L’Espace Euclidien {\mathbb{R}^n}

Dans ce cours, nous explorons l’espace euclidien \mathbb{R}^n, sa structure algébrique et ses propriétés métriques. Vous apprendrez les opérations vectorielles, le produit scalaire, la norme et la distance euclidienne, concepts essentiels en géométrie et en analyse. Avec des explications claires et des exemples intuitifs, ce matériel vous permettra de comprendre comment l’espace est modélisé mathématiquement en plusieurs dimensions.

Objectifs d’Apprentissage :
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de :

1. Définir l’espace euclidien \mathbb{R}^n et ses propriétés fondamentales.
2. Expliquer la structure vectorielle de \mathbb{R}^n à travers ses opérations de base.
3. Appliquer le produit scalaire pour calculer les angles et les projections entre les vecteurs.
4. Démontrer les propriétés algébriques et métriques du produit scalaire dans \mathbb{R}^n.
5. Utiliser la norme euclidienne pour déterminer la magnitude d’un vecteur.
6. Calculer la distance euclidienne entre deux points dans \mathbb{R}^n et analyser sa signification géométrique.
7. Vérifier la validité d’inégalités fondamentales telles que l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’inégalité triangulaire.

TABLE DES MATIÈRES
L’Espace \mathbb{R}^n
Le Produit Scalaire
La Norme et la Distance Euclidienne
Conclusion

L’Espace Vectoriel \mathbb{R}^n

Avant d’arriver à ce point, vous étiez sûrement familier avec les propriétés de \mathbb{R}, du plan \mathbb{R}^2, ou de l’espace \mathbb{R}^3. Toutes ces idées sont utiles pour comprendre l’espace \mathbb{R}^n. Avant tout, l’ensemble \mathbb{R}^n = \{\vec{x} = (x_1, \cdots, x_n) | x_1, \cdots, x_n \in \mathbb{R}\}, muni des opérations usuelles d’addition vectorielle et de multiplication par un scalaire, est un espace vectoriel. Approfondissons cela en examinant les opérations de base de \mathbb{R}^n.

Opérations de base dans \mathbb{R}^n

Si \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n), \vec{y}=(y_1, \cdots, y_n) sont des vecteurs de \mathbb{R}^n et \alpha est un scalaire réel quelconque, alors les opérations d’addition vectorielle et de multiplication par un scalaire sont décrites comme suit :

Addition vectorielle : L’addition de vecteurs est définie par la fonction :

\begin{array}{rcrl} +:& \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n \\ & (\vec{x},\vec{y}) & \longmapsto & \vec{x}+\vec{y} = (x_1+y_1, \cdots, x_n + y_n) \end{array}

Multiplication par un scalaire : La multiplication par un scalaire est définie par la fonction :

\begin{array}{rcrl} ():& \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n \\ & (\alpha,\vec{x}) & \longmapsto & (\alpha\vec{x}) = (\alpha x_1, \cdots, \alpha x_n) \end{array}

Propriétés de l’espace vectoriel \mathbb{R}^n

L’espace \mathbb{R}^n muni des opérations décrites ci-dessus est un espace vectoriel, car ses opérations d’addition et de multiplication par un scalaire satisfont les propriétés suivantes :

Tout d’abord, nous avons les propriétés commutative et associatives.

\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} \\ \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} \\ (\alpha \beta) \vec{x} = \alpha (\beta \vec{x}) = \beta (\alpha \vec{x}) = (\beta\alpha) \vec{x}

La somme des scalaires se distribue par rapport au produit par un scalaire et la somme vectorielle se distribue par rapport au produit scalaire ; c’est-à-dire que les égalités suivantes sont vérifiées :

(\alpha + \beta) \vec{x} = \alpha\vec{x} + \beta\vec{x} \\ \alpha(\vec{x} + \vec{y}) = \alpha\vec{x} + \alpha\vec{y}

Il existe un élément neutre additif \vec{0}=(0,\cdots, 0) qui satisfait la propriété :

\vec{x} + \vec{0} = \vec{x}

Il existe un élément neutre multiplicatif pour le produit par un scalaire :

1 \vec{x} = \vec{x}

Et tout vecteur \vec{x}\in\mathbb{R}^n possède un inverse additif -\vec{x}, qui satisfait la propriété :

\vec{x} + -\vec{x} = \vec{0}

Le Produit Scalaire

Si nous observons la construction de \mathbb{R}^n en tant qu’espace vectoriel, nous verrons qu’il lui manque un produit entre vecteurs ; en principe, nous ne pouvons pas « multiplier » les vecteurs entre eux comme nous le ferions normalement avec deux nombres réels. Cependant, il est possible de définir cette opération entre vecteurs, et une manière de le faire est à travers ce que l’on appelle le produit scalaire.

