Lingva: synthesis et provocationes

Svmmarivm

Haec lectio vnitatem clavdit qvae lingvae logicae propositionalis dedicata est. Catenam dedvctivam restitvit qvae a discrimine inter validitatem et veritatem, et ab analysi paradoxorvm, ad legibilitatem vnicam formvlarvm et ad formalizationem envntiatorvm et argvmentationvm pertinet, et in qvoqve anvlo indicat qvo principio vtatvr et in qva lectione demonstretvr; qvae consecvta svnt ad rationem cvrsvs refert et explicat cvr lingva iam exstrvcta qvaestionem vnitatis seqventis moveat, qvae dedvctioni dedicata est. In probatione finali artes probationis initialis repetit, et sex provocationibvs finitvr, difficilioribvs qvam problemata lectionvm, qvae instrvmenta plvrivm lectionvm conivngere postvlant.

Proposita discendi

Ordinem logicvm effectvvm vnitatis restitvere, indicando principivm cvi qvisqve innititvr et lectionem in qva demonstratvr.
Explicare qvomodo principivm clavsvrae, partitio in verba, lemma ponderis et legibilitas vnica inter se nectantvr, et cvr ab hac vltima definitiones recvrsivae et comparatio formalizationvm pendeant.
Distingvere qvae vnitas demonstravit ab iis qvae vt hypotheses admisit (bivalentia, schema veritatis, principivm indvctionis et lectio negationis conivnctae) et ab iis qvae vnitatibvs seqventibvs reliqvit.
Problemata solvere qvae lemma diagonale, nvmerationem catenarvm, indvctionem in formvlis, argvmentvm ponderis et explicationem abbreviationvm conivngvnt.

Qvae vnitas consecvta est

Vnitas sibi proposverat ex alphabeto dvorvm signorvm lingvam exstrvere in qva qvaeqve formvla vno tantvm modo legatvr, proprietates eivs lingvae accvrate demonstrare et pontem inter eam et sermonem qvo ratiocinamvr iacere. Propositvm pavcis exceptionibvs impletvm est, qvarvm qvaeqve svo loco declarata est: bivalentia et schema veritatis, qvae prima lectio non vt veritates sed vt hypotheses explicitas admisit, vt inspiceret qvid fiat cvm simvl svstinentvr; principivm indvctionis in nvmeris natvralibvs, qvod vt qvintvm axioma Peani admittitvr; lectio informalis negationis conivnctae, qvae statvitvr et qvam vnitas de semantica in definitionem vertet; et qvae ex theoria classivm necessaria svnt (pertinentia, inclvsio et vnio), qvae vbi opvs erat tradita svnt. His exceptionibvs factis, iter confectvm vt vna catena dedvctiva qvattvor segmentis legi potest.

Ratiocinari et de lingva loqvi

Lectio qvae qvid sit logica mathematica qvaerit obiectvm cvrsvs definivit: non veritatem envntiatorvm, qvae ad singvlas scientias pertinet, sed eivs transmissionem. Argvmentatio valida est cvm forma eivs nvllam instantiam admittit cvm praemissis veris et conclvsione falsa, et ex hac definitione dedvctvm est id solvm qvod validitas praestat: si praemissae verae svnt, conclvsio qvoqve vera est; vnde argvmentatio valida cvm conclvsione falsa aliqvam praemissam falsam habet, et forma tvm demvm invalida est cvm exemplvm contrarivm habet. Idem effectvs analysin paradoxorvm in rationem certam vertit: si gradvs ratiocinationis qvae in contradictionem desinit validi svnt, aliqva hypothesis falsa est, et paradoxon solvere est invenire qvae. Sic tractatvs est mendax, in qvo bivalentia et schema veritatis simvl svstineri non possvnt pro sententia qvae se falsam esse declarat, et sic tractata svnt paradoxon Berrianvm et adiectivvm «heterologicvm». Ex tonsore lemma generale extractvm est, lemma diagonale, qvod demonstrat tonsorem non exstare et principivm comprehensionis sine restrictione contradictorivm esse. Lectio postremo discrimen statvit inter lingvam obiecti et metalingvam, et inter vsvm expressionis et eivs mentionem, qvod omnia qvae seqvvntvr regit: effectvs vnitatis de formvlis non svnt formvlae, sed metatheoremata.

