El Espacio Euclidiano {\mathbb{R}^n}
En esta clase exploramos el espacio euclidiano \mathbb{R}^n, su estructura algebraica y propiedades métricas. Aprenderás sobre operaciones vectoriales, el producto escalar, la norma y la distancia euclidiana, conceptos esenciales en geometría y análisis. Con explicaciones claras y ejemplos intuitivos, este material te permitirá comprender cómo se modela matemáticamente el espacio en múltiples dimensiones.
Objetivos de Aprendizaje:
Al finalizar esta clase, el estudiante será capaz de:
- Definir el espacio euclidiano \mathbb{R}^n y sus propiedades fundamentales.
- Explicar la estructura vectorial de \mathbb{R}^n mediante sus operaciones básicas.
- Aplicar el producto escalar para calcular ángulos y proyecciones entre vectores.
- Demostrar propiedades algebraicas y métricas del producto escalar en \mathbb{R}^n.
- Utilizar la norma euclidiana para determinar la magnitud de un vector.
- Calcular la distancia euclidiana entre dos puntos en \mathbb{R}^n y analizar su significado geométrico.
- Comprobar la validez de desigualdades fundamentales como la de Cauchy-Schwarz y la desigualdad triangular.
INDICE
El Espacio \mathbb{R}^n
El Producto Escalar
La Norma y la Distancia Euclidiana
Conclusión
El Espacio Vectorial \mathbb{R}^n
Seguro antes de llegar a este punto estabas familiarizado con las propiedades de \mathbb{R}, o del plano \mathbb{R}^2, o el espacio \mathbb{R}^3. Todas esas ideas son útiles para entender el espacio \mathbb{R}^n. Ante todo, el conjunto \mathbb{R}^n = \{\vec{x} = (x_1, \cdots, x_n) | x_1, \cdots, x_n \in \mathbb{R}\}, provisto de las operaciones usuales de suma vectorial y producto por escalar es un espacio vectorial, ahondemos en esto revisando las operaciones básicas de \mathbb{R}^n.
Operaciones básicas de \mathbb{R}^n
Si \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n), \vec{y}=(y_1, \cdots, y_n) vectores de \mathbb{R}^n y \alpha es un escalar real cualquiera, entonces las operaciones de suma de vectores y producto por escalar son como se describen a continuación:
Suma de vectores: Se describe la suma de vectores a través de la función:
\begin{array}{rcrl} +:& \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n \\ & (\vec{x},\vec{y}) & \longmapsto & \vec{x}+\vec{y} = (x_1+y_1, \cdots, x_n + y_n) \end{array}
Producto por escalar: Se describe el producto por escalar a través de la función:
\begin{array}{rcrl} ():& \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n \\ & (\alpha,\vec{x}) & \longmapsto & (\alpha\vec{x}) = (\alpha x_1, \cdots, \alpha x_n) \end{array}
Propiedades de espacio vectorial de \mathbb{R}^n
El espacio \mathbb{R}^n provisto de las operaciones que se han descrito mas arriba es un espacio vectorial, porque sus operaciones de suma y producto por escalar satisfacen las propiedades que se muestran a continuación:
Primero tenemos las propiedades conmutativa y asociativas.
\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} \\ \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} \\ (\alpha \beta) \vec{x} = \alpha (\beta \vec{x}) = \beta (\alpha \vec{x}) = (\beta\alpha) \vec{x}
La suma de escalares se distribuye con respecto al producto por escalar y la suma vectorial se distribuye con respecto al producto escalar; es decir, se cumplen las igualdades
(\alpha + \beta) \vec{x} = \alpha\vec{x} + \beta\vec{x} \\ \alpha(\vec{x} + \vec{y}) = \alpha\vec{x} + \alpha\vec{y}
Existe un neutro aditivo \vec{0}=(0,\cdots, 0) que satisface la propiedad
\vec{x} + \vec{0} = \vec{x}
Existe el elemento neutro multiplicativo para el producto por escalar
1 \vec{x} = \vec{x}
Y todo vector \vec{x}\in\mathbb{R}^n posee un inverso aditivo -\vec{x}, que satisface la propiedad:
\vec{x} + -\vec{x} = \vec{0}
El Producto Escalar
Si observamos la construcción de \mathbb{R}^n como espacio vectorial, veremos que este carece de un producto entre vectores; en principio no podemos «multiplicar» vectores entre si, como normalmente haríamos con dos números reales. Sin embargo si es posible definir esta operación entre vectores y una forma de hacerlo es a través de lo que se conoce como producto escalar.
