Novas considerações

Como consequência do visto em Propagação das Ondas Eletromagnéticas no Vácuo, na relatividade especial postula-se como princípio que a velocidade da luz c é a mesma para todos os quadros inerciais. Mas tal suposição não é gratuita, pois carrega as seguintes implicações:

1. Devem-se abandonar as transformações de Galileu como um meio válido para transformar as observações de um quadro inercial em outro.
2. Deve-se deixar para trás a ideia intuitiva de que o tempo flui do mesmo modo para todos os referenciais inerciais.

É através destas considerações que se obtêm as transformações de Lorentz, que servem como correção e generalização para as transformações de Galileu, que também funcionam para a teoria eletromagnética.

Obtenção das transformações de Lorentz

Revisão sobre as transformações (lineares) de coordenadas

Consideremos dois referenciais inerciais S e S^\prime em configuração padrão tal que a origem do segundo se move com velocidade constante \vec{v}_0 = v_{x_0}\hat{x} em relação à origem do primeiro. O que faremos a seguir é demonstrar que, se as coordenadas de um evento visto de dois sistemas inerciais S e S^\prime estiverem relacionadas por uma transformação linear como a revisada em O princípio da Relatividade (especificamente, esta expressão) e se aceita o fato de que a luz tem a mesma velocidade em todos os referenciais inerciais, então a transformação de coordenadas corresponde exatamente às transformações de Lorentz que obteremos mais tarde.

Inicialmente, as coordenadas (t,x) de um evento visto de S, e coordenadas (t^\prime, x^\prime) do mesmo evento visto de S^\prime que se move com uma velocidade v_{v}=v_{x_0}\hat{x} relativa a S,, estão relacionadas através de uma transformação linear tal que:

\begin{array}{llr} t^\prime &= At + Bx, & [1]\\ x^\prime &= Dt + Ex & [2] \end{array}

onde A, B, C e D são constantes a determinar e foram omitidas (sem perda de generalidade) as coordenadas y e z para simplificar.

Introduzindo a velocidade da luz como constante universal

As constantes A, B, D e E podem ser determinadas a partir destas novas considerações invocando alguns casos especiais. Primeiro de tudo, temos que ter em mente que a transformação de coordenadas expressa através de [1] e [2] deve funcionar sempre, e como consequência, deve funcionar em cada um dos casos particulares, e estes casos particulares são os que serão enunciados a seguir para investigar sua forma:

• Consideremos o evento como se movendo à velocidade da luz: Se este tem coordenadas (t,x) vistas de S e (t^\prime, x^\prime) vistas de S^\prime, então devem satisfazer a relação:

  \displaystyle\frac{x^2}{t^2} = c^2 = \frac{{x^\prime}^2}{{t^\prime}^2}.

  A partir disto, infere-se que

  c^2 t^2 - x^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 = 0\;\;\; [3]

• Consideremos o evento como se movendo junto ao referencial inercial S^\prime:

  Se o evento tem as mesmas coordenadas que a origem do referencial inercial S^\prime, então ocorrerá que x=v_0 t e x^\prime =0. Consequentemente, a partir da equação [2] teremos:

  \begin{array}{rl} & 0 = Dt + Ev_0 t \\ \equiv & D = -Ev_0\:\:\;[4] \end{array}

• Finalmente, consideremos o evento como permanecendo junto à origem do referencial inercial S:

  Neste caso teremos que x=0 e x^\prime = -v_0 t^\prime, de modo que a partir da equação [2] teremos:

  \begin{array}{rl} &-v_0t^\prime = Dt\\ \equiv & t= \displaystyle -\frac{v_0}{D} t^\prime\;\;\;[5] \end{array}

  Então, a partir de [1] e [5] temos que:

  \begin{array}{rl} & t^\prime = A \left(\displaystyle -\frac{v_0}{D}\right) t^\prime + \underbrace{Bx}_{x=0} \\ \\ \equiv & \displaystyle \frac{-Av_0}{D} = 1 \\ \\ \equiv & D = -Av_0\;\;\;[6] \end{array}

