विद्युत फ्लक्स और गाउस का नियम

विद्युतस्थैतिकी में, जब आवेश वितरण की ज्यामिति सरल न हो, तब विद्युत क्षेत्र की गणना “शून्य से” करना अत्यंत महंगा हो सकता है। विद्युत फ्लक्स और गाउस का नियम एक अधिक बुद्धिमान मार्ग प्रदान करते हैं: अनंत समाकलों से जूझने के बजाय, आप एक उपयुक्त बंद सतह चुनते हैं और प्रणाली की सममिति का उपयोग करके स्पष्ट और सत्यापित परिणाम प्राप्त करते हैं। व्यवहार में, इसका अर्थ है कम चरण, कम त्रुटियाँ और इस बात पर अधिक वैचारिक नियंत्रण कि आप क्या कर रहे हैं। यदि आप “मुझे विधि पता है” से “मैं विधि को समझता हूँ” की ओर बढ़ना चाहते हैं, तो यहाँ आप देखेंगे कि गाउस कैसे उन समस्याओं को, जो भारी लगती हैं, प्रत्यक्ष समाधानों में बदल देता है, और वास्तव में कब इसका उपयोग करना उपयुक्त होता है।

अधिगम उद्देश्य

1. व्याख्या करना कि विद्युत क्षेत्र के लिए गाउस का नियम कैसे कार्य करता है।
2. उपयोग करना गाउस के नियम का, कार्तीय, बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांकों की सममितियों का लाभ उठाकर विद्युत क्षेत्रों की गणना हेतु।
3. संबंध स्थापित करना समाकल और अवकल रूपों के बीच, विचलन प्रमेय के माध्यम से, यह पहचानते हुए कि प्रत्येक पद क्या दर्शाता है।
4. तुलना करना गाउस के दृष्टिकोण की, कूलॉम्ब समाकल द्वारा प्रत्यक्ष गणना से, यह स्पष्ट करते हुए कि कब यह जटिलता को कम करता है और कब यह एक बंद-रूप समाधान प्रदान नहीं करता।

विषय-सूची:
विद्युतस्थैतिकी का समाधान
विद्युत क्षेत्र रेखाएँ
क्षेत्र रेखाओं के घनत्व और उनके निरूपण पर टिप्पणी
विद्युत क्षेत्र का फ्लक्स
गाउस का नियम
गोलाकार सममिति वाली समस्याएँ
अधिक सममितियाँ
बेलनाकार और समतलीय सममिति वाली समस्याएँ

विद्युतस्थैतिकी का समाधान

अब तक की समीक्षा के आधार पर हमारे पास यह है कि विद्युत क्षेत्र के अवयव के रूप और उसके स्थान में वितरण को जानना ही कुल विद्युत क्षेत्र निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है। यदि हमारे पास एक आयतनात्मक वितरण है, तो

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \int_V d\vec{E}(\vec{r})= \int_V \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}^\prime}{\|\vec{r}-\vec{r}^\prime\|^3}dV

जहाँ \rho(\vec{r}^\prime) आवेश की आयतनात्मक घनता है। यदि हमारे पास सतही या रैखिक आवेश घनता हो, तो हम क्रमशः \rho को \sigma या \lambda से प्रतिस्थापित करेंगे। इस बिंदु से आगे, यह तय करता है कि हम विद्युत क्षेत्र निकाल सकते हैं या नहीं, यह कि हम समाकल को हल कर पाते हैं या नहीं।

यद्यपि समस्या का प्रतिपादन सामान्यतः सीधा होता है, लेकिन शीघ्र ही हम पाएँगे कि इसका मूल्यांकन करना हमेशा सरल नहीं होता। वास्तव में, विद्युतस्थैतिकी के अध्ययन का एक बड़ा भाग ऐसी रणनीतियाँ विकसित करने में निहित है जो अनावश्यक रूप से जटिल समाकलों की गणना से बचने की अनुमति दें। इन सरलीकरणों में से कई सदिश विश्लेषण से आती हैं, विशेष रूप से विचलन के उपयोग से।

विद्युत क्षेत्र रेखाएँ

सदिश विश्लेषण को प्रस्तुत करने से पहले विद्युतस्थैतिकी के हमारे अध्ययन में, हम कुछ ऐसे विचार प्रस्तुत करेंगे जो इस विषय को थोड़ा अधिक सहज बनाने में सहायता करेंगे। मैं विद्युत क्षेत्र रेखाओं की बात कर रहा हूँ।

सबसे सरल स्थिति से प्रारंभ करें: निर्देशांक मूल पर स्थित एक बिंदु आवेश का विद्युत क्षेत्र। यह निम्न रूप का होता है

