Regra da Cadeia para a derivada da composição de funções
Com o que vimos até agora, já temos todo o básico para calcular quase qualquer derivada. No entanto, devemos distinguir entre a possibilidade de calcular uma derivada e o esforço que investimos em realizar tais cálculos, e é aqui que entram em jogo teoremas como o da regra da cadeia para o cálculo em uma variável. A regra da cadeia nos permitirá calcular rapidamente derivadas que, de outra forma, implicariam um trabalho bastante tedioso e complicado.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS
O teorema da regra da cadeia em uma variável real
Demonstração da regra da cadeia
Exemplos de uso da regra da cadeia em funções de uma variável
Precaução a ter em conta ao aplicar a regra da cadeia
Resultados úteis obtidos a partir da regra da cadeia
Teorema da função inversa
Derivada da função exponencial
Derivada das Trigonométricas Inversas
Derivação Implícita
Derivadas de potências racionais
Derivadas de potências racionais
Guia de Exercícios
O teorema da regra da cadeia em uma variável real
Sejam f e g duas funções suscetíveis de composição
f: A\subseteq \mathbb{R} \longmapsto B\subseteq \mathbb{R}
g: B\subseteq Dom(g) \longmapsto D\subseteq \mathbb{R}
Se f é derivável em A e g é derivável em B, então a função composta g\circ f é derivável para todos os x\in A e valerá a fórmula
\displaystyle \frac{d}{dx}(g\circ f)(x) = \frac{d}{dx} g(f(x)) = \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx}
Demonstração da regra da cadeia
Consideremos as funções f e g tal como definidas anteriormente. Se calcularmos a derivada da composição, então teremos
\begin{array}{rcl} \dfrac{d}{dx} g(f(x))& = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{\Delta x} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{f(x+\Delta x) - f(x)} \\ \\ &=& \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \lim_{f(x+\Delta x) \to f(x) } \frac{g(f(x + \Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\Delta x) - f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \\ &=& \displaystyle \frac{dg(f(x))}{df(x)} \frac{df(x)}{dx} \end{array}
Que é o que se queria demonstrar.
Exemplos de uso da regra da cadeia em funções de uma variável
Algo que fica claro, ao menos à primeira vista, porém não tanto desde uma perspectiva operacional, é o fato de que a regra da cadeia nos diz que, quando encontramos uma composição de funções, podemos derivar “de fora para dentro”. Para explicar isso de uma forma fácil de entender, os exemplos são de longe o caminho mais rápido.
- Se nos pedem para derivar f(x) = (2x^2+1)^{12}, primeiro desenvolveríamos as potências e depois aplicaríamos a derivada da potência sobre cada uma das partes desse grande polinômio que teríamos obtido como resultado. Um trabalho desnecessariamente exaustivo. Com a regra da cadeia, o cálculo da derivada pode ser feito em poucas linhas:
\displaystyle \frac{d}{dx} (2x^2+1)^{12} = 12(2x^2+1)^{11}(4x)= 48x(2x^2+1)^{11}
- Tenta calcular a derivada de g(x) = \sin(\cos(x)) apenas com as técnicas básicas de derivação e enfrenta o sofrimento eterno. Faz isso usando a regra da cadeia e o resultado aparecerá sem lágrimas e em poucos passos:
\displaystyle \frac{d}{dx} \sin(\cos(x))= -\cos(cos(x))\sin(x)
- Também podes calcular a derivada de funções que são a composição de muitas funções. Se f(x)=\cos(\cos(\cos(x))), a derivada de df/dx fica como:
\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d}{dx} \cos(\cos(\cos(x))) &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot(-\sin(\cos(x))\cdot(-\sin(x)) \\ \\ &=& -\sin(\cos(\cos(x)))\cdot\sin(\cos(x))\cdot\sin(x) \end{array}
Como podes ver, aplicar a regra da cadeia é simplesmente derivar de maneira encadeada desde fora até dentro.