No debe confundirse el producto escalar con el producto por escalar, el primero es un producto entre dos vectores que produce un escalar, y el segundo es el producto de un escalar por otro vector que produce otro vector. Consideremos dos vectores de \mathbb{R}^n: \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n) e \vec{y}=(y_1, \cdots, y_n). A partir de estos se define el producto escalar de \vec{x} con \vec{y}, \vec{x}\cdot\vec{y}, como el número real dado por la fórmula
\vec{x}\cdot\vec{y} =\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1y_1 + \cdots x_ny_n
Existen muchas formas de representar el producto escalar entre vectores de \mathbb{R}^n, una es la que acabamos de revisar, otra es la que se obtiene teniendo en cuenta una base de \mathbb{R}^n y el convenio de sumas de Einstein: Si \{\hat{e}_i\}_{i=\overline{1,n}} es una base de \mathbb{R}^n (usualmente la base canónica), entonces los vectores \vec{x} e \vec{y} se pueden escribir de la forma:
\vec{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\hat{e}_i = x_1\hat{e}_1 + \cdots x_n\hat{e}_n
\vec{y}=\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i\hat{e}_i = y_1\hat{e}_1 + \cdots y_n\hat{e}_n
En esta se señala de forma explicita que los coeficientes x_i e y_i de los vectores son relativos a la base del espacio.
El convenio de suma de Einstein
El convenio de suma de Einstein nos permite simplificar la representación de los vectores en general y el producto escalar en particular. Si observamos las dos expresiones anteriores, veremos que el sub-índice i se repite tanto en el coeficiente del vector como en el elemento de la base vectorial; para Einstein, el hecho de tener índices repetidos es suficiente para asumir la existencia de la suma que aparece en la expresión, de modo que se puede escribir:
\vec{x}= x_i\hat{e}_i
\vec{y}= y_i\hat{e}_i
Utilizando este convenio de notación el producto escalar queda de la forma
\vec{x}\cdot\vec{y} = x_i\hat{e}_i \cdot y_i\hat{e}_i = x_iy_i \underbrace{(\hat{e}_i \cdot \hat{e}_i)}_{=1} = x_iy_i
En esta última igualdad se ha asumido que se trabaja con la base canónica.
Otras notaciones para el producto escalar
La notación para vectores y sus operaciones no suele ser la misma en todos los contextos, la que he utilizado en los primeros párrafos de esta entrada es la más común de ver cuando se trabaja en el cálculo. Cuando se trabaja en álgebra lineal en ocasiones se hace la distinción entre vectores y covectores:
Cuando hablamos de vectores, nos referimos a lo que se entiende por «vector columna» y se representan matricialmente de la forma
\alpha^i = \left( \begin{array}{c}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array} \right)
Mientras que cuando hablamos de covectores, nos referimos a lo que llamamos «vector fila» y se representan matricialmente como
\beta_i = \left( \beta_1 \; \cdots \; \beta_n \right)
Así, el producto escalar de dos vectores \vec{x}=(x_1,\cdots,x_n) e \vec{y}=(y_1,\cdots,y_n) se interpreta como el producto matricial del «covector» x_i con el vector y^i, que da como resultado el siguiente número real:
\left( x_1 \; \cdots \; x_n \right) \left( \begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right) = x_iy^i
Observa que en esta última igualdad vuelve a aparecer el convenio de suma de Einstein, los índices repetidos nos advierten que el resultado final es una suma.
La notación que permite distinguir vectores y covectores mediante sub y súper índices se conoce como «notación covariante» o «notación tensorial» y es ampliamente utilizada al estudiar la teoría de la relatividad especial y general; esta además tiene la ventaja de facilitar el trabajo con tensores, concepto que proporciona una generalización sobre las cosas que acabamos de revisar y que veremos en detalles en otra ocasión. En otras disciplinas como la mecánica cuántica, se prefiere la notación Bra-Ket, donde:
\left< x \right| =\left( x_1 \; \cdots \; x_n \right) \\ \\ \left|y\right> = \left( \begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)
De modo que el producto escalar queda representado de la forma \left<x|y\right>.
