन करते हो
f(x)=\ln(\cos(x))
और यदि तुम श्रंखला नियम पर आँख बंद करके भरोसा करते हो, तो तुम कुछ इस प्रकार की गणनाएँ करोगे:
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(\cos(x)) = -\frac{1}{\cos(x)}\sin(x) = -\tan(x)
स्पष्ट है कि स्पर्शज्या फ़ंक्शन x=2\pi/3 पर अच्छी तरह परिभाषित है, क्योंकि उसका मान \tan(2\pi/3) = -\sqrt{3} है। लेकिन, फ़ंक्शन f(x)=\ln(\cos(x)) वहाँ परिभाषित नहीं है क्योंकि f(2\pi/3) = \ln(\cos(2\pi/3)) = \ln(-1/2), और नकारात्मक संख्याओं का लॉगरिथ्म अस्तित्व में नहीं है! ऐसे मामलों में, श्रंखला नियम लागू करने से पहले यह आवश्यक है कि x के वे मान स्पष्ट रूप से बताए जाएँ जिनके लिए कोसाइन फ़ंक्शन धनात्मक रहता है (ताकि संयोजन के तहत संगतता सुनिश्चित की जा सके), और तभी श्रंखला नियम मान्य होगा।
श्रंखला नियम से प्राप्त उपयोगी resultados
श्रंखला नियम न केवल ऐसे अवकलन cálculos के लिए उपयोगी है जो अन्यथा असहनीय होते, बल्कि यह अवकलन तकनीकों को और भी अधिक फ़ंक्शनों तक विस्तृत करने में सहायक है। आगे हम इन तकनीकों, उनके resultados और उनके प्रमाण की समीक्षा करेंगे।
प्रतिलोम फ़ंक्शन का प्रमेय
मान लें कि f एक द्विआवर्ती फ़ंक्शन है और किसी अंतराल I\subseteq \mathbb{R} में अवकलनीय है। श्रंखला नियम का उपयोग करते हुए, पहचान फ़ंक्शन (f^{-1}\circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x. का अवकलन करना संभव है। गणनाओं से निम्नलिखित resultado प्राप्त होता है:
1 = \displaystyle \frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}
इससे df^{-1}(f(x))/df(x) को अलग किया जा सकता है और resultado प्राप्त होता है:
\displaystyle \color{blue}{\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}= \frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}}
इसे ही अवकलजों की गणना के लिए प्रतिलोम फ़ंक्शन का प्रमेय कहा जाता है। साहित्य में यह प्रमेय सामान्यतः इस रूप में भी लिखा मिलता है
\displaystyle \color{blue}{\frac{dx}{dy}= \frac{1}{\frac{dy}{dx}}}
प्रतिलोम फ़ंक्शन के प्रमेय को व्यक्त करने के दोनों रूप समतुल्य हैं, और ये y=f(x) तथा x=f^{-1}(y). लिखने से प्राप्त होते हैं।
यहाँ तक हमने प्रतिलोम फ़ंक्शन के प्रमेय से संबंधित सभी बातें देख ली हैं; अब हम देखेंगे कि इसका उपयोग करके उन अवकलजों की गणना कैसे की जा सकती है जो अन्यथा अत्यंत कठिन होते।
घातांक फ़ंक्शन का अवकलज
जब हमने आधारभूत अवकलन तकनीकों का अध्ययन किया तब हमने देखा कि
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}
इस resultado और प्रतिलोम फ़ंक्शन के प्रमेय के साथ यह सिद्ध करना सरल है कि
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x
प्रमाण:
स्पष्ट है कि y=\ln(x) कहना x=e^y. कहने के समतुल्य है। फिर, प्रतिलोम फ़ंक्शन के प्रमेय को लागू करने पर प्राप्त होता है:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{\frac{d}{dx}\ln(x)} = x = e^y
अर्थात्:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = e^y
यदि इस अंतिम अभिव्यक्ति में “y” को “x” से प्रतिस्थापित करें, तो हमें वह प्राप्त होता है जिसे सिद्ध करना था:
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x.
