Fluxus Electricus et Lex Gaussiana

In electrostatica, campus electricus “a primis principiis” computare valde laboriosum fieri potest, cum geometria distributionis oneris non sit trivialis. Fluxus electricus et Lex Gaussiana viam magis rationabilem praebent: pro certamine cum integralibus interminabilibus, superficiem clausam idoneam eligis et symmetria systematis uteris ad eventus claros atque verificabiles obtinendos. In usu, hoc in pauciores gradus, minores errores et maiorem potestatem conceptualem super id quod agis convertitur. Si vis a “novi formulam” ad “intellego methodum” progredi, hic videbis quomodo Gauss problemata gravia apparentia in solutiones directas convertat, atque quando re vera eius usus conveniat.

Proposita Discendi

1. Explicare rationem qua lex Gaussiana ad campum electricum se habeat.
2. Uti lege Gaussiana ad campos electricos computandos, symmetriis coordinatarum Cartesianarum, cylindricarum et sphaericarum adhibitis.
3. Coniungere formam integralem et differentialem per Theorema Divergentiae, dignoscendo quid singula membra repraesentent.
4. Conferre rationem Gaussii cum computatione directa per integrale Coulombianum, explanando quando complexitatem minuat et quando solutionem clausam non praebeat.

INDEX CONTENTORUM:
Resolutio electrostaticae
Lineae campi electrici
Annotatio de densitate linearum campi et earum repraesentatione
Fluxus Campi Electrici
Lex Gaussiana
Problemata cum symmetria sphaerica
Plures Symmetriae
Problemata cum symmetria cylindrica et planari

Resolutio electrostaticae

Ex iis quae hactenus pertractata sunt, habemus satis esse cognoscere formam elementi campi electrici atque eius distributionem in spatio ad campum electricum totalem determinandum. Si distributionem volumetricam habemus, tunc

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \int_V d\vec{E}(\vec{r})= \int_V \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}^\prime}{\|\vec{r}-\vec{r}^\prime\|^3}dV

ubi \rho(\vec{r}^\prime) est densitas volumetrica oneris. Si densitatem superficialem aut linearem oneris habemus, \rho per \sigma vel \lambda respective substituemus. Ab hoc puncto deinceps, id quod determinat utrum campum electricum invenire possimus necne est utrum integrale solvere valeamus.

Quamvis problema ponere plerumque sit directum, citius aut serius deprehendemus id non semper facile esse ad evaluandum. Re vera, magna pars studii electrostaticae in evolutione rationum consistit quae calculum integralium inutiliter complicatarum vitare sinant. Multae ex his simplificationibus ex analysi vectoriali oriuntur, praesertim ex usu divergentiae.

Lineae campi electrici

Antequam analysim vectorialem introducamus in studio nostro electrostaticae, quasdam notiones exhibebimus quae argumentum paulo magis intuitivum reddent. Agitur de lineis campi electrici.

Incipiamus a simplicissimo: campo electrico oneris punctiformis in origine coordinatarum siti. Hic est formae

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r}

Hoc nobis permittit campum electricum in spatio repraesentare ut collectionem “sagittarum”, quarum directio et magnitudo directionem et intensitatem campi electrici in quolibet puncto describunt.

Cum intensitas campi electrici cum quadrato distantiae ab origine decrescat, vectores paulatim minores fiunt quo longius discedimus. Praeterea, radialiter a onere ad exteriora diriguntur.

Haec repraesentatio utilis est, sed alia etiam magis informativa exstat: “continuum sagittarum conectere” ad campum linearum formandum. Hoc modo, non iam longitudo sagittarum intensitatem campi electrici indicabit, sed “densitas linearum campi” in diagrammate.

Adnotatio de densitate linearum campi earumque repraesentatione

Antequam pergamus, convenit animadvertere quoddam momentum de diagrammate linearum campi electrici. Huiusmodi repraesentatio non est omnino fidelis cum in plano (2D) delineatur. In schemate 2D, si circulum radii r consideramus, numerus totalis linearum super perimetro circumferentiae distribuitur, ita ut densitas linearis sit

\displaystyle \frac{n}{2\pi r}

Quae cum r decrescit, et non cum r^2, sicut exspectatur ut intensitas campi electrici decrescat. Attamen, si exemplum in tribus dimensionibus interpretamur (veluti erinaceum), tunc numerus totalis linearum per superficiem sphaerae divideretur

\displaystyle \frac{n}{4\pi r^2}

atque hoc quidem respectu r^2 decrescit. Aliis verbis, quamquam repraesentatio linearum campi plerumque in duabus dimensionibus fiat, id quod revera intenditur est situatio in tribus dimensionibus. Chartam enim trium dimensionum ad pingendum non habemus: in 2D repraesentamus id quod in 3D communicare volumus.

