Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit zwischen Ereignissen
Zusammenfassung
In dieser Sitzung werden wir das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit und die Wechselwirkung zwischen Ereignissen untersuchen. Wir werden die Fähigkeiten erwerben, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und die Abhängigkeit oder Unabhängigkeit zwischen Ereignissen zu bestimmen. Wir wenden praktische Beispiele an, wie die Untersuchung der Kariesprävalenz bei Süßwarenkonsumenten, um diese Konzepte zu veranschaulichen. Am Ende wirst du ein klares Verständnis davon haben, wie man die bedingte Wahrscheinlichkeit anwendet und abhängige sowie unabhängige Ereignisse analysiert.
LERNZIELE:
Am Ende dieser Sitzung wirst du in der Lage sein:
- Verstehen der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und ihrer Beziehung zum Schnitt von Ereignissen und zu den einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
- Identifizieren positiver und negativer Zusammenhänge zwischen Ereignissen durch den Vergleich bedingter Wahrscheinlichkeiten.
- Nachweisen der Unabhängigkeit zwischen verschiedenen Ereignissen.
INHALTSVERZEICHNIS
DIE BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT
FORMALE DEFINITION DER BEDINGTEN WAHRSCHEINLICHKEIT
BEZIEHUNG ZWISCHEN EREIGNISSEN
UNABHÄNGIGKEIT ZWISCHEN EREIGNISSEN UND KOMPLEMENTEN VON EREIGNISSEN
Die bedingte Wahrscheinlichkeit
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, wenn B bereits eingetreten ist? Die Berechnung dieser Art von Wahrscheinlichkeiten beinhaltet das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit. Im Folgenden werden wir die bedingte Wahrscheinlichkeit, ihre Definition und wie sich daraus Abhängigkeits- und Unabhängigkeitsbeziehungen zwischen Ereignissen ableiten lassen, untersuchen.
Nehmen wir an, wir wollen die Kariesprävalenz unter regelmäßigen Süßwarenkonsumenten messen. Wenn wir einen Stichprobenraum bestehend aus N Personen \Omega_N, betrachten, sehen wir, dass er in 4 Teilmengen unterteilt werden kann:
- A:=\left\{ {Personen\;mit\;Karies}\right\}
- A^c:=\left\{{Personen\;OHNE\;Karies}\right\}
- B:=\left\{ {Personen\;die\;regelmäßig\;Süßigkeiten\;essen}\right\}
- B^c:=\left\{{Personen\;die\;NICHT\;regelmäßig\;Süßigkeiten\;essen}\right\}
Daraus ist klar, dass A\cup A^c = \Omega_N und B\cup B^c = \Omega_N, aber A\cap B ist nicht notwendigerweise leer. Das allgemeine Szenario wird durch die folgende Abbildung dargestellt:
Wenn wir uns also an die Definition von Wahrscheinlichkeit erinnern als das Limit der relativen Häufigkeiten, können wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Karies hat, gegeben dass bestätigt wurde, dass sie Süßigkeiten konsumiert, P(A|B) lautet:
P(A|B) =\displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#B}
Andererseits gilt:
P(A\cap B) = \displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#\Omega_N}
↳ \#(A\cap B) = \#\Omega_N P(A\cap B)
P(B) =\displaystyle \frac{\#B}{\#\Omega_N}
↳ \#B = \#\Omega_N P(B)
Wenn wir also diese letzten beiden Ausdrücke in P(A|B) einsetzen, erhalten wir:
P(A|B) = \displaystyle \frac{\#\Omega_N P(A\cap B)}{\#\Omega_N P(B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}
Damit ergibt sich die folgende Definition
Formale Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
DEFINITION: Die Wahrscheinlichkeit von A, gegeben dass B eingetreten ist, P(A|B), wird durch die folgende Beziehung definiert
P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}■
Im alltäglichen Denken neigt man dazu, eine gewisse Verwechslung zwischen P(A|B) und P(B|A) zu haben. Um diese Unterscheidung zu verdeutlichen, betrachten wir ein Beispiel auf der Grundlage eines Extremfalls: Während alle Fußballspieler zwei Beine haben, ist nur ein winziger Teil der Menschen mit zwei Beinen Fußballspieler.