Il ne faut pas confondre le produit scalaire avec le produit par un scalaire, le premier est un produit entre deux vecteurs qui donne un scalaire, tandis que le second est le produit d’un scalaire par un vecteur qui donne un autre vecteur. Considérons deux vecteurs de \mathbb{R}^n: \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n) et \vec{y}=(y_1, \cdots, y_n). À partir de ceux-ci, on définit le produit scalaire de \vec{x} avec \vec{y}, \vec{x}\cdot\vec{y}, comme le nombre réel donné par la formule :

\vec{x}\cdot\vec{y} =\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1y_1 + \cdots x_ny_n

Il existe plusieurs façons de représenter le produit scalaire entre vecteurs de \mathbb{R}^n, l’une est celle que nous venons de voir, une autre est celle qui est obtenue en considérant une base de \mathbb{R}^n et le convention de somme d’Einstein : Si \{\hat{e}_i\}_{i=\overline{1,n}} est une base de \mathbb{R}^n (généralement la base canonique), alors les vecteurs \vec{x} et \vec{y} peuvent être écrits sous la forme :

\vec{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\hat{e}_i = x_1\hat{e}_1 + \cdots x_n\hat{e}_n

\vec{y}=\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i\hat{e}_i = y_1\hat{e}_1 + \cdots y_n\hat{e}_n

Dans cette expression, il est explicitement indiqué que les coefficients x_i et y_i des vecteurs sont relatifs à la base de l’espace.

La convention de somme d’Einstein

La convention de somme d’Einstein nous permet de simplifier la représentation des vecteurs en général et du produit scalaire en particulier. Si nous regardons les deux expressions précédentes, nous verrons que l’indice i se répète à la fois dans le coefficient du vecteur et dans l’élément de la base vectorielle ; pour Einstein, le fait d’avoir des indices répétés est suffisant pour assumer l’existence de la somme qui apparaît dans l’expression, de sorte que nous pouvons écrire :

\vec{x}= x_i\hat{e}_i

\vec{y}= y_i\hat{e}_i

En utilisant cette convention de notation, le produit scalaire prend la forme :

\vec{x}\cdot\vec{y} = x_i\hat{e}_i \cdot y_i\hat{e}_i = x_iy_i \underbrace{(\hat{e}_i \cdot \hat{e}_i)}_{=1} = x_iy_i

Dans cette dernière égalité, on suppose que l’on travaille avec la base canonique.

Autres notations pour le produit scalaire

La notation pour les vecteurs et leurs opérations n’est pas toujours la même dans tous les contextes, celle que j’ai utilisée dans les premiers paragraphes de cette section est la plus courante en calcul. Lorsqu’on travaille en algèbre linéaire, il arrive que l’on distingue entre vecteurs et covecteurs :

Lorsqu’on parle de vecteurs, on fait référence à ce qu’on appelle un « vecteur colonne », qui se représente sous forme matricielle comme :

\alpha^i = \left( \begin{array}{c}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array} \right)

Alors que lorsqu’on parle de covecteurs, on se réfère à ce qu’on appelle un « vecteur ligne », qui se représente sous forme matricielle comme :

\beta_i = \left( \beta_1 \; \cdots \; \beta_n \right)

Ainsi, le produit scalaire de deux vecteurs \vec{x}=(x_1,\cdots,x_n) et \vec{y}=(y_1,\cdots,y_n) s’interprète comme le produit matriciel du « covecteur » x_i avec le vecteur y^i, ce qui donne le nombre réel suivant :

\left( x_1 \; \cdots \; x_n \right) \left( \begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right) = x_iy^i

Remarquez que dans cette dernière égalité, la convention de somme d’Einstein réapparaît : les indices répétés nous indiquent que le résultat final est une somme.

La notation qui permet de distinguer les vecteurs et covecteurs via des indices inférieurs et supérieurs est appelée « notation covariante » ou « notation tensorielle » et elle est largement utilisée dans l’étude de la relativité restreinte et générale. De plus, elle facilite le travail avec les tenseurs, un concept qui généralise ce que nous venons de voir et que nous explorerons en détail une autre fois. Dans d’autres disciplines, comme la mécanique quantique, on préfère la notation Bra-Ket, où :

\left< x \right| =\left( x_1 \; \cdots \; x_n \right) \\ \\ \left|y\right> = \left( \begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)

De sorte que le produit scalaire est représenté sous la forme \left<x|y\right>.