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का अवकलज
प्रतिलोम फ़ंक्शन का प्रमेय हमें सभी व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के अवकलज प्राप्त करने में भी सक्षम बनाता है। ये हैं:
\begin{array}{ccccccc} \dfrac{d}{dx}\text{Arcsin}(x) &=& \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccos}(x) &=& \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arctan}(x) &=& \dfrac{1}{1+x^2} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccot}(x) &=& \dfrac{-1}{1-x^2} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arcsec}(x) &=& \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccsc}(x) &=& \dfrac{-1}{x\sqrt{x^2-1}} \end{array}
प्रमाण
आर्कसाइन
Mostrar Demostración\sin(x) फ़ंक्शन द्विआवर्ती होता है जब भी इसके डोमेन को \displaystyle \left[\frac{-\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], के रूप वाले किसी सेट तक सीमित किया जाता है, जहाँ k कोई भी पूर्णांक है। सामान्यता की हानि के बिना हम मुख्य caso पर सीमित हो सकते हैं, जहाँ k=0, ताकि द्विआवर्ती sine फ़ंक्शन इस रूप का हो
\displaystyle\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow [-1,1]
और इन condiciones के तहत
y=\sin(x) \longleftrightarrow x=arcsin(y).
यदि हम प्रतिलोम फ़ंक्शन का प्रमेय लागू करें, तो प्राप्त होता है:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sin(x)} = \frac{1}{\cos(x)}
अब, त्रिकोणमितीय पहचान को याद करें:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
जिससे निष्कर्ष निकलता है कि यदि x\in [-\pi/2, \pi/2] हो, तो
\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}
इसको आर्कसाइन के अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{ \sqrt{1 - \sin^2(x)}}
और क्योंकि y=\sin(x),
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{ \sqrt{1 - y^2}}
अंततः, इस अंतिम अभिव्यक्ति में “y” को “x” से बदलकर हमें वांछित resultado प्राप्त होता है:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
आर्ककोस
Mostrar Demostración\cos(x) फ़ंक्शन द्विआवर्ती होता है जब भी इसके डोमेन को \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], के रूप वाले किसी सेट तक सीमित किया जाता है, जहाँ k कोई भी पूर्णांक है। सामान्यता की हानि के बिना हम मुख्य caso पर सीमित हो सकते हैं, जहाँ k=0, ताकि द्विआवर्ती coseno फ़ंक्शन इस रूप का हो
\cos : \left[0, \pi\right] \longrightarrow [-1,1]
और इन condiciones के तहत यह संबंध संतुष्ट होता है:
y=\cos(x) \longleftrightarrow x=arccos(y).
यदि हम प्रतिलोम फ़ंक्शन का प्रमेय लागू करें, तो हमें मिलता है:
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\cos(x)} = \frac{-1}{\sin(x)}
अब त्रिकोणमितीय identidad को याद करें:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
जिससे निष्कर्ष निकलता है कि यदि x\in [0, \pi] हो, तो:
\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}
इसे आर्ककोस के अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{\sin(x)} = \frac{-1}{ \sqrt{1 - \cos^2(x)}}
और क्योंकि y=\cos(x),
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - y^2}}
अंततः, “y” को “x” से बदलकर हमें वांछित resultado मिलता है:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arccos(x) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
आर्कटैन्जेण्ट
Mostrar Demostración\tan(x) फ़ंक्शन द्विआवर्ती होता है जब इसके डोमेन को इस रूप वाले किसी सेट तक सीमित किया जाता है: \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], जहाँ k कोई भी पूर्णांक है। सामान्यता की हानि के बिना हम मुख्य caso पर सीमित हो सकते हैं, जहाँ k=0, ताकि द्विआवर्ती función tangent इस प्रकार हो:
\displaystyle \tan : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow \mathbb{R}
और इन condiciones के तहत:
y=\tan(x) \longleftrightarrow x=arctan(y).
यदि हम प्रतिलोम फ़ंक्शन का प्रमेय लागू करें, तो:
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\tan(x)} = \frac{1}{\sec^2(x)}
अब त्रिकोणमितीय identidad को याद करें:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
और इससे:
\sec^2(x) =1+\tan^2(x)
इसे अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{1}{ 1+\tan^2(x)}
और क्योंकि y=\tan(x),
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{1 + y^2}
अंततः, “y” को “x” से बदलकर हमें वांछित resultado मिलता है:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arctan(x) = \frac{1}{1+ x^2}}
आर्ककोटैन्जेण्ट
Mostrar Demostracióncot(x) फ़ंक्शन द्विआवर्ती होता है जब भी इसके डोमेन को इस रूप वाले किसी सेट तक सीमित किया जाता है: \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], जहाँ k कोई भी पूर्णांक है। सामान्यता की हानि के बिना हम मुख्य caso पर सीमित हो सकते हैं, जहाँ k=0, ताकि द्विआवर्ती cotangente फ़ंक्शन इस प्रकार हो:
ctg : \left[0, \pi\right] \longrightarrow \mathbb{R}
और इन condiciones के तहत:
y=ctg(x) \longleftrightarrow x=arcctg(y).