Lingva circvlorvm et discorvm

Lectio de lingva logicae propositionalis classes et catenas introdvxit, catenas cvivsqve longitvdinis nvmeravit (svnt $2^{n}$ longitvdinis $n$ , et $2^{N + 1} - 2$ longitvdinvm ab $1$ ad $N$ ) et lingvam fvndamentalem exstrvxit: variabiles $v_n = \sigO^{n}\sigI$ et vnicam regvlam, qvae ex dvabvs formvlis $\varphi$ et $\psi$ format $\sigI\varphi\psi$ . Clavsvla «nihil alivd formvla est» accvrata facta est formvlis definitis vt catenis qvae ad omnes classes clavsas pertinent, et ex hac definitione dedvctvm est principivm clavsvrae, qvo demonstratvm est omnem formvlam variabilem esse vel esse $\sigI\varphi\psi$ , nec vtrvmqve, omnem formvlam in discvm desinere et nvmervm imparem discorvm continere. Animadversio variabiles et discvm solitarivm codicem praefixvm efficere partitionem vnicam in verba dedit, et cvm ea notionem ponderis. Lectio etiam metalingvam exstrvxit qva deinceps laboratvr: metavariabiles, negationem conivnctam scriptam $(\varphi \downarrow \psi)$ et sex abbreviationes statvtas, qvarvm qvaeqve semel tantvm ex prioribvs definita est, ita vt omnis expressio abbreviata vnam tantvm catenam designet.

Indvctio et legibilitas vnica

Lectio de indvctione in nvmeris natvralibvs et in formvlis nvmerationes ivstificavit qvas lectio praecedens verbis «et sic deinceps» conclvserat, indvctionem fortem ex simplici dedvxit et, hac ad longitvdinem adhibita, indvctionem strvctvralem obtinvit, qvae eadem indvctio in nvmeris natvralibvs ad formvlas translata esse invenitvr. Hoc instrvmento lemma ponderis demonstravit: omnis formvla pendit $+1$ , et omne praefixvm per verba proprivm et non vacvvm svmmvm pendit $0$ . Ex hoc seqvvntvr, hoc ordine, nvllam formvlam esse praefixvm proprivm alterivs et omnem formvlam compositam vno tantvm modo legi. Legibilitas vnica est anvlvs ex qvo reliqva vnitas pendet: rationem decernendi ivstificat qvam lectio de lingva vt debitvm qvod solvitvr descripserat, et definitiones per recvrsionem legitimas facit (longitvdinem, nvmervm variabilivm et discorvm connectentivm, svbformvlas, profvnditatem et svbstitvtionem), qvae sine ea formvlae dvos valores diversos tribvere possent.

A lingva Latina ad formvlas

Lectio de formalizatione lingvae natvralis pontem ad sermonem iecit. Conventionem statvit qva litterae $p$ , $q$ , $r$ , $s$ et $t$ nomina svnt qvinqve variabilivm certarvm, postvlavit vt omnis formalizatio lexicon svvm declaret et ex sola lectione statvta negationis conivnctae lectionem cvivsqve abbreviationis dedvxit. Per legibilitatem vnicam demonstravit dvas diversas partivm compositiones eorvndem connectivorvm formvlas diversas esse, et per definitionem recvrsivam longitvdinis compvtavit qvanta sit longitvdo abbreviationvm explicatarvm, qvod criterivm celere praebet ad formalizationes distingvendas. Ostendit implicationem materialem falsam esse tantvm cvm antecedens vervm est et conseqvens falsvm, et hanc esse vnicam lectionem, qvae a sola veritate partivm pendeat, qvae theoremata condicionalia mathematicae vera reddat; indicavit qvid formalizatio amittat (qvantificatores, tempvs, cavsam, modalitatem) et finem fecit argvmentationibvs integris formalizandis vt classi praemissarvm $\Gamma$ et conclvsioni.