Finalmente, de [4] e [6]: A = E, de modo que o sistema de equações dado por [1] e [2] se reduz a

\begin{array}{rll} t^\prime &= At + Bx & [7]\\ \\ x^\prime &= A(x - v_{x_0} t) & [8] \end{array}

O boost de velocidade e o fator de Lorentz

Agora, substituindo [7] e [8][3] temos

\begin{array}{rl} & c^2 (At +Bx)^2 - A^2 (x - v_{x_0} t)^2 = c^2t^2 - x^2\\ \\ \equiv\; & \color{blue}{(c^2 A^2) t^2} + \color{red}{(2c^2 AB)xt} \color{black} + c^2 B^2 x^2 - A^2 x^2 + \color{red} {(2A^2v_{x_0})xt} \color{black}- \color{blue}{(A^2 v_{x_0}^2) t^2} \color{black}= \color{blue}{(c^2) t^2} \color{black}- x^2. \end{array}

a partir do que restou em azul obtém-se

\begin{array}{rl} &c^2 A^2 - A^2 v_{x_0}^2 = c^2 \\ \\ \equiv\;& A^2 (c^2 - v_{x_0}^2) = c^2 \\ \\ \equiv\;& \displaystyle A^2 = \frac{c^2}{c^2 - v_{x_0}^2} = \frac{1}{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}} \\ \equiv\;& \displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}}} \end{array}

Isto geralmente é escrito substituindo A=\gamma_x (fator de contração de Lorentz) e \beta_x = v_{x_0}/c (boost de velocidade), ficando da seguinte forma:

\displaystyle A = \gamma_x = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta_x^2}},\;\;\;[9]

E substituindo [9] em [2] obtemos:

x^\prime = \gamma_x(x - \beta_x ct)

a partir do que restou em vermelho obtém-se

\begin{array}{rll} &2c^2 AB + 2A^2v_{x_{x_0}} = 0& \\ \\ \equiv\;& cB^2 + Av_{x_0} = 0 & \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{1}{c^2}Av_{x_0} = -\frac{\gamma_x v_{x_0}}{c^2}& \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} & [10] \end{array}

de modo que, substituindo [9] e [10] em [7] obtemos

\begin{array}{rl} &t^\prime =\displaystyle \gamma_x t -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} \\ \\ \equiv\; &t^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( t -\frac{\beta_x x}{c}\right)\\ \\ \equiv\; &ct^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \end{array}

Síntese das transformações de Lorentz

Finalmente, a transformação linear que modela a mudança de coordenadas entre os sistemas S e S^\prime é dada pelas expressões.

\begin{array}{rl}ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \end{array}

Este sistema de transformações pode ser expresso de forma matricial da seguinte maneira

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right)

Isto é o que se conhece como as Transformações de Lorentz da relatividade especial

As transformações de Lorentz convergem e generalizam as transformações de Galileu

A convergência das transformações de Lorentz para as de Galileu é observada ao ver o que acontece com as transformações de Lorentz quando a velocidade entre os referenciais inerciais é muito menor que a da luz. Quando isso ocorre, temos que:

|v_{x_0}| \ll c \longrightarrow \left\{\begin{matrix}\beta_x = \frac{v_{x_0}}{c} \approx 0 \\ \\ \gamma_x = \sqrt{1-\beta_x} \approx 1 \\ \\ \gamma_x \beta_x c = v_{x_0} \gamma_x \approx v_{x_0} \end{matrix}\right.

De modo que:

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} \gamma_x ct -\gamma_x \beta_x x \\ -\gamma_x \beta_x c t + \gamma_x x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \approx \left(\begin{matrix} ct \\ -v_{x_0}t + x \\ y \\ z \end{matrix}\right)

ou seja:

\begin{array}{rl} t^\prime &\approx t \\ x^\prime &\approx x - v_{x_0}t \\ y^\prime &\approx y \\ z^\prime &\approx z \end{array}

isto coincide exatamente com as transformações de Galileu. Através disso, confirma-se que as transformações de Lorentz generalizam as transformações de Galileu para velocidades próximas à da luz e convergem para as de Galileu quando as velocidades são muito menores do que a velocidade da luz