Propiedades del Producto Escalar
A partir de la definición del producto escalar podemos extraer toda una serie de propiedades que serán de mucha relevancia en el futuro.
Si utilizamos el producto escalar para definir la función \tilde{\omega}(\vec{x})=\vec{\omega} \cdot \vec{x} = \omega_i x^i, veremos que la función \tilde{\omega} definida de esta manera posee todas las propiedades de las funciones lineales, ya que de hecho será sencillo probar que
\begin{array}{rl} \tilde{\omega}(\alpha \vec{x} + \beta\vec{y}) = \alpha \tilde{\omega}(\vec{x}) + \beta\tilde{\omega}(\vec{y}) \end{array}
y por esto los objetos como \tilde{\omega} que se definen a partir del producto escalar reciben el nombre de funcional lineal. Cómo ya sabemos, \vec{x} es un vector miembro del espacio vectorial \mathbb{R}^n, y como se verá en otras circunstancias, \tilde{\omega} es un objeto del espacio dual de \mathbb{R}^n.
A partir de esto se tiene que existe una estrecha relación entre el producto escalar y las funciones lineales; de hecho, una expresión que resume todas las propiedades importantes del producto escalar es: «el producto escalar es una forma bilineal, simétrica, positiva y no-degenerada». veamos qué quiere decir cada parte de esta expresión:
Cuando decimos que el producto escalar es una forma bilineal, lo que se quiere decir es que si \vec{x},\vec{y} y \vec{z} vectores de \mathbb{R}^n y \alpha,\beta \in \mathbb{R}, entonces se satisfacen las siguientes dos igualdades
\begin{array}{rl} \vec{x}\cdot(\alpha \vec{y} + \beta\vec{z}) = \alpha (\vec{x}\cdot\vec{y}) + \beta(\vec{x}\cdot\vec{z}) \\ \\ (\alpha \vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{z} = \alpha (\vec{x} \cdot \vec{z}) + \beta(\vec{y}\cdot\vec{z}) \end{array}
El producto escalar es simétrico porque:
\forall(\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n)(\vec{x}\cdot\vec{y} = \vec{y}\cdot\vec{x})
es definido positivo porque:
(\forall\vec{x}\in\mathbb{R}^n)(\vec{x}\cdot\vec{x} \geq 0)
y finalmente, es no-degenerado porque:
\vec{x}\cdot\vec{x} = 0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}
La Norma y la Distancia Euclidiana
Una norma es una forma de medir la magnitud de un vector, cuando un esacio vectorial tiene una norma se dice que es un Espacio Vectorial Normado. Si \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n y \lambda\in\mathbb{R}, entonces la función Norm( . ) es una norma si satisface las siguientes propiedades:
- Norm(\vec{x})\geq 0
- Norm(\vec{x}) = 0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}
- Norm(\lambda\vec{x}) = |\lambda| Norm(\vec{x})
- Norm(\vec{x} + \vec{y}) \leq Norm(\vec{x}) + Norm(\vec{y})
Un aspecto importante del producto escalar es que este es especialmente útil para definir matemáticamente un concepto de distancia que se corresponde intuitivamente con nuestra forma natural de entender las distancias entre dos puntos. Para cada \vec{x}\in\mathbb{R}^n se define su Norma Euclidiana, \|\vec{x}\| a través de la ecuación:
\|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x}\cdot\vec{x}}
A partir de esto decimos que la norma euclidiana es la norma inducida por el producto escalar.
Una distancia, o métrica, es una función que nos habla sobre «la separación entre dos elementos de un conjunto». Si \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\in\mathbb{R}^n y \lambda\in\mathbb{R}, entonces la función Dist( . ) es una distancia si satisface las siguientes propiedades:
- Dist(\vec{x},\vec{y})=0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{y}
- Dist(\vec{x},\vec{y})=Dist(\vec{y},\vec{x})\geq 0
- Dist(\vec{x},\vec{z})\leq Dist(\vec{x},\vec{y}) + Dist(\vec{y},\vec{z})
La última expresión es lo que se conoce como Desigualdad Triangular, y si no se cumpliera, la función Dist(.) sería lo que se conoce como «seudo distancia» o «seudo métrica». Un Espacio Vectorial provisto de una distancia es lo que se conoce como Espacio Métrico.
