اعتبارات جديدة

كنتيجة لما تم مشاهدته في انتشار الموجات الكهرومغناطيسية في الفراغ، يُطرح في النسبية الخاصة كمبدأ أن سرعة الضوء c هي نفسها في جميع الإطارات المرجعية القصورية. لكن هذا الافتراض ليس بدون تبعات، إذ يحمل الآثار التالية:

1. يجب التخلي عن تحويلات جاليليو كوسيلة صالحة لتحويل الملاحظات من إطار مرجعي قصوري إلى آخر.
2. يجب التخلي عن الفكرة الحدسية بأن الزمن يتدفق بنفس الطريقة لجميع الإطارات المرجعية القصورية.

من خلال هذه الاعتبارات، نحصل على تحويلات لورنتز، التي تعمل كتصحيح وتعميم لتحويلات جاليليو، وكذلك تكون صالحة لنظرية الكهرومغناطيسية.

الحصول على تحويلات لورنتز

مراجعة حول التحويلات (الخطية) للإحداثيات

لنأخذ في الاعتبار إطارين قصوريين S و S^\prime في تكوين قياسي بحيث يتحرك الأصل الثاني بسرعة ثابتة \vec{v}_0 = v_{x_0}\hat{x} بالنسبة لأصل الأول. ما سنقوم به فيما يلي هو إثبات أنه إذا كانت إحداثيات حدث ما يُرى من نظامين قصوريين S و S^\prime مرتبطة بتحويل خطي كما هو مذكور في مبدأ النسبية (تحديدًا، هذه التعبير) ونقبل حقيقة أن سرعة الضوء هي نفسها في جميع الإطارات القصورية، فإن تحويل الإحداثيات يتوافق بشكل دقيق مع تحويلات لورنتز التي سنحصل عليها لاحقًا.

في الأساس، ترتبط الإحداثيات (t,x) لحدث يُرى من S، والإحداثيات (t^\prime, x^\prime) لنفس الحدث يُرى من S^\prime الذي يتحرك بسرعة v_{v}=v_{x_0}\hat{x} نسبةً إلى S, من خلال تحويل خطي كما يلي:

\begin{array}{llr} t^\prime &= At + Bx, & [1]\\ x^\prime &= Dt + Ex & [2] \end{array}

حيث A, B, C و D هي ثوابت يتعين حلها وتم استبعاد الإحداثيات y و z للتبسيط (دون فقدان العمومية).

إدخال سرعة الضوء كثابتة عالمية

يمكن تحديد الثوابت A, B, D و E من خلال هذه الاعتبارات الجديدة بالاستعانة ببعض الحالات الخاصة. أولاً، علينا أن نضع في الاعتبار أن تحويل الإحداثيات المعبر عنه من خلال [1] و [2] يجب أن يعمل دائمًا، ونتيجة لذلك، يجب أن يعمل في كل حالة خاصة، وهذه الحالات الخاصة هي ما سيتم ذكره فيما يلي للتحقيق في شكلها:

• لنفترض أن الحدث يتحرك بسرعة الضوء: إذا كان لهذا الحدث إحداثيات (t,x) يُرى من S و (t^\prime, x^\prime) يُرى من S^\prime, فيجب أن تتحقق العلاقة:

  \displaystyle\frac{x^2}{t^2} = c^2 = \frac{{x^\prime}^2}{{t^\prime}^2}.

  ومن هذا نستنتج أن

  c^2 t^2 - x^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 = 0\;\;\; [3]

• لنفترض أن الحدث يتحرك مع الإطار القصوري S^\prime:

  إذا كانت إحداثيات الحدث نفسها كإحداثيات أصل الإطار القصوري S^\prime, فإنه يحدث أن x=v_0 t و x^\prime =0. وبالتالي، من المعادلة [2] نحصل على:

  \begin{array}{rl} & 0 = Dt + Ev_0 t \\ \equiv & D = -Ev_0\:\:\;[4] \end{array}

• أخيرًا، لنفترض أن الحدث يبقى بجانب أصل الإطار القصوري S:

  في هذه الحالة سيكون x=0 و x^\prime = -v_0 t^\prime, وبالتالي من المعادلة [2] نحصل على:

  \begin{array}{rl} &-v_0t^\prime = Dt\\ \equiv & t= \displaystyle -\frac{v_0}{D} t^\prime\;\;\;[5] \end{array}

  ثم، انطلاقًا من [1] و [5]، نجد أن:

  \begin{array}{rl} & t^\prime = A \left(\displaystyle -\frac{v_0}{D}\right) t^\prime + \underbrace{Bx}_{x=0} \\ \\ \equiv & \displaystyle \frac{-Av_0}{D} = 1 \\ \\ \equiv & D = -Av_0\;\;\;[6] \end{array}