Propriétés du Produit Scalaire

À partir de la définition du produit scalaire, nous pouvons extraire toute une série de propriétés qui seront d’une grande importance à l’avenir.

Si nous utilisons le produit scalaire pour définir la fonction \tilde{\omega}(\vec{x})=\vec{\omega} \cdot \vec{x} = \omega_i x^i, nous verrons que la fonction \tilde{\omega} définie de cette manière possède toutes les propriétés des fonctions linéaires, car il est en effet facile de prouver que :

\begin{array}{rl} \tilde{\omega}(\alpha \vec{x} + \beta\vec{y}) = \alpha \tilde{\omega}(\vec{x}) + \beta\tilde{\omega}(\vec{y}) \end{array}

Et c’est pourquoi les objets comme \tilde{\omega}, définis à partir du produit scalaire, sont appelés fonctionnels linéaires. Comme nous le savons déjà, \vec{x} est un vecteur appartenant à l’espace vectoriel \mathbb{R}^n, et, comme nous le verrons dans d’autres contextes, \tilde{\omega} est un objet de l’espace dual de \mathbb{R}^n.

À partir de cela, il existe une relation étroite entre le produit scalaire et les fonctions linéaires ; en fait, une expression qui résume toutes les propriétés importantes du produit scalaire est la suivante : « Le produit scalaire est une forme bilinéaire, symétrique, positive et non dégénérée ». Voyons ce que signifie chaque partie de cette expression :

Lorsque nous disons que le produit scalaire est une forme bilinéaire, nous voulons dire que si \vec{x},\vec{y} et \vec{z} sont des vecteurs de \mathbb{R}^n et \alpha,\beta \in \mathbb{R}, alors les égalités suivantes sont satisfaites :

\begin{array}{rl} \vec{x}\cdot(\alpha \vec{y} + \beta\vec{z}) = \alpha (\vec{x}\cdot\vec{y}) + \beta(\vec{x}\cdot\vec{z}) \\ \\ (\alpha \vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{z} = \alpha (\vec{x} \cdot \vec{z}) + \beta(\vec{y}\cdot\vec{z}) \end{array}

Le produit scalaire est symétrique car :

\forall(\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n)(\vec{x}\cdot\vec{y} = \vec{y}\cdot\vec{x})

Il est défini positif car :

(\forall\vec{x}\in\mathbb{R}^n)(\vec{x}\cdot\vec{x} \geq 0)

et enfin, il est non-dégénéré car :

\vec{x}\cdot\vec{x} = 0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}

La Norme et la Distance Euclidienne

Une norme est une manière de mesurer la magnitude d’un vecteur, lorsqu’un espace vectoriel possède une norme, on dit que c’est un Espace Vectoriel Normé. Si \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n et \lambda\in\mathbb{R}, alors la fonction Norm( . ) est une norme si elle satisfait les propriétés suivantes :

1. Norm(\vec{x})\geq 0
2. Norm(\vec{x}) = 0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}
3. Norm(\lambda\vec{x}) = |\lambda| Norm(\vec{x})
4. Norm(\vec{x} + \vec{y}) \leq Norm(\vec{x}) + Norm(\vec{y})

Un aspect important du produit scalaire est qu’il est particulièrement utile pour définir mathématiquement un concept de distance qui correspond intuitivement à notre façon naturelle de comprendre les distances entre deux points. Pour chaque \vec{x}\in\mathbb{R}^n, on définit sa Norme Euclidienne, \|\vec{x}\| à travers l’équation :

\|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x}\cdot\vec{x}}

À partir de cela, on dit que la norme euclidienne est la norme induite par le produit scalaire.

Une distance, ou métrique, est une fonction qui nous informe sur la « séparation entre deux éléments d’un ensemble ». Si \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\in\mathbb{R}^n et \lambda\in\mathbb{R}, alors la fonction Dist( . ) est une distance si elle satisfait les propriétés suivantes :

1. Dist(\vec{x},\vec{y})=0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{y}
2. Dist(\vec{x},\vec{y})=Dist(\vec{y},\vec{x})\geq 0
3. Dist(\vec{x},\vec{z})\leq Dist(\vec{x},\vec{y}) + Dist(\vec{y},\vec{z})

La dernière expression est ce que l’on appelle l’Inégalité Triangulaire, et si elle n’était pas satisfaite, la fonction Dist(.) serait ce que l’on appelle une « pseudo-distance » ou une « pseudo-métrique ». Un Espace Vectoriel muni d’une distance est appelé un Espace Métrique.