Figvra seqvens qvattvor segmenta in vnam catenam colligit. Qvisqve nodvs colvmnae definitio vel effectvs est, nvmeratvs secvndvm ordinem logicvm et arcv cvm anvlis prioribvs qvibvs eivs demonstratio vtitvr conivnctvs; circvm flvitant fvlcra, id est principia ad qvae catena itervm atqve itervm recvrrit, qvodqve linea solida cvm anvlis qvi ei innitvntvr et pvnctata cvm anvlo vbi statvitvr conivnctvm, praeter ea qvae sine demonstratione admittvntvr, qvae vt armillae pingvntvr. Fvlcro pvlsato omnes anvli qvi eo vtvntvr illvstrantvr, et qvisqve anvlvs ad lectionem refert in qva demonstratvr. Animadvertendvm est rationem decernendi, qvamqvam in lectione de lingva exponitvr, locvm svvm logicvm post legibilitatem vnicam tenere, cvi innititvr.

Fvlcra catenae

ABivalentia. Omnis propositio vera avt falsa est, nec vtrvmqve; falsam esse idem valet ac non veram esse. Vt hypothesis explicita in analysi paradoxorvm admittitvr. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
BSchema veritatis. Sententia vera est si et solvm si qvod dicit ita se habet. Vt hypothesis explicita admittitvr; solvtio Tarski id servat, sed tantvm pro sententiis lingvae qvae svvm ipsivs praedicatvm veritatis non continet. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
CPrincipivm indvctionis. Si proprietas valet pro $1$ et, qvotiens valet pro nvmero natvrali $k$ , valet pro $k + 1$ , tvm valet pro omnibvs nvmeris natvralibvs. Est qvintvm axioma Peani, et admittitvr. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
DLemma diagonale. Nvllvm obiectvm $b$ collectionis implet $R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x)$ pro omni $x$ collectionis. Constitvitvr in: 3. Lemma diagonale.
EPrincipivm clavsvrae. Proprietas qvam omnes variabiles habent et qvae a $\varphi$ et $\psi$ ad $\sigI\varphi\psi$ transit omnibvs formvlis competit. Constitvitvr in: 5. Principivm clavsvrae.
FIndvctio strvctvralis. Indvctio secvndvm complexitatem formvlarvm, ex indvctione forti secvndvm longitvdinem dedvcta: casvs basis eivs svnt variabiles, et gradvs indvctivvs, vnica regvla formationis. Constitvitvr in: 9. Indvctio strvctvralis.
GLegibilitas vnica. Si $\sigI\varphi\psi = \sigI\varphi'\psi'$ , qvattvor catenis formvlis existentibvs, tvm $\varphi = \varphi'$ et $\psi = \psi'$ . Constitvitvr in: 11. Legibilitas vnica.
HLectio negationis conivnctae. Formvla $(\varphi \downarrow \psi)$ vera est eo ipso casv qvo $\varphi$ et $\psi$ ambae falsae svnt. Est vnica lectio qvae statvitvr; ceterae ex ea dedvcvntvr, et vnitas de semantica eam accvratam reddet. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.

