Conoce el Espacio Muestral de la Teoría de las Probabilidades
Resumen
En esta clase se aborda el concepto de Espacio de Probabilidades, una estructura matemática compuesta por un Espacio Muestral, Sigma-Álgebra y Medida de Probabilidad. Se revisa detalladamente el Espacio Muestral, entendido como la reunión de todos los estados posibles de un proceso aleatorio. A través de ejemplos prácticos, se ilustra la construcción de espacios muestrales discretos y continuos, y se explica cómo a partir de ellos se construyen los eventos medibles y se calculan las medidas de probabilidad. Esta clase resulta fundamental para comprender las bases de la Teoría de las Probabilidades y sentar las bases para su aplicación en diferentes ámbitos.
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:
Al completar esta clase el estudiante será capaz de:
- Comprender el concepto de Espacio de Probabilidades.
- Identificar los elementos que componen el Espacio de Probabilidades.
- Diferenciar entre espacios muestrales discretos y continuos.
- Construir espacios muestrales discretos y continuos.
INDICE DE CONTENIDOS
EL ESPACIO DE PROBABILIDADES
EJEMPLOS DE ESPACIOS MUESTRALES
ESPACIOS MUESTRALES DISCRETOS Y CONTÍNUOS
El espacio de probabilidades
La Teoría de las Probabilidades se fundamenta a partir de un objeto llamado Espacio de Probabilidades. Esto es una estructura matemática que se compone de: (i) un Espacio Muestral \Omega, (ii) una Sigma-Álgebra \Sigma y (iii) una Medida de Probabilidad P. Para construir el espacio de probabilidades primero revisaremos el concepto de espacio muestral.
La reunión de todos los estados posibles \omega de un proceso aleatorio forman un conjunto no-vacío \Omega que llamamos Espacio Muestral.
Ejemplos de espacios muestrales
| EJEMPLO 1 |
| Si lanzamos una moneda al aire, entonces tenemos dos resultados posibles: Cara (C) y Sello (S). Por lo tanto, el espacio muestral será \Omega_{1m}=\{C,S\} |
| EJEMPLO 2 |
| Si se repite el experimento anterior, pero ahora con dos lanzamientos, entonces se tendrá: \Omega_{2m}=\{(C,C);(C,S);(S,C);(S,S)\} Es decir, todas las formas posibles de ordenar caras y sellos en grupos de dos. |
| EJEMPLO 3 |
| El lanzamiento de un dado de 6 caras tiene el siguiente espacio muestral: \Omega_{1d6}=\{1,2,3,4,5,6\} Es decir, el número indicado en cada una de sus caras. |
| EJEMPLO 4 |
| El tiempo de vida de un aparato eléctrico (medido en horas) tiene espacio muestral de la forma \Omega_{ae}=\{t\in \mathbb{R} \;|\; t\geq 0\} Es decir, el tiempo de vida del aparato es un número t contenido en el intervalo [0,+\infty[ |
Espacios Muestrales Discretos y Continuos
A partir estos ejemplos podemos hacer una distinción entre dos tipos de espacios muestrales, estos son los discretos y los continuos. Los espacios muestrales discretos son aquellos que, como en los tres primeros ejemplos, están formados por conjuntos finitos, aunque también pueden ser infinitos y numerables (como cualquier subconjunto de \mathbb{N}). En cambio, los espacios muestrales continuos son conuntos infinitos y no-numerables; generalmente se representan a través de sub-intérvalos de \mathbb{R}.
A partir de los elementos del espacio muestral (los estados posibles) se construyen los eventos medibles (objetos de la sigma-álgebra) del espacio de probabilidades, y sobre éstos objetos es que se calculan las medidas de probabilidad.