यदि हम प्रतिलोम फ़ंक्शन का प्रमेय लागू करें, तो:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}ctg(x)} = \frac{-1}{\csc^2(x)}
अब त्रिकोणमितीय identidad को याद करें:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
और इससे:
\csc^2(x) =1+ctg^2(x)
इसे अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{\csc^2(x)} = \frac{-1}{ 1+ctg^2(x)}
और क्योंकि y=ctg(x),
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{1 + y^2}
अंततः, “y” को “x” से बदलकर हमें इच्छित resultado मिलता है:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcctg(x) = \frac{-1}{1+ x^2}}
आर्कसेकेन्ट
Mostrar Demostración\sec(x) फ़ंक्शन द्विआवर्ती होता है जब इसके डोमेन को इस रूप वाले किसी सेट तक सीमित किया जाता है: \displaystyle \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right]\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}, जहाँ k कोई भी पूर्णांक है। सामान्यता की हानि के बिना हम मुख्य caso पर सीमित हो सकते हैं, जहाँ k=0, ताकि द्विआवर्ती secante फ़ंक्शन इस प्रकार हो:
\sec : \left[0, \pi\right]\setminus\{\pi/2\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
और इन condiciones के तहत यह संबंध संतुष्ट होता है:
y=\sec(x) \longleftrightarrow x={arcsec}(y).
यदि हम प्रतिलोम फ़ंक्शन का प्रमेय लागू करें, तो:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sec(x)} = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)}
अब त्रिकोणमितीय identidad को याद करें:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
और इससे:
\tan^2(x) =\sec^2(x)-1
इसे अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)} = \frac{1}{sec(x)\sqrt{\sec^2(x)-1}}
और क्योंकि y=\sec(x),
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{y\sqrt{y^2-1}}
अंततः, “y” को “x” से बदलकर हमें इच्छित resultado मिलता है:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arcsec}(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}
आर्ककोसेकेन्ट
Mostrar Demostración\csc(x) फ़ंक्शन द्विआवर्ती होता है जब भी इसके डोमेन को इस रूप वाले किसी सेट तक सीमित किया जाता है: \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2} + k\pi \right]\setminus\left\{0+k\pi\right\}, जहाँ k कोई भी पूर्णांक है। सामान्यता की हानि के बिना हम मुख्य caso पर सीमित हो सकते हैं, जहाँ k=0, ताकि द्विआवर्ती cosecante फ़ंक्शन इस प्रकार हो:
\displaystyle \csc : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
और इन condiciones के तहत:
y=\csc(x) \longleftrightarrow x={arccsc}(y).
यदि हम प्रतिलोम फ़ंक्शन का प्रमेय लागू करें, तो:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\csc(x)} = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)}
अब त्रिकोणमितीय identidad को याद करें:
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
और इससे:
ctg^2(x) =\csc^2(x)-1
इसे अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)} = \frac{-1}{csc(x)\sqrt{\csc^2(x)-1}}
और क्योंकि y=\csc(x),
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{-1}{y\sqrt{y^2-1}}
अंततः, “y” को “x” से बदलकर हमें इच्छित resultado प्राप्त होता है:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arccsc}(x) = \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}}
अव्यक्त अवकलन
अब तक जिन सभी अवकलनों की हमने गणना की है, वे उन फ़ंक्शनों पर आधारित थे जो स्पष्ट रूप से परिभाषित थे: y=f(x)। हालांकि, कई स्थितियों में चर के बीच दी गई relación से न तो फ़ंक्शन की स्पष्ट अभिव्यक्ति आसानी से प्राप्त होती है, और न ही कभी-कभी यह संभव होती है। ऐसे मामलों के लिए अव्यक्त अवकलन की तकनीक उपयोगी होती है, और इसके fundamentos एक बार फिर श्रंखला नियम में निहित हैं।
