Предварительные идеи для получения уравнения параболы

Геометрическое понятие параболы

Парабола — это кривая, которая образуется как множество всех точек, равноудалённых от фиксированной точки, называемой фокусом, и фиксированной прямой, называемой директрисой. Чтобы понять это определение и преобразовать его в алгебраическое выражение, которым мы можем оперировать, уравнение параболы, сначала нужно рассмотреть несколько предварительных понятий.

Расстояние между двумя точками на декартовой плоскости

Рассмотрим две точки p_1 = (x_1, y_1) и p_2 = (x_2, y_2). Расстояние между этими точками — это длина отрезка, соединяющего их.

Мы можем измерить это расстояние с помощью теоремы Пифагора, как показано на следующей диаграмме:

Таким образом, расстояние d между двумя точками будет:

d= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Перенос графиков

Рассмотрим функцию y(x) = x^2. Если мы построим график, то получим что-то вроде того, что показано на рисунке ниже:

Если мы заменим x на x-1 и y на y-1, мы увидим следующее преобразование графика:

Вообще говоря, каждое подобное замещение вызывает перенос, а именно:

• x\longmapsto x-a: если a положительное, график перемещается на a единиц вправо, если отрицательное — влево.
• y\longmapsto y-b: если b положительное, график перемещается на b единиц вверх, если отрицательное — вниз.

Эти преобразования называются переносами, и их общий эффект можно обобщить на следующем рисунке:

Определение параболы

Парабола — это множество всех точек, равноудалённых от фиксированной точки и фиксированной прямой.

Фиксированная точка называется фокусом, а прямая — директрисой. Обратите внимание, что понятие расстояния является основополагающим для определения параболы, поэтому для более глубокого анализа необходимо рассмотреть, как измеряется расстояние на декартовой плоскости и как его можно выразить алгебраически.

Вывод основного уравнения параболы

Для простоты предположим, что фокус p_f= (0,f), а директриса имеет уравнение y=-p.

Если мы возьмем любую точку параболы с координатами (x,y), то она будет равноудалена от фокуса и директрисы. Это можно описать алгебраически следующим образом:

Расстояние от фокуса до точки(x,y) = \sqrt{x^2 + (f-y)^2}= y+f = Расстояние от точки(x,y) до директрисы

И на основе этого разворачивается следующий ход рассуждений:

Это и есть то, что мы называем Основным уравнением параболы.

Если внимательно рассмотреть эту параболу, можно увидеть, что в ней есть точка, которая является ближайшей к фокусу (или, что эквивалентно, к директрисе). Эта точка называется вершиной, и в данном случае её координаты — (0,0); расстояние между фокусом и вершиной называется фокусным расстоянием, и его значение f может быть любым действительным числом, кроме нуля.

Когда f\gt 0, парабола открывается вверх, а если f\lt 0, то вниз. Когда f\to 0, парабола становится плоской, вершина остаётся на своём месте, а директриса приближается к вершине. Визуально это выглядит так, как будто парабола и директриса сливаются в одну линию; если f равно нулю, график исчезает, так как деление на ноль невозможно.

Общее уравнение параболы

Из основного уравнения параболы и переноса графиков, заменяя x\longmapsto (x-h) и y\longmapsto (y-k), получаем Общее уравнение параболы с вершиной в точке (h,k).

(y-k) = \dfrac{(x-h)^2}{4f}

Каноническое уравнение параболы и квадратные многочлены

Развивая общее уравнение параболы, мы приходим к следующему ходу рассуждений:

Если в этом уравнении сделать замены a=\dfrac{1}{4f}, b=-\dfrac{2h}{4f} и c=\dfrac{h^2 + 4fk}{4f}, тогда общее уравнение параболы преобразуется в каноническое уравнение, которое по сути является квадратным многочленом.

\boxed{y=ax^2 + bx + c}