الاحتمال الشرطي

ما هو احتمال حدوث الحدث A إذا كان الحدث B قد حدث بالفعل؟ حساب هذه الأنواع من الاحتمالات يتضمن مفهوم الاحتمال الشرطي. فيما يلي، سندرس الاحتمال الشرطي، تعريفه وكيفية استنتاج علاقات التبعية والاستقلالية بين الأحداث من خلاله.

لنفرض أننا نريد قياس انتشار التسوس بين المستهلكين العاديين للحلويات. إذا قمنا بفحص عينة من N أشخاص \Omega_N, سنجد أنها يمكن تقسيمها إلى 4 مجموعات فرعية:

• A:=\left\{ {أشخاص لديهم تسوس}\right\}
• A^c:=\left\{{أشخاص ليس لديهم تسوس}\right\}
• B:=\left\{ {أشخاص يتناولون الحلويات بانتظام}\right\}
• B^c:=\left\{{أشخاص لا يتناولون الحلويات بانتظام}\right\}

من الواضح أنه A\cup A^c = \Omega_N و B\cup B^c = \Omega_N, لكن A\cap B ليس بالضرورة فارغًا. يتم تمثيل السيناريو العام بالشكل التالي:

إذا تذكرنا تعريف الاحتمال كحد للترددات النسبية، يمكننا القول أن احتمال أن يكون لدى الشخص تسوس إذا تم تأكيد أنه يتناول الحلويات، P(A|B) سيكون:

P(A|B) =\displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#B}

من ناحية أخرى، لدينا:

P(A\cap B) = \displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#\Omega_N}

↳ \#(A\cap B) = \#\Omega_N P(A\cap B)

P(B) =\displaystyle \frac{\#B}{\#\Omega_N}

↳ \#B = \#\Omega_N P(B)

لذا، إذا استبدلنا هذين التعبيرين الأخيرين في P(A|B)، سنحصل على:

P(A|B) = \displaystyle \frac{\#\Omega_N P(A\cap B)}{\#\Omega_N P(B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}

وهذا يؤدي إلى التعريف التالي:

التعريف الرسمي للاحتمال الشرطي

التعريف: يتم تعريف احتمال A، إذا كان B قد حدث، P(A|B), من خلال العلاقة:

P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}■

في التفكير اليومي يميل الناس إلى الخلط بين P(A|B) و P(B|A). لتوضيح هذا الفرق، دعونا نراجع مثالًا قائمًا على حالة متطرفة: نلاحظ أنه في حين أن جميع لاعبي كرة القدم لديهم ساقين، فإن جزءًا صغيرًا فقط من الأشخاص الذين لديهم ساقين هم لاعبو كرة قدم.

العلاقة بين الأحداث

بمواصلة مثال انتشار التسوس بين الأشخاص الذين يتناولون الحلويات بانتظام. إذا كان تناول الحلويات يجعل الأشخاص أكثر عرضة للإصابة بالتسوس، فيجب أن يكون:

P(A|B) \gt P(A). هنا لدينا B يعزز A وبالتالي نقول أن هناك ارتباط إيجابي بين الأحداث.

إذا كان العكس، أي أن تناول الحلويات يمنع التسوس، فيجب أن يكون:

P(A|B) \lt P(A). في هذه الحالة، B يثبط A وبالتالي نقول أن هناك ارتباط سلبي بين الأحداث.

وإذا لم يكن هناك أي علاقة بين هذين الحدثين، لا إيجابية ولا سلبية، فيجب أن يكون:

P(A|B) = P(A). من هنا يتم الاستنتاج الذي يتم تقديمه كتعريف في معظم نصوص الاحتمالات:

هذا المنطق يظهر العلاقة بين الاحتمال الشرطي واستقلالية الأحداث.

التعريف: إذا كان لدينا حدثان A و B، فهما يُعتبران مستقلين إذا استوفيا العلاقة:

\color{black}{P(A\cap B)= P(A) P(B)}■

استقلالية الأحداث والمكملات للأحداث

استقلالية حدثين A و B تم إثباتها مكافئة لاستقلالية A مع B^c، استقلالية A^c مع B، واستقلالية A^c مع B^c.

برهان

هذا التعبير الأخير يُقرأ كالتالي: “من حقيقة أن A و B مستقلان، يُستنتج أن A و B^c مستقلان أيضًا.”

البرهان في الاتجاه المعاكس يتم بشكل مشابه.

ويُقرأ هذا التعبير كالتالي: “من حقيقة أن A و B^c مستقلان، يُستنتج أن A و B مستقلان أيضًا.”

أخيرًا، من هذين الاستدلالين، يتم إثبات التكافؤ بين استقلالية A مع B واستقلالية A مع B^c.

يمكن الحصول على باقي التكافؤات المثبتة بشكل مشابه. وستبقى هذه كتحدي للقارئ >:D