इस técnica को समझने के लिए प्रमाणों से अधिक उदाहरण उपयोगी होते हैं, इसलिए x और y के बीच निम्न relación पर विचार करें:
x^3 +y^3- 9xy=0
यदि हम इस relación का gráfico बनाते हैं, तो हमें पता चलेगा कि यह किसी फ़ंक्शन का gráfico नहीं है। यह एक वक्र है जिसे “होहा दे Descartes” कहा जाता है।
अब, यदि हम उदाहरण के लिए y का x के respecto अवकलज निकालना चाहें, तो हमें स्पष्ट रूप से वह expresión f(x) खोजने में गंभीर कठिनाइयाँ होंगी जो ecuación y=f(x) को संतुष्ट करती है, और फिर उसका अवकलन करना पड़ेगा। किंतु हम उस paso को छोड़ देते हैं और अप्रकट रूप से मान लेते हैं कि y, x का फ़ंक्शन है, अर्थात् y=y(x)। ऐसा करने पर, hoja de Descartes की relación इस रूप में बदल जाती है:
x^3 +y^3(x)- 9xy(x)=0
और परिणामस्वरूप, हम सम्पूर्ण expresión को श्रंखला नियम का उपयोग करते हुए अवकलित कर सकते हैं। यदि ऐसा करते हैं, तो हमें निम्न resultado प्राप्त होता है:
\begin{array}{rcl} \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - \left(9\,y(x) + 9x\,\frac{dy}{dx}\right) &=& 0 \\ \\ \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - 9\,y(x) - 9x\,\frac{dy}{dx} &=& 0 \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}\,\big(3\,y(x)^{2} - 9x\big) &=& 9\,y(x) - 3x^{2} \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \dfrac{9\,y(x) - 3x^{2}}{3\,y(x)^{2} - 9x} \\ \\ \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx}} &\color{blue}{=}& \color{blue}{\dfrac{3\,y(x) - x^{2}}{y(x)^{2} - 3x}} \end{array}
इसके आधार पर, यदि हम वक्र के किसी बिंदु को जानते हों, तो उस बिंदु से गुजरने वाली स्पर्शरेखा की pendiente ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, gráfico से हम अनुमान लगा सकते हैं कि बिंदु (2,4) वक्र पर स्थित है; और वास्तव में, यह सत्य है क्योंकि 2^3 + 4^3 - 9\cdot 2\cdot 4 = 8+64 - 72 = 0. यह जानते हुए हम तुरंत कह सकते हैं कि उस बिंदु पर स्पर्शरेखा की pendiente होगी:
\displaystyle \color{blue}{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)}= \frac{3\cdot 4 - 2^2}{4^2 - 3\cdot 2}= \frac{8}{10}= \frac{4}{5}}
परिमेय घातों के अवकलज
अव्यक्त अवकलन का उपयोग करके हम अवकलन की एक आधारभूत técnica के दायरे का विस्तार कर सकते हैं। यह técnica उन फ़ंक्शनों पर आधारित है जो f(x)=x^n हों, जहाँ n\in\mathbb{Z}। अब हम पूर्णांकों से आगे बढ़कर परिमेय संख्याओं तक जा सकते हैं और बिना कठिनाई के सिद्ध कर सकते हैं कि
\displaystyle \frac{d}{dx}x^{p/q}= \frac{p}{q}x^{(p/q) -1}
जहाँ p,q\in\mathbb{Z} और q\neq 0।
इसे सिद्ध करने के लिए मान लें: y=x^{p/q} और दोनों पक्षों पर प्राकृतिक लघुगणक लगाएँ, जिससे प्राप्त होगा:
\ln(y) = \displaystyle \frac{p}{q}\ln(x)
अब, इस expresión का अव्यक्त अवकलन करने पर:
\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x} \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x}y(x)= \frac{p}{q}\frac{1}{x}x^{p/q} = \frac{p}{q}x^{(p/q) - 1}}
व्यायाम मार्गदर्शिका:
एक चर में श्रंखला नियम
- निम्नलिखित फ़ंक्शनों के अवकलज की गणना करें:
a. f(x)=(x^2-3)^{12} b. f(x)=\displaystyle \left(\frac{4x^3 - x\cos(2x) - 1}{\sin(2x) + 2} \right)^5 c. f(x)=\cos(1-x^2) d. f(x)=\tan(x\cos(3-x^2)) e. f(x)=\displaystyle \frac{1}{(\sec(2x)-1)^{3/2}} f. f(x)=\displaystyle \frac{\tan(2x)}{1-\cot(2x)} g. f(x)=\displaystyle \ln\left(\frac{\tan(x)}{x^2+1}\right) h. f(x)=3^{\csc(4x)} - निम्नलिखित फ़ंक्शनों का अवकलज गणना करें:
a. f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}arctan\left(x^3\right)} b. f(x)=\displaystyle \frac{{arcsec}(x^2-x+2)}{\sqrt{x^2+1}} c. f(x)=x^x d. f(x)={arccsc}\left(x^{\ln(x)}\right) e. f(x)=\ln\left(arctan(e^x)\right)