الأفكار السابقة لاستنتاج معادلة القطع المكافئ

المفهوم الهندسي للقطع المكافئ

القطع المكافئ هو منحنى يتم الحصول عليه كمجموعة من النقاط التي تكون متساوية البعد عن نقطة ثابتة تُسمى البؤرة وخط ثابت يُسمى الدليل. لفهم هذا التعريف وتحويله إلى تعبير جبري يمكننا التعامل معه، معادلة القطع المكافئ، نحتاج أولاً إلى مراجعة بعض المفاهيم السابقة.

المسافة بين نقطتين في المستوى الديكارتي

لننظر إلى نقطتين p_1 = (x_1, y_1) و p_2 = (x_2, y_2). المسافة بين هاتين النقطتين هي طول القطعة المستقيمة التي تربطهما.

يمكننا قياس هذه المسافة باستخدام نظرية فيثاغورس كما هو موضح في الشكل التالي.

المسافة d بين النقطتين ستكون:

d= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

انتقال الرسوم البيانية

لننظر إلى دالة y(x) = x^2. إذا رسمنا هذا، سنحصل على شيء مشابه لما يظهر في الشكل التالي:

إذا استبدلنا x بـ x-1 و y بـ y-1 في هذه الدالة، سنلاحظ التحول التالي في الرسم البياني:

بشكل عام، ينتج عن كل استبدال من هذا النوع تحوّل ترجمة، أي:

• x\longmapsto x-a: إذا كان a موجبًا، ينتقل a وحدات إلى اليمين، وإذا كان سالبًا ينتقل إلى اليسار.
• y\longmapsto y-b: إذا كان b موجبًا، ينتقل b وحدات إلى الأعلى، وإذا كان سالبًا ينتقل إلى الأسفل.

هذه هي تحولات الترجمة، وتأثيرها العام يمكن تلخيصه في الشكل التالي:

تعريف القطع المكافئ

القطع المكافئ هو مجموعة كل النقاط التي تتساوى مسافتها من نقطة ثابتة وخط ثابت.

النقطة الثابتة تُسمى البؤرة، والخط هو الدليل. إذا أولينا اهتمامًا، سنرى أن مفهوم المسافة هو الأساس لتعريف القطع المكافئ، لذلك لتعميق التحليل، من الضروري مراجعة كيفية قياس المسافات في المستوى الديكارتي وكيف يمكن الحصول عليها جبريًا.

استنتاج المعادلة الأساسية للقطع المكافئ

للتبسيط، لنعتبر أن النقطة البؤرية p_f= (0,f) والدليل هو الخط L بمعادلة y=-p.

إذا أخذنا أي نقطة من القطع المكافئ بإحداثيات (x,y)، فستكون هذه النقطة متساوية البعد عن كل من البؤرة والدليل. يمكن وصف ذلك جبريًا على النحو التالي:

المسافة بين البؤرة والنقطة(x,y) = \sqrt{x^2 + (f-y)^2}= y+f = المسافة بين النقطة(x,y) والدليل

ومن هذا يتم تطوير الاستدلال التالي:

هذا هو ما نسميه المعادلة الأساسية للقطع المكافئ.

إذا نظرنا بعناية إلى هذا القطع المكافئ، سنرى أن هناك نقطة في هذا المنحنى لها خاصية أن تكون الأقرب إلى البؤرة (أو بشكل مكافئ إلى الدليل). هذه النقطة تُسمى الرأس، وفي هذه الحالة بالذات تكون إحداثياتها (0,0) ؛ المسافة بين البؤرة والرأس تُسمى المسافة البؤرية، وقيمتها f يمكن أن تكون أي عدد حقيقي ما عدا الصفر.

عندما f\gt 0، يفتح القطع المكافئ لأعلى، وإذا كان f\lt 0، فإنه يفتح لأسفل. كلما اقترب f\to 0، يزداد تسطح القطع المكافئ مع بقاء الرأس في مكانه، ويقترب الدليل من الرأس. عندما يصبح f صفرًا، يختفي الرسم البياني لأنه لا توجد تقسيمات على الصفر.

المعادلة العامة للقطع المكافئ

من المعادلة الأساسية للقطع المكافئ وتحويل الرسوم البيانية، نحصل على المعادلة العامة للقطع المكافئ مع الرأس في (h,k) عن طريق استبدال x\longmapsto (x-h) و y\longmapsto (y-k).

(y-k) = \dfrac{(x-h)^2}{4f}

المعادلة القانونية للقطع المكافئ ومتعددات الحدود من الدرجة الثانية

إذا قمنا بتطوير المعادلة العامة للقطع المكافئ، نحصل على الاستدلال التالي:

إذا قمنا في هذه المعادلة باستبدال a=\dfrac{1}{4f}, b=-\dfrac{2h}{4f} و c=\dfrac{h^2 + 4fk}{4f}. فإن المعادلة العامة للقطع المكافئ تتحول إلى المعادلة القانونية، والتي تكون في الحقيقة متعددة حدود من الدرجة الثانية.

\boxed{y=ax^2 + bx + c}