Formulación empírica del gas ideal

¿Te has preguntado por qué un globo se dilata al calentarlo o por qué varía la presión de un neumático al cambiar de altura? En esta clase revisaremos las leyes que rigen estos comportamientos y cómo esto conduce a la ecuación de los gases ideales, sus consideraciones y puntos importantes.

Objetivos de Aprendizaje
Al finalizar esta clase el estudiante será capaz de:

1. Explicar las leyes empíricas de los gases ideales (Boyle–Mariotte, Charles, Gay-Lussac) y su síntesis en la ecuación de estado (PV = nRT, PV = N k_B T).
2. Aplicar la ecuación de los gases ideales y la relación PV/T = cte. para resolver cambios de estado con unidades coherentes.
3. Analizar procesos isotérmicos, isobáricos e isocóricos y sus trayectorias en diagramas P–V, V–T y P–T.
4. Reconocer el ámbito de validez del gas ideal y seleccionar modelos alternativos (van der Waals, cuántico, relativista) cuando corresponda.

ÍNDICE DE CONTENIDOS
Leyes empíricas fundamentales
Combinación de las leyes en la ecuación de los gases ideales
Deducciones por procesos
Comentarios y trasfondo microscópico
Ámbito de validez y limitaciones
Notas prácticas

Leyes empíricas fundamentales

Los experimentos con gases muestran una dependencia entre la presión P, el volumen V y la temperatura T. En condiciones controladas se observan tres leyes empíricas fundamentales:

1. Ley de Boyle–Mariotte (isotérmico): En un proceso a temperatura constante, el volumen y la presión de un gas son inversamente proporcionales; es decir:
   P \propto \dfrac{1}{V}\quad\Leftrightarrow\quad PV=\text{cte.}
   Ejemplo: Un gas que, a una presión inicial de P_1 = 15\ \mathrm{MPa}, se expande isotérmicamente desde un volumen inicial V_1 = 1{,}00\ \mathrm{L} hasta un volumen final V_2 = 2{,}00\ \mathrm{L} verá reducida su presión a la mitad. Como el producto PV=\text{cte.}, se cumple P_1 V_1 = P_2 V_2, lo que conduce a:

   P_2 = \dfrac{P_1 V_1}{V_2} = 15\ \mathrm{MPa}\left(\dfrac{1{,}00\ \mathrm{L}}{2{,}00\ \mathrm{L}}\right) = 7{,}50\ \mathrm{MPa}

   
2. Ley de Charles (isobárico): En un proceso a presión constante, el volumen y la temperatura de un gas son directamente proporcionales; es decir:
   V \propto T \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{V}{T}=\text{cte.}
   Ejemplo: Un gas que, a una temperatura inicial de T_1 = 300\ \mathrm{K}, se calienta isobáricamente hasta T_2 = 450\ \mathrm{K} partiendo de un volumen inicial V_1 = 2{,}00\ \mathrm{L} verá incrementado su volumen en un 50 % (un factor \tfrac{3}{2}). Como \tfrac{V}{T}=\text{cte.}, se cumple \dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}, lo que conduce a:

   V_2 = V_1 \cdot \dfrac{T_2}{T_1} = 2{,}00\ \mathrm{L}\left(\dfrac{450\ \mathrm{K}}{300\ \mathrm{K}}\right) = 3{,}00\ \mathrm{L}

   

3. Ley de Gay-Lussac (isocórica): En un proceso a volumen constante, la presión y la temperatura de un gas son directamente proporcionales; es decir:
   P \propto T \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{P}{T}=\text{cte.}
   Ejemplo: Un gas que, a una temperatura inicial de T_1 = 300\ \mathrm{K}, se calienta isocóricamente hasta T_2 = 450\ \mathrm{K} partiendo de una presión inicial P_1 = 1{,}00\ \mathrm{MPa} verá aumentada su presión en la misma proporción. Como \tfrac{P}{T}=\text{cte.}, se cumple \dfrac{P_1}{T_1}=\dfrac{P_2}{T_2}, lo que conduce a:

   P_2 = P_1 \cdot \dfrac{T_2}{T_1} = 1{,}00\ \mathrm{MPa}\left(\dfrac{450\ \mathrm{K}}{300\ \mathrm{K}}\right) = 1{,}50\ \mathrm{MPa}

