¿Qué es una sigma-álgebra? Definición y ejemplos

Resumen
En esta clase se aborda la importancia de la sigma-álgebra en la teoría de la probabilidad. La sigma-álgebra es una estructura que contiene a todos los eventos medibles de un espacio muestral, permitiendo definir una medida de probabilidad. A través de ejemplos prácticos, como los lanzamientos de monedas y el tiempo de vida de un aparato electrónico, se explica cómo la sigma-álgebra se construye a partir de las partes del espacio muestral. También se presenta la sigma-álgebra de Borel, asociada a un espacio muestral continuo, y se explican sus eventos borelianos.

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:
Al completar esta clase el estudiante será capaz de:

Comprender la definición y características de una Sigma-Álgebra, como estructura matemática que permite definir una medida de probabilidad.
Identificar los elementos que conforman una Sigma-Álgebra y su relación con los eventos medibles de un espacio muestral.

INDICE DE CONTENIDOS
DEFINICIÓN DE UNA SIGMA-ÁLGEBRA
LA SIGMA-ÁLGEBRA EN LOS LANZAMIENTOS DE MONEDAS
LA SIGMA-ÁLGEBRAS EN CASOS CONTINUOS

Los eventos medibles aparecen en el espacio de probabilidades a través y la sigma-álgebra. A través de ésta idea se transforma una noción inicialmente intuitiva en una estructura formalmente matemática que permitirá definir una medida de probabilidad.

Definición de una Sigma-Álgebra

Una Sigma-Álgebra $\Sigma$ (o σ-álgebra) es una estructura que que contiene a todos los eventos medibles de un espacio muestral. Se dice que el par $\Sigma_{\Omega} = (\Omega, \mathcal{A}_{\Omega})$ es una σ-álgebra de un espacio muestral $\Omega$ si se cumple que:

$\emptyset,\Omega \in \mathcal{A}_\Omega$
$\left(E \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E^c = \Omega\setminus E \in \mathcal{A}_\Omega)$
$\left(E_1, E_2 \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E_1 \cup E_2 \in \mathcal{A}_\Omega)$

Todos los objetos $E\in\mathcal{A}_\Omega$ se llaman Eventos de $\Omega$ .

La sigma-álgebra en los lanzamientos de monedas

EJEMPLO 1

Para el lanzamiento de una moneda, la σ-álgebra está dada por

\Sigma_{1m}=(\Omega_{1m}, \mathcal{A}_{1m})

, donde

$\Omega_{1m}= \{C,S\}$
$\mathcal{A}_{1m}= \{\emptyset,\{C\},\{S\}, \Omega_{1m}\}$

Cada elemento de $\mathcal{A}_{1m}$ es un evento que se identifica de la siguiente forma:

$\emptyset$ «No cae ni cara ni sello» (es el evento imposible).
$\{C\}$ «Es el evento en que sale cara».
$\{S\}$ «Es el evento en que sale Sello».
$\Omega_{1m}= \{C,S\}$ «Cae cualquiera de los dos, o cara o sello» (es el evento seguro).

EJEMPLO 2

Si en lugar de una, lanzamos dos monedas, una posible σ-álgebra

\Sigma_{2m}=(\Omega_{2m}, \mathcal{A}_{2m})

se puede obtener a partir de las partes de

\Omega_{2m}

. De este modo tenemos lo siguiente:

$\Omega_{2m}= \{(C,C);(C,S); (S,C); (S,S)\}$
$\mathcal{A}_{2m}=\mathcal{P}(\Omega_{2m}) = \cdots$ $\cdots = \{\emptyset; \{(C,C)\}; \left\{(C,S)\}; \{(S,C)\}; \{(S,S)\}; \cdots \right.$ $\cdots; \{(C,C);(C,S)\};\{(C,C);(S,C)\};\{(C,C);(S,S)\};\cdots$ $\cdots; \{(C,S);(S,C)\};\{(C,S);(S,S)\};\{(S,C);(S,S)\};\cdots$ $\cdots; \{(C,C);(C,S);(S,C)\};\{(C,C);(C,S);(S,S)\}\cdots$ $\left.\cdots; \{(C,C);(S,C);(S,S)\}; \{(C,S);(S,C);(S,S)\}; \Omega_{2m}\right\}$

Cada elemento de $\mathcal{A}_{2m}$ es un evento de $\Omega_{2m}$ . A continuación se nombran algunos de ellos:

$\emptyset$ «No se tiene ningún resultado» (es el evento imposible).
$\{(C,C)\}$ «Cae cara dos veces seguidas».
$\{(C,S)\}$ «Primero sale cara, y luego sello».
$\vdots$
$\{(C,C);(C,S)\}$ «El primero es cara, el segundo cualquier cosa».
$\{(C,C);(S,C)\}$ «El primero es cualquier cosa, el segundo es cara».
$\{(C,C);(S,S)\}$ «Ambos lanzamientos dan el mismo resultado».
$\vdots$
$\{(C,C);(C,S);(S,S)\}$ «Si el primero es sello, el segundo también es sello, en caso contrario el segundo es cualquier cosa».
$\{(C,C);(S,C);(S,S)\}$ «Si el primero es cara, el segundo también es cara, en caso contrario el segundo es cualquier cosa».
$\vdots$
$\Omega_{2m}$ «Se obtiene cualquier resultado posible» (evento seguro).

La sigma-álgebras en casos continuos

EJEMPLO 3

Para el tiempo de vida (medido en horas) de un aparáto electrónico que podría estropearse en cualquier momento, la σ-álgebra

\Sigma_e = (\Omega_e, \mathcal{A}_e)

estará dada por

$\Omega_e = [0, \infty[$
$\mathcal{A}_e = \{I \; | \; I \subseteq \Omega_e \}$

De este modo, los intérvalos $I_t = ]0,t[\in\mathcal{A}_e$ se pueden interpretar como «el aparato electrónico funciona correctamente durante un intérvalo de $t$ horas seguidas hasta que se echa a perder.

La sigma-álgebra de probabilidades asociada a un espacio muestral continuo también se conoce como σ-álgebra de Borel y sus eventos se conocen como borelianos.

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¿Qué es una sigma-álgebra? Definiciones y Ejemplos

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Definición de una Sigma-Álgebra

La sigma-álgebra en los lanzamientos de monedas

La sigma-álgebras en casos continuos

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