直線の方程式とデカルト座標系
要約：
この授業では、解析幾何学の基礎を扱います。平面上の点を座標によって表現する方法や、傾きとある点から直線の方程式を導く方法を紹介します。y = mx + b という方程式の利用、傾きの概念、直線のグラフ表示などの重要な概念を探求し、実際の状況での応用として、位置の計算や直線の交点の求め方などの実践的な問題も扱います。
学習目標
- 理解する：解析幾何学の基本原理と、それを用いたデカルト座標平面上の点の表現。
- 識別する：直線の傾きの公式と、その幾何学的意味。
- 適用する：直線の一般式 y = mx + b を用いて線形関係を記述する。
- 計算する：ある点と傾きから直線の方程式を求める。
- 描画する：直線の方程式に基づいてデカルト平面上に直線をグラフ化する。
- 解決する：連立方程式を使って二直線の交点を求める問題を解く。
- 分析する：2つの線形量の関係性を直線の方程式で表す方法を考察する。
ここから、直線の方程式、デカルト座標系、解析幾何学の基本を学び始めます。
解析幾何学の基本原理
実数が導入されるとき、通常、それらは数直線上の点として説明されます。
これを基に、デカルトは平面上の点を座標 (x, y) のペアとして表現するために、2つの直線を使用するという独創的なアイデアを生み出しました。
直線の方程式
この概念を用いることで、平面上の点の集合を考え、それによって曲線を形成することが可能になります。ここでは、x 座標に対応する y 座標が存在し、その対応関係は関数によって定義されます。この点で代数学が幾何学に融合し、「解析幾何学」が誕生します。
幾何学的に、直線とは2点を最短距離で結ぶ曲線であると理解されます。
幾何学的に、直線とは2点を最短距離で結ぶ曲線です。これをタレスの定理に基づいて考察すると、y 座標の増加に対して x 座標も増加し、比率 m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=\Delta y / \Delta x は直線上の任意の2点に対して常に一定になります。これを「直線の傾き」と呼びます。
直線上の任意の2点に対して傾きが一定であるため、座標 (x,y), (x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2) を持つ点を考えると、次のように表せます：
\displaystyle \frac{y-y_0}{x - x_0} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
これは次の式と等価です：
\begin{matrix}y & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_0 ) + y_0 \\ \\ & = & \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} (x - x_0) + y_0 \end{matrix}
これが、よく知られている直線の方程式です：
\color{red}{{y = m(x-x_0) + y_0}}
ここで、(x_0,y_0) は固定された点、(x,y) は任意の点です。
例題
- 点 (x_0,y_0)=(2,3) を通り、傾きが m=3/2 の直線の方程式を求めなさい [解答]
- 点 (x_0,y_0)=(1,8) を通り、傾きが m=7/5 の直線の方程式を求めなさい [解答]
- 点 (x_1,y_1)=(3,5) と (x_2,y_2)=(1,-2) を通る直線の方程式を求めなさい [解答]
直線の方程式のグラフ化方法
これまでに、 ある図形的な情報から直線の方程式を導く方法を学びました。ここでは逆の手順、つまり直線の方程式からグラフを描く方法を学びます。
最終的に、直線の方程式は常に次のような形になります：
y=mx + b
ここで m=\Delta Y / \Delta x は傾き、b は切片です。これに基づいて次の図が得られます：
例題
- 直線 y=\displaystyle \frac{3}{4}x + 2 をグラフに描きなさい [解答]
- 直線 y=\displaystyle -\frac{2}{5}x + 6 をグラフに描きなさい [解答]
直線の方程式の応用問題
直線の方程式は、2つの量の間に直接的な関係がある問題を解くのに役立ちます。以下はその例です：
- 初期位置 x_0 = 12[m] にある車両が、速度 v=0.3[m/s] で移動しています。30[s] 後の位置は？ [解答]
- ある人が市場で 1[kg] のリンゴを購入し、合計で 50 Z\$ 支払いました。同じ日に同じ人が再び市場に行き、3[kg] のリンゴを購入して、合計で 60 Z\$ 支払いました。リンゴの価格と交通費はいくらですか？[解答]
直線同士の交点
2本の直線があると仮定し、 それらの共通点、すなわち交点を求めたいとします。この種の問題を解くには、連立方程式を解く必要があります。この考えをより明確にするため、以下の例を見てみましょう。
L_1 \; : \; y= \displaystyle \frac{3}{2}x + 1
L_2 \; : \; y=\displaystyle -\frac{1}{3}x + 9
これらの2本の直線は、どこで交差するでしょうか？
この問題を解くために、以下のように考えます：
| (1) | y=\displaystyle \frac{3}{2}x + 1 | ; 直線 L_1 |
| (2) | y= \displaystyle -\frac{1}{3}x + 9 | ; 直線 L_2 |
| (3) | \displaystyle \frac{3}{2}x + 1 = -\frac{1}{3}x + 9 | ; (1) および (2) より |
| \displaystyle \frac{3}{2}x = -\frac{1}{3}x + 8 | ; 両辺から 1 を引く | |
| 9x = -2x + 48 | ; 両辺を6倍する | |
| 11x = 48 | ; 両辺に 2x を加える | |
| \displaystyle x = \frac{48}{11} | ; 両辺を11で割る | |
| (4) | \displaystyle y= \frac{3}{2}\cdot \frac{48}{11} + 1 | ; (1) および (3) より |
| \displaystyle y= \frac{3}{1}\cdot \frac{24}{11} + \frac{11}{11} | ||
| y= \displaystyle \frac{83}{11} | ||
| (5) | \displaystyle (x,y)= \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right) | ; (3) および (4) より |
したがって、これらの直線の交点は (x,y)= \displaystyle \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right) です。
直線の交点に関する応用問題の例
あるパーティーでは、合計600枚のチケットが販売され、総収益は \$1.300.000 でした。若者用チケットは \$1.000、大人用チケットは \$3.000 で販売されました。パーティーに参加した若者と大人はそれぞれ何人だったのでしょうか？[解答]