Fluxus Campi Electrici

Cum quaerimus de numero linearum campi electrici quae certam superficiem transeunt, responsum per fluxum campi electrici super illam superficiem datur. Ita definitur fluxus electricus campi \vec{E} per superficiem S ut

\Phi_{\vec{E},S} =\displaystyle \int_S \vec{E}\cdot d\vec{S}

Non decipiamur notione intuitiva “numeri linearum campi electrici quae superficiem transeunt”. Meminerimus illum numerum linearum (vel densitatem linearum) esse modum repraesentandi intensitatem campi electrici. Quapropter fluxus electricus quem computamus est magnitudo scalaris cum intensitate campi electrici coniuncta, quae superficiem S pervadit.

Lex Gaussiana

Quoniam intensitas campi electrici proportione ad onus electricum respondet, fluxum electricum per superficiem quae certum onus includit exprimere debemus ut quantitatem oneri incluso proportionalem. Re vera, non est difficile demonstrare ita fieri. Consideremus figuram sequentem:

Ex his sequitur:

\begin{array}{rl} \displaystyle \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} &= \displaystyle \oint_S \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_{enc}}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r} \right)\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{\hat{r}}{\|\vec{r}\|^2}\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \underbrace{\oint_S d{\Omega}}_{= 4\pi} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} \end{array}

In summa, obtinemus:

\displaystyle\color{blue}{\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}}

Haec est Lex Gaussiana pro campo electrico in forma integrali, atque relationem proportionalitatis inter fluxum electricum per superficiem clausam et onus inclusum ostendit. Animadvertendum est eam hic in “forma integrali” exhiberi, ut pateat etiam formam differentialem exsistere, quae per Theorema Divergentiae Gaussii in contextu analysi vectorialis obtinetur.

 

Theoremate divergentiae applicato ad fluxum campi electrici per superficiem clausam S, habetur

\displaystyle \oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S} = \int_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{E})dV = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}

Praeterea etiam habetur

\displaystyle \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} dV

Ex his duabus ultimis aequationibus tandem obtinetur

\displaystyle \color{blue}{\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}}

Haec est Lex Gaussiana pro campo electrico in forma differentiali.

Nunc lege Gaussiana uti possumus ad symmetrias geometricae quorundam problematum melius adhibendas atque, magna ex parte, calculum integralium ad campum electricum ducentium simpliciorem reddendum.

Problemata cum symmetria sphaerica

1. Invenire campum electricum ad distantiam z a centro superficiei sphaericae radii R, quae densitatem oneris uniformem \sigma habet. Utrumque casum analysa: cum z\lt R et cum z\geq R.
2. Eandem analysim ac in exercitio priori perage, sed nunc sphaeram solidam uniformiter oneratam cum densitate volumetrica \rho considerans. Deinde confice graphum \|\vec{E}\| ut functio z.
3. Supponamus campum electricum, ad distantiam r ab origine coordinatarum, esse \vec{E}=kr^2\hat{r}, cum k constante. Inveni densitatem oneris \rho huic campo associatam.

Plures Symmetriae

Lex Gaussiana semper vera est, sed non semper utilis. In exemplis prioribus, si \rho non esset uniformis, si symmetria sphaerica deesset, aut si alia figura pro superficie Gaussiana eligeretur, adhuc verum esset fluxum electricum esse q_{enc}/\epsilon_0, sed campus electricus nec constantem magnitudinem haberet nec necessario eadem directione ac elementum d\vec{S} orientaretur; atque his condicionibus carentibus, \|\vec{E}\| e integrali extrahere non possumus.

Symmetria maximi momenti est in applicatione Legis Gaussianae ad problemata solvenda.

Multa genera symmetriarum sunt quibus uti possumus. Inter omnia, haec tria frequentissima sunt:

1. Symmetria sphaerica: Superficies Gaussiana est sphaera concentrica.
2. Symmetria cylindrica: Superficies Gaussiana est cylindrus coaxialis.
3. Symmetria planaris: Superficies Gaussiana est cista rectangula.

Problemata cum symmetria cylindrica et planari

1. Considera funem cylindricum infinite longum, rectum, radii R, atque densitate oneris \rho praeditum huius formae

   \rho(r) = \left\{\begin{array}{lll} kr & ; & r\lt R \\ \\ 0 & ; & R\lt r \\ \\ \end{array}\right.

   ubi k est constans. Calcula campum electricum intra cylindrum.

2. Invenire campum electricum quem producit planum infinitum, densitate oneris uniformi \sigma praeditum.