1. Introducción

El estudio de las funciones algebraicas comienza introduciendo las variables: símbolos que representan el lugar donde puede ir un número. Tradicionalmente se usan las letras x, y, z con el fin de representar números reales, en otros contextos la z se prefiere para los complejos. También es costumbre usar subíndices cuando las variables son muchas. Así, x_1, x_2, \cdots , x_n son también ejemplos de variables.

Las funciones algebraicas son fundamentales en diversas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones. Estas funciones se definen mediante expresiones algebraicas que involucran operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces de variables. Comprender las funciones algebraicas es esencial para el estudio de muchas ramas de la matemática pura y aplicada, incluyendo álgebra, cálculo, geometría y teoría de números. Además, tienen una importancia crucial en la física, la ingeniería, la economía y las ciencias sociales, ya que permiten modelar y analizar fenómenos reales de manera precisa y eficiente.

En el ámbito educativo, las funciones algebraicas sirven como una base sólida para el desarrollo del pensamiento abstracto y la resolución de problemas. A través del estudio de estas funciones, los estudiantes aprenden a manipular expresiones algebraicas y a entender las relaciones entre variables, lo cual es fundamental para avanzar en matemáticas más complejas.

En la vida cotidiana, las funciones algebraicas se utilizan en una variedad de contextos prácticos. Por ejemplo, se aplican en la gestión financiera para calcular intereses y amortizaciones, en la informática para desarrollar algoritmos y en la ingeniería para diseñar estructuras y sistemas. Las funciones algebraicas también son esenciales en el análisis de datos y la modelización estadística, ayudando a interpretar y predecir comportamientos basados en datos observados.

En resumen, el estudio de las funciones algebraicas no solo es una piedra angular de las matemáticas, sino que también tiene una amplia gama de aplicaciones prácticas que subrayan su relevancia y utilidad en el mundo moderno. Con una comprensión sólida de estas funciones, se pueden abordar problemas complejos y desarrollar soluciones innovadoras en diversos campos.

2. ¿Qué son las Funciones Algebraicas?

Las funciones algebraicas son un tipo especial de función. Una función es una ley de correspondencia entre dos conjuntos que representamos a través de la escritura:

f: A\longmapsto B

Donde A es el conjunto de entrada y B el de salida.

Toda función f tiene, además, un dominio (Dom(f)) y un recorrido (Rec(f)). El dominio es el conjunto de todos los valores de la entrada para los cuales la función produce un resultado válido, el recorrido es el conjunto de todas las salidas posibles de la función. El recorrido también es llamado Imagen, y el dominio preimagen. Al definir una función, a veces es costumbre escribir de cualquiera de las siguientes dos formas:

f: Dom(f)\subseteq A\longmapsto Rec(f)\subseteq B

f: Dom(f)\ \longmapsto Rec(f)

Así pues, las funciones algebraicas son aquellas que se escriben en términos de las operaciones algebraicas de sus variables, tales como la suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz principal. Se dice, además, que una función es de variable real si se espera que sus variables sean sustituidas por números reales, de variable compleja si se espera que sean reemplazadas por números complejos, y así con cualquier otro conjunto numérico. También se habla de funciones de una, dos, tres o varias variables, según si tiene una, dos, tres o muchas variables.

2.1. Ejemplos de Funciones Algebraicas

1. Consideremos la siguiente función

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & f(x) =x^3 + 5x + \displaystyle \frac{6}{\sqrt{x}} \\ \end{matrix}

   Esto es una función algebraica de una variable real. Aquí podemos ver directamente que

   Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; x\gt 0\} = ]0, +\infty[

   Esto es debido a que no existen divisiones por cero y porque la raíz principal sólo está bien definida para los reales positivos.

2. Revisemos ahora la siguiente función

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \longmapsto & f(x,y) =\displaystyle \frac{2xy + \frac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}} \\ \end{matrix}

   Esta es una función de dos variables reales que entrega como resultado un número real. Esto también se conoce como campo escalar. Este tipo de funciones también escapan al alcance de este curso, pero son muy útiles en física para describir magnitudes como la temperatura o distribuciones de densidad. El dominio de esta función también puede ser visto «a simple vista».

   Dom(f) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\; x \neq 0 \wedge y\neq 1 \}

2.2. Comentarios sobre el Gráfico y el Recorrido

Determinar el recorrido es generalmente complicado. Luego veremos técnicas que nos permitirán hacerlo fácilmente, aun en casos en que parecería imposible de lograr algebraicamente. Sin embargo, aun con estos métodos existirán problemas porque en ocasiones se necesitan técnicas que van más allá del alcance de este curso, como el cálculo de puntos críticos para la identificación de máximos y mínimos del cálculo diferencial. Sin embargo, aun sin el cálculo hay mucho que se puede hacer, y estas cosas las veremos a su debido momento.

Si de todos modos si tienes interés en conocer el recorrido y gráfico de estas funciones, siempre puedes acudir a Wolfram Alpha. Entra a https://www.wolframalpha.com/ y prueba copiando y pegando esto:

x^3 + 5x + \dfrac{6}{\sqrt{x}}

para tener una idea de cómo sería el primer ejemplo. Para el segundo copia y pega esto:

\dfrac{2xy + \dfrac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}}

3. Otros Tipos de Funciones

Las funciones que estudiamos en este curso se pueden dividir en dos especies: Funciones Algebraicas y Funciones trascendentales. Las algebraicas, como ya vimos, son aquellas que se escriben en términos de las operaciones fundamentales, las funciones trascendentales, en cambio, no se pueden escribir de esta manera o se requieren de expresiones compuestas de infinitas operaciones. A su vez, las funciones algebraicas se pueden separar en dos especies: las polinomiales y no polinomiales. Una función polinomial es cualquier función que se puede escribir como la suma o diferencia de potencias. Algo de la siguiente forma:

\displaystyle P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n

Cualquier función que no sea de esta forma es no-polinomial. Dentro de las funciones no-polinomiales destacan las funciones racionales, que son aquellas que se pueden escribir como cociente entre dos funciones polinomiales.