   

Combinación de las leyes en la ecuación de los gases ideales

Estas tres leyes pueden sintetizarse en una única relación de proporcionalidad:

PV \propto T

Donde, a partir de consideraciones experimentales y microscópicas, es posible inferir la constante de proporcionalidad como el resultado del producto entre el número de partículas N y la constante de Boltzmann k_B = 1{,}380\,649\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}, obteniendo relación microscópica:

\boxed{PV = N\,k_B\,T}

De forma análoga, en términos molares, la constante de proporcionalidad se obtiene como el producto entre el número de moles n y la constante universal de los gases R=8{,}314\,462\,6\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}=0{,}082\,057\ \mathrm{L\,atm\,mol^{-1}\,K^{-1}}, obteniendo la relación molar:

\boxed{PV = n\,R\,T}

Sin importar cual sea el caso, lo cierto es que existe una relación de proporcionalidad directa entre el producto PV y T, lo cual es equivalente a decir que, si un gas ideal transita entre dos estados, uno con valores iniciales (P_\alpha, V_\alpha, T_\alpha) y otro con valores finales (P_\omega, V_\omega, T_\omega), entonces estos satisfacen la relación

\dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega}

y, por lo tanto, PV/T = cte.

Esta relación, que puede ser usada como pilar experimental para formular tanto la relación microscópica como molar, se puede inferir directamente desde las leyes experimentales de Boyle-Mariotte, de Charles y de Gay-Lussac. El razonamiento es como se muestra a continuación:

Esto lo podemos demostrar a través de tres vías

1. Un cambio de volumen tras un proceso isotérmico y un proceso isobárico
2. Un cambio de presión tras un proceso isotérmico y un proceso isocórico
3. Un cambio de temperatura tras un proceso isobárico y un proceso isocórico

Para el desarrollo de estos tres casos necesitaremos de un estado intermedio con valores (P_i,V_i,T_i)

Deducciones por procesos

Deducción por cambio de volumen

Si el estado inicial (P_\alpha,V_\alpha,T_\alpha) se conecta con el estado intermedio (P_i,V_i,T_i) mediante un proceso isotérmico, y luego el estado intermedio se conecta con el estado final (P_\omega,V_\omega,T_\omega) por un proceso isobárico, entonces se tiene:

\begin{array}{rclcl} & P_\alpha V_\alpha= P_i V_i & & V_i/T_i = V_\omega/T_\omega & \\ &\text{isotérmico}& &\text{isobárico} & \\ P_\alpha & \longrightarrow & P_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{V_i} & \longrightarrow & P_\omega = P_i \\ \\ V_\alpha & \longrightarrow & V_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{P_i} & \longrightarrow & V_\omega = \dfrac{V_i T_\omega}{T_i} \\ \\ T_\alpha & \longrightarrow & T_i = T_\alpha & \longrightarrow & T_\omega = \dfrac{V_\omega T_i}{V_i} \end{array}

A partir de esto se tiene que:

\begin{array}{rl} & V_\omega = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) V_i = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) \left(\dfrac{P_\alpha}{P_i} \right) V_\alpha = \dfrac{T_\omega P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha P_\omega} \\ \\ \equiv & \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega} \end{array}

Deducción por cambio de presión

Si el estado inicial (P_\alpha,V_\alpha,T_\alpha) se conecta con el estado intermedio (P_i,V_i,T_i) mediante un proceso isotérmico, y luego el estado intermedio se conecta con el estado final (P_\omega,V_\omega,T_\omega) por un proceso isocórico, entonces se tiene:

\begin{array}{rclcl} & P_\alpha V_\alpha= P_i V_i & & P_i/T_i = P_\omega/T_\omega & \\ &\text{isotérmico}& &\text{isocórico} & \\ P_\alpha & \longrightarrow & P_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{V_i} & \longrightarrow & P_\omega = \dfrac{P_i T_\omega}{T_i} \\ \\ V_\alpha & \longrightarrow & V_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{P_i} & \longrightarrow & V_\omega = V_i \\ \\ T_\alpha & \longrightarrow & T_i = T_\alpha & \longrightarrow & T_\omega = \dfrac{V_\omega T_i}{V_i} \end{array}