Precaução a ter em conta diante da regra da cadeia
Na literatura, todos mostram os grandes benefícios de usar a regra da cadeia, mas muito poucos são enfáticos nas precauções que devem ser tomadas antes de utilizá-la. Apesar da potência desse teorema, deves sempre prestar muita atenção aos domínios e contradomínios das funções antes de aplicar a regra da cadeia. Antes de trabalhar, deves assegurar que os domínios e contradomínios das funções sejam compatíveis para a composição; caso contrário, corres o risco de calcular derivadas onde elas não existem. Se, por exemplo, derivaras uma função do tipo
f(x)=\ln(\cos(x))
se confias cegamente na regra da cadeia, farás cálculos como o seguinte:
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(\cos(x)) = -\frac{1}{\cos(x)}\sin(x) = -\tan(x)
Claramente, a função tangente está bem definida para um valor de x=2\pi/3, pois seu valor é \tan(2\pi/3) = -\sqrt{3}. Porém, a função f(x)=\ln(\cos(x)) não está bem definida aí porque f(2\pi/3) = \ln(\cos(2\pi/3)) = \ln(-1/2), e não existe logaritmo de números negativos! Em casos como este, é necessário indicar, antes de aplicar a regra da cadeia, que os valores de x a serem considerados são tais que mantêm positiva a função cosseno (de modo a assegurar a compatibilidade sob composição) e só então a regra da cadeia será válida.
Resultados úteis obtidos a partir da regra da cadeia
A regra da cadeia não é útil apenas para realizar cálculos de derivadas que de outra forma seriam insuportáveis; ela também é útil para expandir ainda mais as técnicas de derivação para muitas outras funções. A seguir, revisaremos essas técnicas, seus resultados e demonstrações.
Teorema da função inversa
Seja f uma função bijetiva e derivável em algum intervalo I\subseteq \mathbb{R}. Utilizando a regra da cadeia, é possível calcular a derivada da função identidade (f^{-1}\circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x. Os cálculos dão o seguinte resultado:
1 = \displaystyle \frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}
A partir disso, pode-se isolar df^{-1}(f(x))/df(x) e obtém-se o resultado:
\displaystyle \color{blue}{\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}= \frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}}
Isto é o que se conhece como o teorema da função inversa para o cálculo das derivadas. Na literatura, é comum encontrar esse teorema escrito na forma
\displaystyle \color{blue}{\frac{dx}{dy}= \frac{1}{\frac{dy}{dx}}}
Ambas as formas de expressar o teorema da função inversa são equivalentes e resultam de escrever y=f(x) e x=f^{-1}(y).
Até aqui vimos tudo o que se pode dizer sobre o conteúdo do teorema da função inversa; agora veremos como podemos utilizá-lo para calcular algumas derivadas que, de outra forma, seriam bastante difíceis.
Derivada da função exponencial
Quando estudamos as técnicas básicas de derivação, vimos que
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}
Com este resultado e o teorema da função inversa, é fácil provar que
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x
DEMONSTRAÇÃO:
É claro que y=\ln(x) é equivalente a dizer que x=e^y. Em seguida, aplicando o teorema da função inversa, tem-se:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{\frac{d}{dx}\ln(x)} = x = e^y
É dizer:
\displaystyle \frac{d}{dy}e^y = e^y
Se nesta última expressão substituirmos os “y” por “x”, obtemos o que se queria demonstrar:
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x.
Derivada das Trigonométricas Inversas
O teorema da função inversa também nos permitirá obter as derivadas de todas as inversas trigonométricas. Estas são:
\begin{array}{ccccccc} \dfrac{d}{dx}\text{Arcsin}(x) &=& \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccos}(x) &=& \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arctan}(x) &=& \dfrac{1}{1+x^2} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccot}(x) &=& \dfrac{-1}{1-x^2} \\ \\ \dfrac{d}{dx}\text{Arcsec}(x) &=& \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} &\phantom{asd}&\dfrac{d}{dx}\text{Arccsc}(x) &=& \dfrac{-1}{x\sqrt{x^2-1}} \end{array}
DEMONSTRAÇÃO
Arco seno
Mostrar DemostraciónA função \sin(x) é bijetiva sempre que restrinjamos seu domínio a um conjunto da forma \displaystyle \left[\frac{-\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], sendo k um inteiro qualquer. Sem perda de generalidade, é possível limitar-se ao caso principal, onde k=0, de modo que a função seno bijetiva será da forma
\displaystyle\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow [-1,1]
e sob estas condições cumpre-se que
y=\sin(x) \longleftrightarrow x=arcsin(y).
