As equações de Maxwell no vácuo

O eletromagnetismo do espaço vazio tem algumas propriedades que valem a pena mencionar. Resulta que as equações de Maxwell que descrevem os campos elétricos e magnéticos, no vácuo adquirem a seguinte forma

\begin{array}{rlr} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} &= 0 & [1]\\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 & [2]\\ \vec{\nabla} \times \vec{E} &\displaystyle = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} & [3]\\ \vec{\nabla} \times \vec{B} &\displaystyle = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} & [4] \end{array}

A partir disso, pode-se confirmar que qualquer perturbação nos campos elétricos e magnéticos se propaga como uma onda no espaço vazio. Como sabemos disso? Porque ao analisar estas expressões, obtém-se uma equação de onda para ambos os campos.

A Propagação das Ondas Eletromagnéticas

A partir de [4] e [5], tem-se que o campo elétrico satisfaz a seguinte relação:

\begin{array}{llr} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) &\\ &=\displaystyle -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}& [6] \end{array}

Em seguida, como todo campo vetorial satisfaz a relação:

\vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{A} \right) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A},\;\;\;[7]

A partir de [2, 6] e [7], pode-se escrever:

\begin{array}{rll} &\displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{E}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{E} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{E} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} & \\ \equiv &\displaystyle \color{blue}{\nabla^2 \vec{E} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}} & [8] \end{array}

Isso que está marcado em azul é justamente uma equação de propagação de ondas para o campo elétrico.

De forma completamente análoga ocorre para o campo magnético

\begin{array}{ll} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{B}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)\\ &=\displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{E}\right) = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(- \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \displaystyle \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \end{array}

e depois

\begin{array}{rll} & \displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{B}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{B} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{B} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} &\\ \equiv &\color{blue}{\nabla^2 \vec{B} = \displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}}& [9] \end{array}

É a partir disso que se diz que os campos eletromagnéticos no vácuo têm muitos modos possíveis de ser, e uma família desses modos tem a forma de uma onda eletromagnética que se propaga pelo espaço e pelo tempo.

A velocidade da luz é uma constante universal

Em outras palavras, as perturbações nos campos eletromagnéticos sempre se propagam com rapidez c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}\approx 3\cdot 10^8[m/s], que é a velocidade da luz no vácuo. Experimentalmente observa-se que esta velocidade é a mesma para todos os referenciais inerciais, o que não coincide com o que seria obtido se se aplicassem as transformações de Galileu, como mostrado em As Transformações de Galileu e suas Limitações; porque segundo estas, até a própria estrutura da onda se altera ao passar de um referencial inercial a outro. Este resultado é a peça chave para deixar de lado as transformações de Galileu, dando passagem às transformações de Lorentz da relatividade especial porque: uma transformação de coordenadas corretamente formulada deve preservar as leis da física para todos os observadores inerciais.