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r}

यह हमें अंतरिक्ष में विद्युत क्षेत्र को “तीरों” के एक समुच्चय के रूप में निरूपित करने की अनुमति देता है, जिनकी दिशा और परिमाण प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा और तीव्रता का वर्णन करते हैं।

चूँकि विद्युत क्षेत्र की तीव्रता मूल से दूरी के वर्ग के साथ घटती है, इसलिए जैसे-जैसे हम दूर जाते हैं, सदिश छोटे होते जाते हैं। इसके अतिरिक्त, वे आवेश से बाहर की ओर रेडियल दिशा में संकेत करते हैं।

यह निरूपण उपयोगी है, लेकिन एक और भी अधिक सूचनात्मक निरूपण मौजूद है: तीरों के सतत समूह को “जोड़ना” ताकि रेखाओं का एक क्षेत्र बनाया जा सके। इस प्रकार, विद्युत क्षेत्र की तीव्रता तीरों की लंबाई से नहीं, बल्कि आरेख में “क्षेत्र रेखाओं के घनत्व” से संकेतित होगी।

क्षेत्र रेखाओं के घनत्व और उनके निरूपण पर टिप्पणी

आगे बढ़ने से पहले, विद्युत क्षेत्र रेखाओं के आरेख के बारे में एक विवरण पर ध्यान देना उचित है। इस प्रकार का निरूपण तब पूरी तरह विश्वसनीय नहीं होता जब इसे किसी समतल (2D) में खींचा जाता है। एक 2D आरेख में, यदि हम त्रिज्या r वाले एक वृत्त पर विचार करें, तो रेखाओं की कुल संख्या परिधि पर वितरित हो जाती है, इस प्रकार रैखिक घनत्व होता है

\displaystyle \frac{n}{2\pi r}

यह r के सापेक्ष घटता है, न कि r^2 के सापेक्ष, जैसा कि विद्युत क्षेत्र की तीव्रता से अपेक्षित होता है। तथापि, यदि हम इस मॉडल की तीन आयामों में व्याख्या करें (एक साही की तरह), तो रेखाओं की कुल संख्या एक गोले की सतह पर विभाजित हो जाएगी

\displaystyle \frac{n}{4\pi r^2}

और यह वास्तव में r^2 के सापेक्ष घटता है। दूसरे शब्दों में, यद्यपि क्षेत्र रेखाओं का निरूपण सामान्यतः 2 आयामों में किया जाता है, वास्तव में जो संक्षेपित किया जा रहा होता है वह 3 आयामों की स्थिति होती है। हमारे पास उसे खींचने के लिए तीन आयामी काग़ज़ नहीं होता: हम 2D में उस बात का निरूपण करते हैं जिसे हम 3D में संप्रेषित करना चाहते हैं।

विद्युत क्षेत्र का फ्लक्स

जब हम इस प्रश्न पर विचार करते हैं कि किसी निर्धारित सतह को कितनी विद्युत क्षेत्र रेखाएँ काटती हैं, तो इसका उत्तर उस सतह पर विद्युत क्षेत्र के फ्लक्स द्वारा दिया जाता है। इस प्रकार, किसी सतह S पर क्षेत्र \vec{E} का विद्युत फ्लक्स इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

\Phi_{\vec{E},S} =\displaystyle \int_S \vec{E}\cdot d\vec{S}

हमें “किसी सतह को काटने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या” की सहज धारणा से भ्रमित नहीं होना चाहिए। स्मरण रखें कि रेखाओं की यह संख्या (या रेखाओं का घनत्व) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता को निरूपित करने का एक तरीका मात्र है। अतः जो विद्युत फ्लक्स हम गणना करते हैं, वह सतह S से होकर गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र की तीव्रता से संबद्ध एक अदिश राशि है।

गाउस का नियम

चूँकि विद्युत क्षेत्र की तीव्रता विद्युत आवेश के समानुपाती होती है, इसलिए हमें किसी ऐसी सतह पर विद्युत फ्लक्स को, जो कुछ आवेश को घेरती है, घिरे हुए आवेश के समानुपाती मात्रा के रूप में व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए। वास्तव में, यह दिखाना कठिन नहीं है कि ऐसा ही होता है। निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:

इससे निम्न प्राप्त होता है:

\begin{array}{rl} \displaystyle \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} &= \displaystyle \oint_S \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_{enc}}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r} \right)\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{\hat{r}}{\|\vec{r}\|^2}\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \underbrace{\oint_S d{\Omega}}_{= 4\pi} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} \end{array}

