Neue Überlegungen

Als Konsequenz aus dem in Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Vakuum Gesehenen wird in der speziellen Relativitätstheorie als Prinzip postuliert, dass die Lichtgeschwindigkeit c für alle Inertialsysteme gleich ist. Aber eine solche Annahme ist nicht kostenlos, da sie die folgenden Implikationen mit sich bringt:

1. Die Galilei-Transformationen müssen als gültiges Mittel zur Umwandlung von Beobachtungen eines Inertialsystems in die eines anderen aufgegeben werden.
2. Die intuitive Vorstellung, dass die Zeit für alle Inertialsysteme gleichmäßig vergeht, muss aufgegeben werden.

Durch diese Überlegungen ergeben sich die Lorentz-Transformationen, die als Korrektur und Verallgemeinerung der Galilei-Transformationen dienen und zudem auch für die elektromagnetische Theorie gültig sind.

Herleitung der Lorentz-Transformationen

Rekapitulation der (linearen) Koordinatentransformationen

Betrachten wir zwei Inertialsysteme S und S^\prime in Standardkonfiguration, so dass sich der zweite Ursprung mit konstanter Geschwindigkeit \vec{v}_0 = v_{x_0}\hat{x} relativ zum Ursprung des ersten bewegt. Im Folgenden soll gezeigt werden, dass, wenn die Koordinaten eines Ereignisses, gesehen von zwei Inertialsystemen S und S^\prime, durch eine lineare Transformation wie die in Das Prinzip der Relativität (insbesondere diese Darstellung) dargestellt sind und die Tatsache akzeptiert wird, dass Licht in allen Inertialsystemen die gleiche Geschwindigkeit hat, dann entspricht die Koordinatentransformation genau den Lorentz-Transformationen, die wir später herleiten werden.

Im Prinzip stehen die Koordinaten (t,x) eines Ereignisses, gesehen von S, und die Koordinaten (t^\prime, x^\prime) desselben Ereignisses, gesehen von S^\prime, das sich mit einer Geschwindigkeit v_{v}=v_{x_0}\hat{x} relativ zu S bewegt, durch eine lineare Transformation in Beziehung, so dass:

\begin{array}{llr} t^\prime &= At + Bx, & [1]\\ x^\prime &= Dt + Ex & [2] \end{array}

wobei A, B, C und D Konstanten sind, die noch bestimmt werden müssen, und die Koordinaten y und z wurden (ohne Allgemeingültigkeit zu verlieren) zur Vereinfachung weggelassen.

Einführung der Lichtgeschwindigkeit als universelle Konstante

Die Konstanten A, B, D und E können aus diesen neuen Überlegungen durch die Betrachtung spezieller Fälle bestimmt werden. Vor allem müssen wir berücksichtigen, dass die durch [1] und [2] ausgedrückte Koordinatentransformation immer funktionieren muss, und infolgedessen muss sie in jedem einzelnen Spezialfall funktionieren. Diese speziellen Fälle werden im Folgenden formuliert, um ihre Form zu untersuchen:

• Betrachten wir das Ereignis als Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit: Wenn es Koordinaten (t,x) gesehen von S und (t^\prime, x^\prime) gesehen von S^\prime hat, dann muss die Beziehung erfüllt sein:

  \displaystyle\frac{x^2}{t^2} = c^2 = \frac{{x^\prime}^2}{{t^\prime}^2}.

  Daraus folgt:

  c^2 t^2 - x^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 = 0\;\;\; [3]

• Betrachten wir das Ereignis als Bewegung zusammen mit dem Inertialsystem S^\prime:

  Wenn das Ereignis die gleichen Koordinaten wie der Ursprung des Inertialsystems S^\prime hat, dann gilt x=v_0 t und x^\prime =0. Folglich ergibt sich aus Gleichung [2]:

  \begin{array}{rl} & 0 = Dt + Ev_0 t \\ \equiv & D = -Ev_0\:\:\;[4] \end{array}

• Schließlich betrachten wir das Ereignis als im Ursprung des Inertialsystems S verbleibend:

  In diesem Fall gilt x=0 und x^\prime = -v_0 t^\prime, sodass sich aus Gleichung [2] ergibt:

  \begin{array}{rl} &-v_0t^\prime = Dt\\ \equiv & t= \displaystyle -\frac{v_0}{D} t^\prime\;\;\;[5] \end{array}

  Dann ergibt sich aus [1] und [5]:

  \begin{array}{rl} & t^\prime = A \left(\displaystyle -\frac{v_0}{D}\right) t^\prime + \underbrace{Bx}_{x=0} \\ \\ \equiv & \displaystyle \frac{-Av_0}{D} = 1 \\ \\ \equiv & D = -Av_0\;\;\;[6] \end{array}

