Techniques de comptage et les probabilités

Les combinaisons, variations et permutations sont les techniques de comptage les plus utilisées dans l’étude des probabilités en raison des facilités qu’elles introduisent dans l’étude des expériences avec des résultats équiprobables. Un des exemples les plus emblématiques de ces expériences provient des jeux de hasard. Ceux-ci se traitent généralement de processus non déterministes sur un espace échantillon \Omega = \{\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_N\}. Ces expériences ont la qualité commune que tous les événements de la forme \{\omega_i\}\in\mathcal{A}_\Omega, avec i\in\{1,2,\cdots, n\}, ont la même probabilité de se produire.

À partir de la mesure de probabilité comme limite des fréquences relatives, nous pouvons établir la probabilité d’un événement comme un quotient de cardinalités. Comme nous l’avons déjà vu, cela se fait par le biais de la relation :

P(E) = \displaystyle \lim_{N\to\infty}g_N(E) = \lim_{N\to\infty}\frac{f_N(E)}{N}= \frac{\# E}{\# \Omega}

Ici, le symbole « # » fait référence à la cardinalité de l’ensemble. C’est ce qu’on appelle la formule des cas favorables sur les cas possibles.

Dans ces situations, le calcul des probabilités se réduit à calculer la cardinalité de l’espace échantillon et de l’événement à mesurer. C’est pourquoi il sera très utile de revoir d’abord certaines techniques de comptage.

Obtention des techniques de comptage

Pour introduire les combinaisons, variations et permutations, nous concevrons quelques expériences avec des résultats équiprobables et, à partir de celles-ci, nous ferons des inférences qui conduisent à ces techniques de comptage.

Supposons que nous avons une « machine aléatoire parfaite », qui consiste en une boîte noire, une mémoire, un bouton d’action et un autre de réinitialisation. La machine a les propriétés suivantes :

1. La machine n’a qu’une seule configuration personnalisable : la cardinalité de son espace échantillon \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}
2. En appuyant sur le bouton d’action, un des éléments de \Omega_N s’affichera à l’écran
3. Lorsque le résultat est affiché, il est stocké dans la mémoire et, tant qu’il y est, il ne sera plus affiché en appuyant sur le bouton d’action.
4. Si la machine a déjà montré tous les résultats possibles, elle se figera et n’affichera rien.
5. Le bouton de réinitialisation efface la mémoire et ce qui est affiché à l’écran.

Avec cette machine, nous concevrons quelques expériences et analyserons leurs espaces échantillons.

Expérience 1 (AORm) : Actionner – Noter dans l’ordre – Réinitialiser, répéter m fois

La machine est configurée avec \#\Omega = N et les étapes suivantes sont répétées m\leq N fois :

1. Appuyez sur le bouton d’action
2. Notez le résultat dans une liste ordonnée
3. Réinitialiser

Lorsque nous aurons terminé, nous aurons une liste ordonnée de m éléments de \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}. Cette liste peut être interprétée comme un m-uplet de \Omega_N. En d’autres termes, l’espace échantillon de cette expérience \Omega_{AORm} sera de la forme

\Omega_{AORm}=\Omega_N \times \cdots \times \Omega_N = \Omega_N^m

Par conséquent, nous aurons \#\Omega_{AORm}=\#\Omega_N^m = N^m.

Expérience 2 (AOk) : Actionner – Noter dans l’ordre, répéter k fois

Nous configurons de nouveau la machine avec \#\Omega = N et les étapes suivantes sont répétées k fois (k\leq N) :

1. Appuyez sur le bouton d’action.
2. Notez le résultat dans une liste ordonnée.

Lorsque nous aurons terminé, nous aurons une liste ordonnée de k éléments de \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}, mais aucun élément ne se répétera avec ceux qui le précèdent.

Comme la machine, en principe, ne favorise aucun résultat possible par rapport à un autre (car elle est parfaitement aléatoire), il est possible de supposer sans perte de généralité qu’en appuyant la première fois, l’événement \{\omega_1\} s’est produit, de sorte que l’espace échantillon de l’action suivante devrait être \Omega_N\setminus\{\omega_1\}. De même, on peut supposer sans perte de généralité qu’en appuyant la deuxième fois, l’événement \{\omega_2\} s’est produit; par conséquent, l’espace échantillon de l’action suivante sera de la forme (\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}. Si nous continuons ainsi, lorsque nous arriverons à la k-ème action, cet espace échantillon aura la forme

(\cdots(\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\ω_2\}\cdots)\setminus\{\ω_{k-1}\}

Ainsi, l’espace échantillon des résultats possibles de cette expérience sera de la forme

\Omega_{AOk}= \Omega \times (\Omega_N\setminus\{\ω_1\}) \times ((\Omega_N\setminus\{\ω_1\})\setminus\{\ω_2\}) \times \cdots \times ((\cdots(\Omega_N\setminus\{\ω_1\})\setminus\{\ω_2\}\cdots)\setminus\{\ω_{k-1}\})

Donc, si nous calculons la cardinalité de cet ensemble, nous obtiendrons

\#\Omega_{AOk}= N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots [N-(k-1)]=\displaystyle \frac{N!}{(N-k)!}

À partir de ce résultat, la définition suivante est créée :

Expérience 3 (ADk) : Actionner – Noter dans le désordre, répéter k fois

Cette expérience est exactement la même que la précédente, sauf que cette fois, l’ordre dans lequel les éléments de \Omega_N apparaissent n’est pas enregistré. Autrement dit, ce qui serait deux k-uplets avec les mêmes éléments, mais dans un ordre différent, est maintenant considéré comme la même chose. Ainsi, étant donné que chaque k-uplet obtenu de l’expérience AOk peut être écrit de (k)_k=k! façons différentes, la cardinalité de l’espace échantillon de cette expérience sera de la forme

\#\Omega_{ADk} = \displaystyle \frac{\#\Omega_{AOk}}{(k)_k} = \frac{(N)_k}{k!} = \frac{N!}{k!(N-k)!}

À partir de cela, on peut établir la définition suivante :

Avec les techniques de comptage de permutation, variation et combinaison, nous pouvons maintenant mesurer la taille d’une grande variété d’ensembles.