وأخيرًا، من [4] و [6]: A = E, بحيث يُصبح النظام الرياضي الذي يُقدمه [1] و [2] كالتالي:

\begin{array}{rll} t^\prime &= At + Bx & [7]\\ \\ x^\prime &= A(x - v_{x_0} t) & [8] \end{array}

تعزيز السرعة وعامل لورنتز

الآن، بإحلال [7] و [8] في [3]، نحصل على

\begin{array}{rl} & c^2 (At +Bx)^2 - A^2 (x - v_{x_0} t)^2 = c^2t^2 - x^2\\ \\ \equiv\; & \color{blue}{(c^2 A^2) t^2} + \color{red}{(2c^2 AB)xt} \color{black} + c^2 B^2 x^2 - A^2 x^2 + \color{red} {(2A^2v_{x_0})xt} \color{black}- \color{blue}{(A^2 v_{x_0}^2) t^2} \color{black}= \color{blue}{(c^2) t^2} \color{black}- x^2. \end{array}

ومن الجزء الملون بالأزرق نستنتج

\begin{array}{rl} &c^2 A^2 - A^2 v_{x_0}^2 = c^2 \\ \\ \equiv\;& A^2 (c^2 - v_{x_0}^2) = c^2 \\ \\ \equiv\;& \displaystyle A^2 = \frac{c^2}{c^2 - v_{x_0}^2} = \frac{1}{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}} \\ \equiv\;& \displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}}} \end{array}

يُكتب هذا عادةً بتبديل A=\gamma_x (عامل تقلص لورنتز) و \beta_x = \frac{v_{x_0}}{c} (تعزيز السرعة)، ليأخذ الشكل التالي:

\displaystyle A = \gamma_x = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta_x^2}},\;\;\;[9]

وباستبدال [9] في [2]، نحصل على:

x^\prime = \gamma_x(x - \beta_x ct)

ومن الجزء الملون بالأحمر نستنتج

\begin{array}{rll} &2c^2 AB + 2A^2v_{x_{x_0}} = 0& \\ \\ \equiv\;& cB^2 + Av_{x_0} = 0 & \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{1}{c^2}Av_{x_0} = -\frac{\gamma_x v_{x_0}}{c^2}& \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} & [10] \end{array}

بالتالي، بإحلال [9] و [10] في [7]، نحصل على

\begin{array}{rl} &t^\prime =\displaystyle \gamma_x t -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} \\ \\ \equiv\; &t^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( t -\frac{\beta_x x}{c}\right)\\ \\ \equiv\; &ct^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \end{array}

تركيب تحويلات لورنتز

في النهاية، تُعطى التحويلة الخطية التي تُمثل تغيير الإحداثيات بين الأنظمة S و S^\prime بالتعابير التالية.

\begin{array}{rl}ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \end{array}

يمكن التعبير عن هذا النظام من التحويلات بشكل مصفوفي كما يلي

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right)

هذا ما يُعرف بتحويلات لورنتز في النسبية الخاصة

تحويلات لورنتز وتعميمها وتقاربها مع تحويلات جاليليو

يُلاحظ تقارب تحويلات لورنتز مع تحويلات جاليليو عندما تكون السرعة بين الإطارات المرجعية القصورية أقل بكثير من سرعة الضوء. في هذه الحالة، يكون:

|v_{x_0}| \ll c \longrightarrow \left\{\begin{matrix}\beta_x = \frac{v_{x_0}}{c} \approx 0 \\ \\ \gamma_x = \sqrt{1-\beta_x} \approx 1 \\ \\ \gamma_x \beta_x c = v_{x_0} \gamma_x \approx v_{x_0} \end{matrix}\right.

وبالتالي:

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} \gamma_x ct -\gamma_x \beta_x x \\ -\gamma_x \beta_x c t + \gamma_x x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \approx \left(\begin{matrix} ct \\ -v_{x_0}t + x \\ y \\ z \end{matrix}\right)

أي:

\begin{array}{rl} t^\prime &\approx t \\ x^\prime &\approx x - v_{x_0}t \\ y^\prime &\approx y \\ z^\prime &\approx z \end{array}

وهذا يتطابق تمامًا مع تحويلات جاليليو. من خلال هذا، يتم التأكيد على أن تحويلات لورنتز تعمم تحويلات جاليليو للسرعات القريبة من سرعة الضوء وتتقارب معها عندما تكون السرعات أقل بكثير من سرعة الضوء