Schließlich ergibt sich aus [4] und [6]: A = E, sodass sich das durch [1] und [2] gegebene Gleichungssystem reduziert auf

\begin{array}{rll} t^\prime &= At + Bx & [7]\\ \\ x^\prime &= A(x - v_{x_0} t) & [8] \end{array}

Der Geschwindigkeits-Boost und der Lorentz-Faktor

Nun, durch Einsetzen von [7] und [8] in [3] erhält man

\begin{array}{rl} & c^2 (At +Bx)^2 - A^2 (x - v_{x_0} t)^2 = c^2t^2 - x^2\\ \\ \equiv\; & \color{blue}{(c^2 A^2) t^2} + \color{red}{(2c^2 AB)xt} \color{black} + c^2 B^2 x^2 - A^2 x^2 + \color{red} {(2A^2v_{x_0})xt} \color{black}- \color{blue}{(A^2 v_{x_0}^2) t^2} \color{black}= \color{blue}{(c^2) t^2} \color{black}- x^2. \end{array}

aus dem in Blau markierten Teil ergibt sich

\begin{array}{rl} &c^2 A^2 - A^2 v_{x_0}^2 = c^2 \\ \\ \equiv\;& A^2 (c^2 - v_{x_0}^2) = c^2 \\ \\ \equiv\;& \displaystyle A^2 = \frac{c^2}{c^2 - v_{x_0}^2} = \frac{1}{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}} \\ \equiv\;& \displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}}} \end{array}

Dies wird üblicherweise geschrieben, indem man A=\gamma_x (Lorentz-Kontraktionsfaktor) und \beta_x = v_{x_0}/c (Geschwindigkeits-Boost) setzt, sodass es die Form annimmt:

\displaystyle A = \gamma_x = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta_x^2}},\;\;\;[9]

Und durch Einsetzen von [9] in [2] erhält man:

x^\prime = \gamma_x(x - \beta_x ct)

aus dem in Rot markierten Teil ergibt sich

\begin{array}{rll} &2c^2 AB + 2A^2v_{x_{x_0}} = 0& \\ \\ \equiv\;& cB^2 + Av_{x_0} = 0 & \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{1}{c^2}Av_{x_0} = -\frac{\gamma_x v_{x_0}}{c^2}& \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} & [10] \end{array}

sodass man, durch Einsetzen von [9] und [10] in [7], erhält

\begin{array}{rl} &t^\prime =\displaystyle \gamma_x t -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} \\ \\ \equiv\; &t^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( t -\frac{\beta_x x}{c}\right)\\ \\ \equiv\; &ct^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \end{array}

Synthese der Lorentz-Transformationen

Schließlich wird die lineare Transformation, die den Koordinatenwechsel zwischen den Systemen S und S^\prime modelliert, durch die folgenden Ausdrücke gegeben.

\begin{array}{rl}ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \end{array}

Dieses Transformationssystem kann in Matrixform wie folgt dargestellt werden

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right)

Dies ist das, was man als die Lorentz-Transformationen der speziellen Relativitätstheorie bezeichnet.

Die Lorentz-Transformationen gehen in die Galilei-Transformationen über und verallgemeinern diese

Das Übergehen der Lorentz-Transformationen in die Galilei-Transformationen zeigt sich daran, was mit den Lorentz-Transformationen geschieht, wenn die Geschwindigkeit zwischen den Inertialsystemen viel kleiner ist als die Lichtgeschwindigkeit. In diesem Fall gilt:

|v_{x_0}| \ll c \longrightarrow \left\{\begin{matrix}\beta_x = \frac{v_{x_0}}{c} \approx 0 \\ \\ \gamma_x = \sqrt{1-\beta_x} \approx 1 \\ \\ \gamma_x \beta_x c = v_{x_0} \gamma_x \approx v_{x_0} \end{matrix}\right.

Somit gilt:

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} \gamma_x ct -\gamma_x \beta_x x \\ -\gamma_x \beta_x c t + \gamma_x x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \approx \left(\begin{matrix} ct \\ -v_{x_0}t + x \\ y \\ z \end{matrix}\right)

das heißt:

\begin{array}{rl} t^\prime &\approx t \\ x^\prime &\approx x - v_{x_0}t \\ y^\prime &\approx y \\ z^\prime &\approx z \end{array}

was genau den Galilei-Transformationen entspricht. Dadurch wird bestätigt, dass die Lorentz-Transformationen die Galilei-Transformationen für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit verallgemeinern und bei Geschwindigkeiten, die viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind, in die Galilei-Transformationen übergehen.