À partir de la Norme Euclidienne, on définit la Distance Euclidienne entre deux vecteurs. Si nous avons deux vecteurs \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, alors la distance euclidienne entre ces deux vecteurs, dist_e(\vec{x},\vec{y}) est donnée par :

dist_e(\vec{x},\vec{y}) = \|\vec{x} - \vec{y}\|

Si \vec{x}=(x_1,\cdots,x_n) et \vec{y}=(y_1,\cdots, y_n), alors il est facile de démontrer, à partir des propriétés du produit scalaire et de la norme, que :

dist_e(\vec{x},\vec{y}) = \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}

Si nous équipons l’espace vectoriel \mathbb{R}^n de la distance euclidienne, ce que nous obtenons est un Espace Euclidien.

À partir de cela, on dit que la métrique de l’espace euclidien est la métrique induite par la norme euclidienne.

Propriétés de la Norme Euclidienne

Étant donné que notre étude se concentre spécifiquement sur l’Espace Euclidien, il sera utile de revoir les propriétés de la norme euclidienne.

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Si \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, alors la propriété suivante est satisfaite :

|\vec{x}\cdot\vec{y}|\leq \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|

DÉMONSTRATION :

Soit \lambda = (\vec{x}\cdot\vec{y})/\|\vec{y}\|^2, alors nous avons :

\begin{array}{rl} 0\leq \|\vec{x} - \lambda \vec{y}\|^2 &= (\vec{x} - \lambda\vec{y}) \cdot (\vec{x} - \lambda\vec{y}) \\ \\ \displaystyle &= \vec{x}\cdot\vec{x} - \lambda\vec{x}\cdot\vec{y} + \lambda\vec{y}\cdot\vec{x} + \lambda^2(\vec{y}\cdot\vec{y})\\ \\ &= \|\vec{x}\|^2 - 2\lambda(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \lambda^2 \|\vec{y}\|^2 \\ \\ \displaystyle &= \|\vec{x}\|^2 - 2\left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|^2}\right)(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{{\|\vec{y}\|^2}}\right)^2 {\|\vec{y}\|^2}\\ \\ \displaystyle &= \|\vec{x}\|^2 - 2\left(\frac{(\vec{x}\cdot\vec{y})^2}{\|\vec{y}\|^2}\right) + \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2}\\ \\ &= \|\vec{x}\|^2 - \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2} \end{array}

Nous pouvons donc conclure que :

\displaystyle 0 \leq \|\vec{x}\|^2 - \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2}

Et donc :

\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2 \leq \|\vec{x}\|^2 \|\vec{y}\|^2

Et enfin, en prenant les racines, nous obtenons le résultat attendu :

|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| ⬛

Inégalité Triangulaire

Soient \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, ces vecteurs satisfont la relation :

\|\vec{x} + \vec{y}\| \leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|

DÉMONSTRATION :

Tout d’abord, remarquons que :

\begin{array}{rl} \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 &= (\vec{x} + \vec{y})\cdot(\vec{x} + \vec{y}) \\ \\ &=\|\vec{x}\|^2 + 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 \end{array}

Comme les relations suivantes sont valides :

\vec{x}\cdot\vec{y}\leq |\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|

Nous pouvons écrire :

\begin{array}{rl} \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 &\leq \|\vec{x}\|^2 + 2\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| + \|\vec{y}\|^2 \\ \\ &\leq \left(\|\vec{x}\| + \|\vec{y}\| \right)^2 \end{array}

Enfin, en prenant les racines, nous obtenons ce que nous voulions démontrer :

\|\vec{x} + \vec{y}\|\leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\| ⬛

Conclusion

Tout au long de ce cours, nous avons exploré les propriétés fondamentales de l’espace euclidien \mathbb{R}^n, en abordant ses structures algébriques et métriques. Nous avons commencé par définir ses opérations de base, telles que l’addition vectorielle et le produit par un scalaire, établissant ainsi son caractère d’espace vectoriel. Ensuite, nous avons approfondi le concept de produit scalaire et son importance pour la géométrie de \mathbb{R}^n, en mettant en évidence son interprétation matricielle et sa relation avec les fonctions linéaires.

Nous avons ensuite analysé la norme euclidienne et la distance induite par celle-ci, en soulignant comment ces outils nous permettent de quantifier les longueurs et les distances dans cet espace. De plus, nous avons examiné des propriétés fondamentales telles que l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|

et l’inégalité triangulaire :

\|\vec{x} + \vec{y}\|\leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|

qui sont essentielles pour le développement de théories plus avancées en analyse et en géométrie.