A partir de la Norma Euclidiana se define la Distancia Euclidiana entre dos vectores. Si tenemos dos vectores \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, entonces la distancia euclidinana entre estos dos vectores, dist_e(\vec{x},\vec{y}) está dada por:
dist_e(\vec{x},\vec{y}) = \|\vec{x} - \vec{y}\|
Si \vec{x}=(x_1,\cdots,x_n) e \vec{y}=(y_1,\cdots, y_n), entonces es fácil demostrar a partir de las propiedades del producto escalar y la norma que:
dist_e(\vec{x},\vec{y}) = \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}
Si equipamos al espacio vectorial \mathbb{R}^n con la distancia euclidiana, lo se obtiene es un Espacio Euclidiano.
A partir de esto se dice que la métrica del espacio euclidiano es la métrica inducida por la norma euclidiana.
Propiedades de la Norma Euclidiana
Dado que nuestro estudio se centra específicamente en el Espacio Euclidio, resultará conveniente revisar las propiedades de la norma Euclidiana.
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Si \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, entonces se satisface la siguiente propiedad:
|\vec{x}\cdot\vec{y}|\leq \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|
DEMOSTRACIÓN:
Sea \lambda = (\vec{x}\cdot\vec{y})/\|\vec{y}\|^2, entonces se tiene que:
\begin{array}{rl} 0\leq \|\vec{x} - \lambda \vec{y}\|^2 &= (\vec{x} - \lambda\vec{y}) \cdot (\vec{x} - \lambda\vec{y}) \\ \\ \displaystyle &= \vec{x}\cdot\vec{x} - \lambda\vec{x}\cdot\vec{y} + \lambda\vec{y}\cdot\vec{x} + \lambda^2(\vec{y}\cdot\vec{y})\\ \\ &= \|\vec{x}\|^2 - 2\lambda(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \lambda^2 \|\vec{y}\|^2 \\ \\ \displaystyle &= \|\vec{x}\|^2 - 2\left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|^2}\right)(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{{\|\vec{y}\|^2}}\right)^2 {\|\vec{y}\|^2}\\ \\ \displaystyle &= \|\vec{x}\|^2 - 2\left(\frac{(\vec{x}\cdot\vec{y})^2}{\|\vec{y}\|^2}\right) + \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2}\\ \\ &= \|\vec{x}\|^2 - \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2} \end{array}
De modo tal que podemos decir que:
\displaystyle 0 \leq \|\vec{x}\|^2 - \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2}
Y por lo tanto:
\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2 \leq \|\vec{x}\|^2 \|\vec{y}\|^2
Y finalmente, tomando raices se llega a lo que se quería demostrar:
|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| ⬛
Desigualdad Triangular
Sean \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, estos vectores satisfacen la relación:
\|\vec{x} + \vec{y}\| \leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|
DEMOSTRACIÓN:
Primero notemos que:
\begin{array}{rl} \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 &= (\vec{x} + \vec{y})\cdot(\vec{x} + \vec{y}) \\ \\ &=\|\vec{x}\|^2 + 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 \end{array}
Como valen las relaciones:
\vec{x}\cdot\vec{y}\leq |\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\|\vec{y}\|
Podemos escribir lo siguiente:
\begin{array}{rl} \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 &\leq \|x\|^2 + 2\|\vec{x}\|\vec{y}\| + \|\vec{y}\|^2 \\ \\ &\leq \left(\|\vec{x}\| + \|\vec{y}\| \right)^2 \end{array}
Finalmente, tomando raíces, se llega a lo que se quería demostrar:
\|\vec{x} + \vec{y}\|\leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\| ⬛
Conclusión
A lo largo de esta clase, hemos explorado las propiedades fundamentales del espacio euclidiano \mathbb{R}^n, abordando sus estructuras algebraicas y métricas. Comenzamos definiendo sus operaciones básicas, como la suma de vectores y el producto por escalar, estableciendo así su carácter de espacio vectorial. Luego, profundizamos en el concepto de producto escalar y su relevancia para la geometría de \mathbb{R}^n, destacando su interpretación matricial y su relación con las funciones lineales.
Posteriormente, analizamos la norma euclidiana y la distancia inducida por ella, resaltando cómo estas herramientas nos permiten cuantificar longitudes y distancias en este espacio. Además, revisamos propiedades fundamentales como la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|
y la desigualdad triangular:
\|\vec{x} + \vec{y}\|\leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|
que son claves para el desarrollo de teorías más avanzadas en análisis y geometría.