Beziehung zwischen Ereignissen
Wenn wir das Beispiel der Prävalenz von Karies bei Menschen, die regelmäßig Süßigkeiten konsumieren, fortsetzen. Wenn der Konsum von Süßigkeiten dazu führt, dass Menschen anfälliger für Karies werden, dann sollte gelten:
P(A|B) \gt P(A).Hier verstärkt B A und deshalb sagen wir, dass es eine positive Assoziation zwischen den Ereignissen gibt.
Wenn dagegen der Konsum von Süßigkeiten Karies verhindert, dann sollte gelten:
P(A|B) \lt P(A).In diesem Fall hemmt B A und deshalb sagen wir, dass es eine negative Assoziation zwischen den Ereignissen gibt.
Und wenn es keine Beziehung zwischen diesen beiden Ereignissen gäbe, weder positiv noch negativ, dann sollte gelten:
P(A|B) = P(A).Hieraus ergibt sich die Schlussfolgerung, die in den meisten Wahrscheinlichkeitstexten als Definition dargestellt wird:
| P(A|B) = P(A) | |
| \equiv | \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = P(A) |
| \equiv | P(A\cap B)= P(A) P(B) |
Diese Überlegung zeigt uns die Beziehung zwischen der bedingten Wahrscheinlichkeit und der Unabhängigkeit von Ereignissen.
DEFINITION: Gegeben zwei Ereignisse A und B, so nennt man sie unabhängig, wenn sie die folgende Beziehung erfüllen
\color{black}{P(A\cap B)= P(A) P(B)}■
Unabhängigkeit zwischen Ereignissen und Komplementen von Ereignissen
Die Unabhängigkeit zwischen zwei Ereignissen A und B ist gleichwertig zur Unabhängigkeit von A mit B^c, von A^c mit B, und von A^c mit B^c.
BEWEIS
| (1) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B) = P(A)P(B) | ; Annahme |
| (2) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A\setminus B) | ; weil A\cap B^c := A\setminus B |
| (3) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\setminus B)= P(A) - P(A\cap B) | ; Siehe Entwicklung der Übung 2 |
| (4) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A) - P(A\cap B) | ; Aus (2) und (3) |
| (5) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A) - P(A)P(B) | ; Aus (1) und (4) |
| \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A)(1 -P(B)) | ; Faktorisieren nach P(A) | |
| \color{red}{\{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A)P(B^c)} | ; Siehe Entwicklung der Übung 1 |
Dieser letzte Ausdruck wird gelesen als: „Aus der Tatsache, dass A und B unabhängig sind, folgt, dass A und B^c ebenfalls unabhängig sind.“
Der Beweis in umgekehrter Richtung wird auf ähnliche Weise geführt.
| (1) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c) | ; Annahme |
| \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A)(1 - P(B)) | ; Siehe Entwicklung der Übung 1 | |
| \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A) - P(A)P(B) | ; Durch Ausmultiplizieren der Klammern auf der rechten Seite. | |
| (2) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A\setminus B) | ; Weil A\setminus B := A\cap B^c. |
| (3) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B) | ; Siehe Entwicklung der Übung 2 |
| (4) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A) - P(A)P(B) = P(A) - P(A\cap B) | ; Aus (1), (2) und (3) |
| \color{red}{\{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A)P(B) = P(A\cap B)} | ; Durch Eliminieren gleichartiger Terme |
Und dieser Ausdruck wird gelesen als: „Aus der Tatsache, dass A und B^c unabhängig sind, folgt, dass A und B ebenfalls unabhängig sind.“
Schließlich ergibt sich aus diesen beiden Überlegungen die nachgewiesene Äquivalenz zwischen der Unabhängigkeit von A mit B und der von A mit B^c.
Die übrigen nachgewiesenen Äquivalenzen können in ähnlicher Weise abgeleitet werden. Diese bleiben als eine Herausforderung p