निर्वात में मैक्सवेल के समीकरण

निर्वात में इलेक्ट्रोमैग्नेटिज़्म की कुछ विशेषताएं हैं जिनका उल्लेख करना महत्वपूर्ण है। यह पता चलता है कि विद्युत और चुम्बकीय क्षेत्रों का वर्णन करने वाले मैक्सवेल के समीकरण, निर्वात में निम्नलिखित रूप में प्राप्त होते हैं

\begin{array}{rlr} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} &= 0 & [1]\\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 & [2]\\ \vec{\nabla} \times \vec{E} &\displaystyle = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} & [3]\\ \vec{\nabla} \times \vec{B} &\displaystyle = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} & [4] \end{array}

इससे यह साबित होता है कि विद्युत और चुम्बकीय क्षेत्रों में कोई भी विचलन निर्वात में एक तरंग के रूप में प्रसारित होता है। हम यह कैसे जानते हैं? क्योंकि इन अभिव्यक्तियों का विश्लेषण करने पर दोनों क्षेत्रों के लिए एक तरंग समीकरण प्राप्त होता है।

विद्युत चुम्बकीय तरंगों का प्रसार

[4] और [5] से यह स्पष्ट है कि विद्युत क्षेत्र निम्न संबंध को संतुष्ट करता है:

\begin{array}{llr} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) &\\ &=\displaystyle -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}& [6] \end{array}

फिर, जैसा कि हर वेक्टर क्षेत्र निम्न संबंध को संतुष्ट करता है:

\vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{A} \right) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A},\;\;\;[7]

[2, 6] और [7] से निम्न लिखा जा सकता है:

\begin{array}{rll} &\displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{E}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{E} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{E} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} & \\ \equiv &\displaystyle \color{blue}{\nabla^2 \vec{E} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}} & [8] \end{array}

जो नीले रंग में दर्शाया गया है वह विद्युत क्षेत्र के लिए एक तरंग प्रसारण समीकरण है।

इसी तरह से चुम्बकीय क्षेत्र के लिए भी होता है

\begin{array}{ll} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{B}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)\\ &=\displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{E}\right) = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(- \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \displaystyle \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \end{array}

और फिर

\begin{array}{rll} & \displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{B}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{B} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{B} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} &\\ \equiv &\color{blue}{\nabla^2 \vec{B} = \displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}}& [9] \end{array}

यहीं से यह कहा जाता है कि शून्य में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के अनेक संभावित तरीके होते हैं, और इन तरीकों के एक परिवार का रूप एक विद्युत चुम्बकीय तरंग का होता है जो स्थान और समय में प्रसारित होता है।

प्रकाश की गति एक सार्वभौमिक निरंतर है

दूसरे शब्दों में, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों में विक्षोभ हमेशा c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}\approx 3\cdot 10^8[m/s], की गति से प्रसारित होते हैं, जो शून्य में प्रकाश की गति है। प्रयोगात्मक रूप से देखा गया है कि यह गति सभी निरस्तारीय संदर्भों के लिए समान है, जो गैलीलियो के परिवर्तन और उनकी सीमाएं में दिखाए गए गैलीलियो के रूपांतरणों को लागू करने पर प्राप्त नहीं होती है; क्योंकि इसके अनुसार, एक निरस्तारीय संदर्भ से दूसरे में जाने पर खुद तरंग की संरचना भी बदल जाती है। ये परिणाम गैलीलियो के परिवर्तनों को छोड़कर, विशेष सापेक्षता के लोरेंज़ परिवर्तनों को अपनाने के लिए महत्वपूर्ण हैं क्योंकि: सही ढंग से सूत्रित निर्देशांक परिवर्तन को सभी निरस्तारीय पर्यवेक्षकों के लिए भौतिक विज्ञान के नियमों को संरक्षित करना चाहिए।