संक्षेप में, हमें प्राप्त होता है:

\displaystyle\color{blue}{\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}}

यह विद्युत क्षेत्र के लिए गाउस का नियम, इसके समाकल रूप में है, और यह एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत फ्लक्स तथा घिरे हुए आवेश के बीच समानुपातिक संबंध को दर्शाता है। ध्यान दें कि इसे “समाकल रूप” में प्रस्तुत किया गया है ताकि यह स्पष्ट किया जा सके कि इसका एक अवकल रूप भी मौजूद है, जिसे सदिश विश्लेषण के संदर्भ में गाउस के विचलन प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।

 

विचलन प्रमेय को लागू करते हुए विद्युत क्षेत्र के फ्लक्स पर, बंद सतह S के लिए, हमें प्राप्त होता है

\displaystyle \oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S} = \int_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{E})dV = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}

दूसरी ओर, यह भी प्राप्त होता है

\displaystyle \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} dV

इन अंतिम दो समीकरणों से अंततः यह प्राप्त होता है कि

\displaystyle \color{blue}{\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}}

यह विद्युत क्षेत्र के लिए गाउस का नियम, इसके अवकल रूप में है।

अब हम गाउस के नियम का उपयोग कर सकते हैं ताकि कुछ समस्याओं की ज्यामितीय सममितियों का बेहतर लाभ उठाया जा सके और उन समाकलों की गणना को काफी हद तक सरल किया जा सके जो विद्युत क्षेत्र तक ले जाती हैं।

गोलाकार सममिति वाली समस्याएँ

1. त्रिज्या R वाली एक गोलाकार सतह के केंद्र से दूरी z पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करें, जिसकी आवेश घनता \sigma समान रूप से वितरित है। दोनों स्थितियों का विश्लेषण करें: जब z\lt R, और जब z\geq R।
2. पिछले अभ्यास के समान ही विश्लेषण करें, लेकिन अब एक ठोस गोले पर विचार करते हुए, जो आयतनात्मक घनता \rho के साथ समान रूप से आवेशित है। इसके बाद \|\vec{E}\| का z के फलन के रूप में एक ग्राफ़ बनाइए।
3. मान लें कि निर्देशांक मूल से दूरी r पर विद्युत क्षेत्र \vec{E}=kr^2\hat{r} है, जहाँ k एक नियतांक है। इस क्षेत्र से संबद्ध आवेश घनता \rho ज्ञात करें।

अधिक सममितियाँ

गाउस का नियम सदैव सत्य होता है, लेकिन यह हमेशा उपयोगी नहीं होता। पूर्ववर्ती उदाहरणों में, यदि \rho समान न होता, यदि गोलाकार सममिति न होती, या यदि गाउसियन सतह के लिए कोई अन्य आकृति चुनी जाती, तब भी यह सत्य रहता कि विद्युत फ्लक्स q_{enc}/\epsilon_0 है, किंतु विद्युत क्षेत्र न तो अनिवार्य रूप से स्थिर होता और न ही तत्व d\vec{S} के समान दिशा में उन्मुख होता; और इन शर्तों के बिना हम \|\vec{E}\| को समाकल से बाहर नहीं निकाल सकते।

समस्याओं के समाधान में गाउस के नियम के अनुप्रयोग हेतु सममिति अत्यंत महत्वपूर्ण है।

ऐसी अनेक प्रकार की सममितियाँ हैं जिनका हम लाभ उठा सकते हैं। उनमें से निम्नलिखित तीन सबसे अधिक प्रचलित हैं:

1. गोलाकार सममिति: गाउसियन सतह एक समकेंद्रित गोला होती है।
2. बेलनाकार सममिति: गाउसियन सतह एक सह-अक्षीय बेलन होती है।
3. समतलीय सममिति: गाउसियन सतह एक आयताकार बॉक्स होती है।

बेलनाकार और समतलीय सममिति वाली समस्याएँ

1. एक बेलनाकार तार पर विचार करें जो अनंत लंबा, सीधा, त्रिज्या R का है और जिस पर आवेश घनता \rho निम्न रूप में वितरित है

   \rho(r) = \left\{\begin{array}{lll} kr & ; & r\lt R \\ \\ 0 & ; & R\lt r \\ \\ \end{array}\right.

   जहाँ k एक नियतांक है। बेलन के भीतर विद्युत क्षेत्र की गणना करें।

2. उस विद्युत क्षेत्र को ज्ञात करें जो उत्पन्न होता है एक अनंत समतल द्वारा, जिस पर समान आवेश घनता \sigma विद्यमान है।