Se aplicarmos o teorema da função inversa, tem-se:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sin(x)} = \frac{1}{\cos(x)}
Agora, recordemos a identidade trigonométrica
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
da qual se infere que, se x\in [-\pi/2, \pi/2], então se cumpre
\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}
Depois, se substituirmos isso na derivada do arco seno, chegaremos à expressão
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{ \sqrt{1 - \sin^2(x)}}
E como y=\sin(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arcsin(y) = \frac{1}{ \sqrt{1 - y^2}}
Finalmente, substituindo os “y” por “x” nesta última expressão, chegamos ao que se queria demonstrar:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
Arco cosseno
Mostrar DemostraciónA função \cos(x) é bijetiva sempre que restrinjamos seu domínio a um conjunto da forma \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], sendo k um inteiro qualquer. Sem perda de generalidade, é possível limitar-se ao caso principal, onde k=0, de modo que a função cosseno bijetiva será da forma
\cos : \left[0, \pi\right] \longrightarrow [-1,1]
e sob estas condições cumpre-se que
y=\cos(x) \longleftrightarrow x=arccos(y).
Se aplicarmos o teorema da função inversa, tem-se:
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\cos(x)} = \frac{-1}{\sin(x)}
Agora, recordemos a identidade trigonométrica
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
da qual se infere que, se x\in [0, \pi], então se cumpre
\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}
Depois, se substituirmos isso na derivada do arco cosseno, chegaremos à expressão
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{\sin(x)} = \frac{-1}{ \sqrt{1 - \cos^2(x)}}
E como y=\cos(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arccos(y) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - y^2}}
Finalmente, substituindo os “y” por “x” nesta última expressão, chegamos ao que se queria demonstrar:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arccos(x) = \frac{-1}{ \sqrt{1 - x^2}}}
Arco tangente
Mostrar DemostraciónA função \tan(x) é bijetiva sempre que restrinjamos seu domínio a um conjunto da forma \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2}+ k\pi \right], sendo k um inteiro qualquer. Sem perda de generalidade, é possível limitar-se ao caso principal, onde k=0, de modo que a função tangente bijetiva será da forma
\displaystyle \tan : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \longrightarrow \mathbb{R}
e sob estas condições cumpre-se que
y=\tan(x) \longleftrightarrow x=arctan(y).
Se aplicarmos o teorema da função inversa, tem-se:
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\tan(x)} = \frac{1}{\sec^2(x)}
Agora, recordemos a identidade trigonométrica
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
da qual se infere que
\sec^2(x) =1+\tan^2(x)
Depois, se substituirmos isso na derivada do arco tangente, chegaremos à expressão
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{1}{ 1+\tan^2(x)}
E como y=\tan(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arctan(y) = \frac{1}{1 + y^2}
Finalmente, substituindo os “y” por “x” nesta última expressão, chegamos ao que se queria demonstrar:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arctan(x) = \frac{1}{1+ x^2}}
Arco cotangente
Mostrar DemostraciónA função cot(x) é bijetiva sempre que restrinjamos seu domínio a um conjunto da forma \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right], sendo k um inteiro qualquer. Sem perda de generalidade, é possível limitar-se ao caso principal, onde k=0, de modo que a função cotangente bijetiva será da forma
ctg : \left[0, \pi\right] \longrightarrow \mathbb{R}
e sob estas condições cumpre-se que
y=ctg(x) \longleftrightarrow x=arcctg(y).
