Técnicas de conteo y las probabilidades

Las Combinación, Variación y Permutación son Las técnicas de conteo más utilizadas en el estudio de las probabilidades debido a las facilidades que intoducen en el estudio de los experimentos con resultados equiprobables. Uno de los ejemplos más icónicos de estos experimentos provienen de los juegos de azar. Estos generalmente se tratan de procesos no-deterministas sobre un espacio muestral \Omega = \{\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_N\}. Estos experimentos tienen la cualidad común de que todos los eventos de la forma \{\omega_i\}\in\mathcal{A}_\Omega, con i\in\{1,2,\cdots, n\}, tiene la misma probabilidad de ocurrir.

A partir de la medida de probabilidad como límite de frecuencias relativas podemos establecer la probabilidad de un evento como un cociente de cardinalidades. Como ya hemos visto, esto se hace a través de la relación:

P(E) = \displaystyle \lim_{N\to\infty}g_N(E) = \lim_{N\to\infty}\frac{f_N(E)}{N}= \frac{\# E}{\# \Omega}

Aquí el símbolo «#» hace referencia a la cardinalidad del conjunto. Esto es lo que se conoce como la fórmula de los casos favorables sobre los casos posibles.

En estas situaciones, el cálculo de probabilidades se reduce a calcular la cardinalidad del espacio muestral y del evento a medir. Es por esto que resultará muy útil revisar primero algunas técnicas de conteo.

Obtención de las Técnicas de Conteo

Para introducir las combinaciones, variaciones y permutaciones, diseñaremos algunos experimentos pensados con resultados equiprobables y, a partir de ellos, haremos inferencias que conducen a éstas técnicas de conteo.

Supongamos que tenemos una «máquina aleatoria perfecta», que consiste en una caja negra, una memoria, un botón de acción y otro de reseteo. La máquina tiene las siguientes propiedades:

1. La máquina sólo tiene una configuración personalizable: la cardinalidad de su espacio muestral \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}
2. Al presionar el botón de acción, mostrará en pantalla uno de los elementos de \Omega_N
3. Cuando se muestra un resultado, éste es almacenado en la memoria, y mientras esté ahí no se volverá a mostrar al presionar el botón de acción.
4. Si la máquina ya ha mostrado todos los resultados posibles, se congelará y no mostrará nada.
5. El botón de reseteo borra la memoria y lo mostrado en pantalla..

Con esta máquina diseñaremos algunos experimentos pensados y analizaremos sus espacios muestrales.

Experimento 1 (AORm): Accionar – Anotar en orden – Resetear, repetir m veces

Se configura la máquina con \#\Omega = Ny se repiten m\leq N veces la siguiente serie de pasos:

1. Presionar el botón de acción
2. Anotar el resultado en una lista ordenada
3. Resetear

Cuando terminemos obtendremos una lista ordenada con m elementos de \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}. Esta lista puede ser interpretada como una m-tupla de \Omega_N. En otras palabras, el espacio muestral de este experimento \Omega_{AORm} sera de la forma

\Omega_{AORm}=\Omega_N \times \cdots \times \Omega_N = \Omega_N^m

Por lo tanto se tendrá que \#\Omega_{AORm}=\#\Omega_N^m = N^m.

Experimento 2 (AOk): Accionar -Anotar en Orden, repetir k veces

Configuramos nuevamente la máquina con \#\Omega = N y se repite k veces (k\leq N) la siguiente serie de pasos:.

1. Presionar el botón de acción.
2. Anotar el resultado en una lista ordenada.

Cuando terminemos habremos obtenido una lista ordenada de k elementos de \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}, pero donde ningún elemento se repetirá con alguno de los que le preceden.

Como la máquina, en principio, no favorece ningún resultado posible por sobre otro (porque es perfectamente aleatoria), es posible asumir sin perdida de generalidad que al accionar la primera vez que ocurrió el evento \{\omega_1\}, de modo que el espacio muestral de la siguiente acción debería ser \Omega_N\setminus\{\omega_1\}. Análogamente, se puede asumir sin perdida de generalidad que al accionar por segunda vez ocurre el evento \{\omega_2\}; por lo tanto, el espacio muestral de la siguiente acción será de la forma (\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}. Si seguimos de este modo, cuando lleguemos a la k-ésima acción, esta tendrá un espacio muestral de la forma

(\cdots(\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}\cdots)\setminus\{\omega_{k-1}\}

De modo que, el espacio muestral de los resultados posibles de éste experimento será de la forma

\Omega_{AOk}= \Omega \times (\Omega_N\setminus\{\omega_1\}) \times ((\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}) \times \cdots \times ((\cdots(\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}\cdots)\setminus\{\omega_{k-1}\})

Por lo que si calculamos la cardinalidad de este conjunto obtendremos

\#\Omega_{AOk}= N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots [N-(k-1)]=\displaystyle \frac{N!}{(N-k)!}

A partir de éste resultado se crea la siguiente definición:

Experimento 3 (ADk): Accionar – Anotar en Desorden, repetir k veces

Este experimento es exactamente igual al anterior, sólo que ahora no se registra el orden aparecen los elementos de \Omega_N. Es decir, lo que serían dos k-tuplas con los mismo elementos, pero en distinto orden ahora son consideradas como la misma cosa. De este modo, aprovechando que cada k-tupla obtenida del experimento AOk se pueden escribir de (k)_k=k! formas diferentes, se tendrá que la cardinalidad espacio muestral de éste experimento será de la forma

\#\Omega_{ADk} = \displaystyle \frac{\#\Omega_{AOk}}{(k)_k} = \frac{(N)_k}{k!} = \frac{N!}{k!(N-k)!}

A partir de esto se puede establecer la siguiente definición:

Con las técnicas conteo de permutación, variación y combinación podremos ahora medir el tamaño una gran variedad de conjuntos.