A partir de esto se tiene que:

\begin{array}{rl} & P_\omega = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) P_i = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) \left(\dfrac{V_\alpha}{V_i}\right)P_\alpha = \dfrac{T_\omega V_\alpha P_\alpha}{T_\alpha V_\omega} \\ \\ \equiv & \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega} \end{array}

Deducción por cambio de temperatura

Si el estado inicial (P_\alpha,V_\alpha,T_\alpha) se conecta con el estado intermedio (P_i,V_i,T_i) mediante un proceso isobárico, y luego el estado intermedio se conecta con el estado final (P_\omega,V_\omega,T_\omega) por un proceso isocórico, entonces se tiene:

\begin{array}{rclcl} & V_\alpha/ T_\alpha= V_i / T_i & & P_i/T_i = P_\omega/T_\omega & \\ &\text{isobárico}& &\text{isocórico} & \\ P_\alpha & \longrightarrow & P_i = P_\alpha & \longrightarrow & P_\omega = \dfrac{P_i T_\omega}{T_i} \\ \\ V_\alpha & \longrightarrow & V_i = \dfrac{V_\alpha T_i}{T_\alpha} & \longrightarrow & V_\omega = V_i \\ \\ T_\alpha & \longrightarrow & T_i = \dfrac{V_i T_\alpha}{V_\alpha} & \longrightarrow & T_\omega = \dfrac{P_\omega T_i}{P_i} \end{array}

A partir de esto se tiene que:

\begin{array}{rl} & T_\omega = \left(\dfrac{P_\omega}{P_i}\right) T_i = \left(\dfrac{P_\omega}{P_i}\right) \left(\dfrac{V_i}{V_\alpha}\right)T_\alpha = \dfrac{P_\omega V_\omega T_\alpha}{P_\alpha V_\alpha} \\ \\ \equiv & \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega} \end{array}

Comentarios y trasfondo microscópico

Aunque la formulación anterior es empírica, puede derivarse desde primeros principios mediante la Teoría Cinética de los Gases. En este modelo, el gas es una colección de partículas que se mueven y colisionan entre sí y con las paredes del recipiente. Se idealiza con supuestos como:

1. Ausencia de fuerzas de atracción o repulsión a distancia entre partículas.
2. Partículas puntuales o de tamaño despreciable con forma esférica.
3. Choques perfectamente elásticos entre partículas y con las paredes.

Estas idealizaciones simplifican el análisis y, aun cuando ningún gas real las cumple exactamente, describen bien a muchos gases en un amplio rango de condiciones y ofrecen una base para la Termodinámica Clásica, con aplicaciones que van desde motores térmicos hasta física atmosférica y astrofísica.

Ámbito de validez y limitaciones

La ley de los gases ideales no es universal. Se desvía cuando las hipótesis anteriores dejan de ser razonables o cuando emergen efectos fuera de la física clásica.

• Altas presiones y bajas temperaturas: las interacciones entre moléculas ya no son despreciables y el tamaño finito de las partículas importa. Una corrección habitual es la ecuación de van der Waals:
  \left(P + a\left(\dfrac{n}{V}\right)^2\right)\,(V - nb)=nRT

  con parámetros a y b característicos de cada gas.

• Régimen cuántico: a temperaturas muy bajas o densidades elevadas aparecen estadísticas de Bose–Einstein o Fermi–Dirac, requiriendo modelos de gases cuánticos.
• Régimen relativista: si las partículas se mueven a velocidades cercanas a la de la luz, se necesitan correcciones relativistas.

Notas prácticas

• Usa siempre temperatura en Kelvin en las fórmulas: T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
• Cuida la coherencia de unidades: si trabajas con \mathrm{atm} y \mathrm{L}, utiliza R=0{,}082\,057\ \mathrm{L\,atm\,mol^{-1}\,K^{-1}}; si usas \mathrm{Pa} y \mathrm{m^3}, emplea R=8{,}314\,462\,6\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
• Recuerda que cada ley empírica se obtuvo manteniendo una variable fija. Combinar resultados requiere tener claro qué proceso termodinámico se realiza en cada etapa.