Se aplicarmos o teorema da função inversa, tem-se:
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}ctg(x)} = \frac{-1}{\csc^2(x)}
Agora, recordemos a identidade trigonométrica
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
da qual se infere que
\csc^2(x) =1+ctg^2(x)
Depois, se substituirmos isso na derivada do arco cotangente, chegaremos à expressão
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{\csc^2(x)} = \frac{-1}{ 1+ctg^2(x)}
E como y=ctg(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}arcctg(y) = \frac{-1}{1 + y^2}
Finalmente, substituindo os “y” por “x” nesta última expressão, chegamos ao que se queria demonstrar:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}arcctg(x) = \frac{-1}{1+ x^2}}
Arco secante
Mostrar DemostraciónA função \sec(x) é bijetiva sempre que restrinjamos seu domínio a um conjunto da forma \displaystyle \left[0+k\pi , \pi+ k\pi \right]\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}, sendo k um inteiro qualquer. Sem perda de generalidade, é possível limitar-se ao caso principal, onde k=0, de modo que a função secante bijetiva será da forma
\sec : \left[0, \pi\right]\setminus\{\pi/2\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
e sob estas condições cumpre-se que
y=\sec(x) \longleftrightarrow x={arcsec}(y).
Se aplicarmos o teorema da função inversa, tem-se:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sec(x)} = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)}
Agora, recordemos a identidade trigonométrica
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
da qual se infere que
\tan^2(x) =\sec^2(x)-1
Depois, se substituirmos isso na derivada do arco secante, chegaremos à expressão
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)} = \frac{1}{sec(x)\sqrt{\sec^2(x)-1}}
E como y=\sec(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{1}{y\sqrt{y^2-1}}
Finalmente, substituindo os “y” por “x” nesta última expressão, chegamos ao que se queria demonstrar:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arcsec}(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}
Arco cosecante
Mostrar DemostraciónA função \csc(x) é bijetiva sempre que restrinjamos seu domínio a um conjunto da forma \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}+k\pi , \frac{\pi}{2} + k\pi \right]\setminus\left\{0+k\pi\right\}, sendo k um inteiro qualquer. Sem perda de generalidade, é possível limitar-se ao caso principal, onde k=0, de modo que a função cossecante bijetiva será da forma
\displaystyle \csc : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}\setminus]-1,1[
e sob estas condições cumpre-se que
y=\csc(x) \longleftrightarrow x={arccsc}(y).
Se aplicarmos o teorema da função inversa, tem-se:
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\csc(x)} = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)}
Agora, recordemos a identidade trigonométrica
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
da qual se infere que
ctg^2(x) =\csc^2(x)-1
Depois, se substituirmos isso na derivada do arco cossecante, chegaremos à expressão
\displaystyle \frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \frac{-1}{\csc(x)ctg(x)} = \frac{-1}{csc(x)\sqrt{\csc^2(x)-1}}
E como y=\csc(x)
\displaystyle \frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \frac{-1}{y\sqrt{y^2-1}}
Finalmente, substituindo os “y” por “x” nesta última expressão, chegamos ao que se queria demonstrar:
\displaystyle \color{blue}{\frac{d}{dx}{arccsc}(x) = \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}}
Derivação Implícita
Todas as derivadas que calculamos até agora foram realizadas sobre funções definidas de forma explícita: y=f(x). No entanto, há situações em que, a partir da relação entre variáveis, ou não é simples obter a expressão explícita da função, ou simplesmente tal tarefa não é realizável. Para esse tipo de caso serve a técnica da derivação implícita, e seus fundamentos se encontram, mais uma vez, na regra da cadeia.
Para entender essa técnica, valem mais os exemplos do que as demonstrações; portanto, consideremos a relação entre as variáveis x e y dada pela equação
x^3 +y^3- 9xy=0
Se representarmos graficamente essa relação, perceberemos que não é o gráfico de nenhuma função. É o gráfico de uma curva chamada “folha de Descartes”.
