Theorema Weierstrassii de valoribvs extremis

Svmmarivm

Haec lectio transitvm a pvnctvali ad globale aperit. Continvitas in pvncto fvnctionem solvm prope illvd pvnctvm moderatvr; theorema Weierstrassii affirmat fvnctionem, si in omnibvs pvnctis intervalli clavsi et circvmscripti continva est, in toto intervallo circvmscriptam esse et in eo valorem maximvm et valorem minimvm attingere. Vtraqve assertio per axioma completvdinis demonstratvr, ope svpremi, sicvt theorema Bolzani: circvmscriptio, per svpremvm pvnctorvm vsqve ad qvae fvnctio circvmscripta est et per circvmscriptionem localem ex lectione de limite et continvitate; exsistentia maximi, per svpremvm valorvm et fvnctionem avxiliarem qvae continva nec circvmscripta esset, si illvd svpremvm non attingeretvr. Lectio exemplis contrariis ostendit nvllam hypothesim tolli posse, dedvcit imaginem intervalli clavsi et circvmscripti alivd intervallvm eivsdem generis esse et, si fvnctio in terminis evndem valorem habet, vnvm ex extremis eivs in interiore attingi, et theorema ad fvnctiones positivas, periodicas et in tota recta definitas adhibet.

Proposita discendi

Svpremvm valorvm fvnctionis a valore eivs maximo distingvere, et qvantificatoribvs exprimere fvnctionem in copia maximvm vel minimvm svvm attingere.
Per axioma completvdinis demonstrare fvnctionem in intervallo clavso et circvmscripto continvam circvmscriptam esse et maximvm minimvmqve svvm attingere.
Exemplis contrariis ostendere theorema deficere, si intervallvm clavsvm non est, si circvmscriptvm non est vel si fvnctio continva non est, et agnoscere hypotheses eivs svfficientes, non necessarias esse.
Theoremate vti, vna cvm theoremate valoris intermedii et limitibvs ad infinitvm, ad imaginem intervalli clavsi et circvmscripti inveniendam et ad ostendendvm fvnctionem extrema sva attingere in dominiis qvae intervalla clavsa et circvmscripta non svnt.

Maximvm, minimvm et svpremvm fvnctionis

Dvae partes svperiores fvnctiones in pvncto investigavervnt: limes, continvitas et derivata describvnt qvid prope $a$ fiat. Mvltae qvaestiones, contra, ad totam copiam pertinent: qvis sit valor maximvs qvem fvnctio in intervallo capit, si qvis exstat, avt in qvo pvncto attingatvr. Fvnctio $x$ in $\ioo{0}{1}$ nvllvm valorem habet omnibvs ceteris maiorem: pro qvoqve $x$ intervalli, nvmervs $\frac{x + 1}{2}$ qvoqve in eo est, et maior est. Valores eivs ad $1$ accedvnt neqve evm attingvnt. Convenit igitvr dvas notiones separare: minimvm marginem svperiorem valorvm, qvi exstat simvl ac valores circvmscripti svnt, et valorem maximvm, qvi valor fvnctionis est.

DefinitioFvnctio circvmscripta; maximvm et minimvm fvnctionis in copia

Sint $f$ fvnctio in copia $A$ definita et $S$ svbcopia non vacva copiae $A$ . Dicitvr $f$ in $S$ svpra circvmscripta esse, si exstat nvmervs $K$ talis vt $f(x) \leq K$ pro omni $x$ ex $S$ ; infra circvmscripta, si exstat $K$ talis vt $f(x) \geq K$ pro omni $x$ ex $S$ ; et circvmscripta, si vtroqve modo circvmscripta est, id est, si exstat $K$ talis vt $\abs{f(x)} \leq K$ pro omni $x$ ex $S$ . Dicitvr $f$ maximvm svvm attingere in $S$ in pvncto $x_0$ ex $S$ , si valor $f(x_0)$ a nvllo alio valore fvnctionis $f$ in $S$ svperatvr, et minimvm svvm attingere in $x_0$ , si in $S$ nvllvs valor minor est:

(\forall x \in S)\left(f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\forall x \in S)\left(f(x_0) \leq f(x)\right)

Nvmervs $f(x_0)$ est valor maximvs (vel valor minimvs) fvnctionis $f$ in $S$ , et scribitvr $\max_{x \in S} f(x)$ (vel $\min_{x \in S} f(x)$ ); pvnctvm $x_0$ est pvnctvm maximi (vel minimi).

Valor maximvs, si exstat, vnicvs est, qvia dvo valores maximi vterqve altero maior avt aeqvalis essent; pvnctvm maximi vnicvm esse non oportet: cosinvs maximvm svvm $1$ in $\icc{0}{4\pi}$ in tribvs pvnctis attingit, $0$ , $2\pi$ et $4\pi$ . Lectio de maximis et minimis haec extrema absolvta vocabit, vt a localibvs distingvantvr, qvae $f(x_0)$ solvm cvm valoribvs vicinis comparant.

Si $f$ in $S$ svpra circvmscripta est, copia valorvm eivs, $f(S)$ , vacva non est et svpra circvmscripta est; per axioma completvdinis, in lectione de recta reali commemoratvm, svpremvm habet, qvod $\sup_{x \in S} f(x)$ scribitvr. Relatio inter dvas notiones simplex est: $f$ maximvm svvm in $S$ attingit si et solvm si svpremvm valorvm eivs vnvs ex iis est, et tvm ambo congrvvnt. Etenim, si $f(x_0)$ valor maximvs est, margo svperior copiae $f(S)$ est qvi ad $f(S)$ pertinet, et nvllvs nvmervs minor margo svperior esse potest; vicissim, si svpremvm valor $f(x_0)$ est, nvllvs valor id svperat. Fvnctio $x$ in $\ioo{0}{1}$ circvmscripta est, svpremvm eivs est $1$ neqve id attingit; infimvm eivs est $0$ neqve id qvidem attingit. Theorema Weierstrassii condiciones dat svb qvibvs hoc non accidit.