Agora, se quiséssemos calcular, por exemplo, a derivada de y com respeito a x, então teríamos sérias dificuldades para encontrar explicitamente a expressão f(x) que satisfaz a equação y=f(x) para depois derivar. O que fazemos, porém, é saltar esse passo e assumir implicitamente que y é função de x, ou seja: y=y(x). Fazendo isso, a relação da folha de Descartes transforma-se em:
x^3 +y^3(x)- 9xy(x)=0
E podemos, consequentemente, derivar tudo utilizando a regra da cadeia. Se o fizermos, chegaremos ao seguinte resultado:
\begin{array}{rcl} \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - \left(9\,y(x) + 9x\,\frac{dy}{dx}\right) &=& 0 \\ \\ \displaystyle 3x^{2} + 3\,y(x)^{2}\,\frac{dy}{dx} - 9\,y(x) - 9x\,\frac{dy}{dx} &=& 0 \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}\,\big(3\,y(x)^{2} - 9x\big) &=& 9\,y(x) - 3x^{2} \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \dfrac{9\,y(x) - 3x^{2}}{3\,y(x)^{2} - 9x} \\ \\ \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx}} &\color{blue}{=}& \color{blue}{\dfrac{3\,y(x) - x^{2}}{y(x)^{2} - 3x}} \end{array}
A partir disso, podemos calcular, se conhecemos um ponto da curva, a inclinação da reta tangente que passa por esse ponto. Por exemplo, a partir do gráfico podemos intuir que o ponto (2,4) está sobre a curva; e, de fato, isso se comprova porque 2^3 + 4^3 - 9\cdot 2\cdot 4 = 8+64 - 72 = 0. Sabendo isso, podemos dizer rapidamente que a inclinação da reta tangente que passa por esse ponto será:
\displaystyle \color{blue}{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)}= \frac{3\cdot 4 - 2^2}{4^2 - 3\cdot 2}= \frac{8}{10}= \frac{4}{5}}
Derivadas de potências racionais
Derivando implicitamente, é possível ampliar o alcance de uma das técnicas básicas de derivação. Esta é a derivada de funções do tipo f(x)=x^n, com n\in\mathbb{Z}. Agora podemos passar de considerar inteiros a racionais e demonstrar sem dificuldade que
\displaystyle \frac{d}{dx}x^{p/q}= \frac{p}{q}x^{(p/q) -1}
Onde p,q\in\mathbb{Z} e q\neq 0.
Para demonstrar isso, dizemos: seja y=x^{p/q} e aplicamos logaritmo natural para obter:
\ln(y) = \displaystyle \frac{p}{q}\ln(x)
Agora, derivando implicitamente esta expressão teremos:
\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x} \displaystyle \color{blue}{\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\frac{1}{x}y(x)= \frac{p}{q}\frac{1}{x}x^{p/q} = \frac{p}{q}x^{(p/q) - 1}}
Guia de Exercícios:
Regra da Cadeia Uma Variável
- Calcule as derivadas do seguinte grupo de funções:
a. f(x)=(x^2-3)^{12} b. f(x)=\displaystyle \left(\frac{4x^3 - x\cos(2x) - 1}{\sin(2x) + 2} \right)^5 c. f(x)=\cos(1-x^2) d. f(x)=\tan(x\cos(3-x^2)) e. f(x)=\displaystyle \frac{1}{(\sec(2x)-1)^{3/2}} f. f(x)=\displaystyle \frac{\tan(2x)}{1-\cot(2x)} g. f(x)=\displaystyle \ln\left(\frac{\tan(x)}{x^2+1}\right) h. f(x)=3^{\csc(4x)} - Calcule a derivada do seguinte grupo de funções:
a. f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}arctan\left(x^3\right)} b. f(x)=\displaystyle \frac{{arcsec}(x^2-x+2)}{\sqrt{x^2+1}} c. f(x)=x^x d. f(x)={arccsc}\left(x^{\ln(x)}\right) e. f(x)=\ln\left(arctan(e^x)\right)