Segmentvm 1 Ratiocinari et de lingva loqvi
- Validitatem a veritate distingvere et formam invalidam exemplo contrario refvtare.
- Ambigvitates lingvae natvralis agnoscere et lectiones envntiati separare.
- Lingvam obiecti a metalingva distingvere, et vsvm expressionis a mentione eivs.
- Paradoxon analysi svbicere, hypotheses eivs secernendo et decernendo qvae deserenda sit.
1. Qvid validitas praestet. Si argvmentatio valida est et omnes eivs praemissae verae svnt, conclvsio eivs vera est; vnde argvmentatio valida cvm conclvsione falsa aliqvam praemissam falsam habet, et forma tvm demvm invalida est cvm exemplvm contrarivm habet.
  Demonstratvr in: Qvid est logica mathematica.
2. Paradoxon mendacis. Ad sententiam $m$ , «sententia $m$ falsa est», adhibitae, bivalentia et schema veritatis dant $V(m) \Leftrightarrow \neg V(m)$ ; pro lingva qvae $m$ continet, altera hypothesivm deserenda est, et exitvs Tarski est vt nvlla lingva svvm ipsivs praedicatvm veritatis contineat, ita vt $m$ formari non possit.
  Vtitvr: 1. Qvid validitas praestet. Nititvr: A (Bivalentia), B (Schema veritatis). Demonstratvr in: Qvid est logica mathematica.
3. Lemma diagonale. Si $R$ est relatio inter obiecta collectionis $D$ , ita vt qvodqve $R(x, y)$ vervm avt falsvm sit, nvllvm $b$ ex $D$ implet $R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x)$ pro omni $x$ ex $D$ .
  Nititvr: A (Bivalentia). Demonstratvr in: Qvid est logica mathematica.
4. Tonsor et Rvssell. Nvllvs est vir vici qvi eos ipsos viros vici radat qvi se ipsi non radvnt; et principivm comprehensionis sine restrictione contradictorivm est, qvia exsistentiam classis $Z = \{ x : x \notin x \}$ affirmat.
  Nititvr: D (Lemma diagonale). Demonstratvr in: Qvid est logica mathematica.
Segmentvm 2 Lingva circvlorvm et discorvm
- Classes catenarvm describere et catenas cvivsqve longitvdinis nvmerare.
- Formvlas vt minimam classem clavsam definire et inde principivm clavsvrae dedvcere.
- Proprietates omnivm formvlarvm demonstrare et eis vti ad catenas reiciendas.
- Catenam in verba partiri et abbreviationes vsqve ad lingvam fvndamentalem explicare.
1. Principivm clavsvrae. Classis $\mathcal{F}$ formvlarvm est minima classis catenarvm qvae variabiles $v_n = \sigO^{n}\sigI$ continet et qvae, cvm $\varphi$ et $\psi$ , continet $\sigI\varphi\psi$ ; itaqve proprietas qvam variabiles habent et qvae a $\varphi$ et $\psi$ ad $\sigI\varphi\psi$ transit omnibvs formvlis competit.
  Demonstratvr in: Lingva logicae propositionalis.
2. Forma formvlarvm. Omnis formvla variabilis est vel est $\sigI\varphi\psi$ cvm $\varphi$ et $\psi$ formvlis, nec vtrvmqve: omnis variabilis a $\sigO$ incipit, et omnis formvla composita a $\sigI$ .
  Nititvr: E (Principivm clavsvrae). Demonstratvr in: Lingva logicae propositionalis.
3. Vltimvm signvm et nvmervs discorvm. Omnis formvla in discvm desinit et nvmervm imparem discorvm continet; vnde nec concatenatio dvarvm formvlarvm nec catena $\sigI\varphi$ formvlae svnt.
  Nititvr: E (Principivm clavsvrae). Demonstratvr in: Lingva logicae propositionalis.
4. Partitio in verba. Omnis catena qvae in discvm desinit vno tantvm modo in verba partitvr, id est in variabiles $\sigO^{n}\sigI$ et discos solitarios, qvia qvodqve verbvm in vnicvm svvm discvm desinit et nvllvm est praefixvm proprivm alterivs.
  Demonstratvr in: Lingva logicae propositionalis.
Segmentvm 3 Indvctio et legibilitas vnica
- Per indvctionem simplicem et fortem demonstrare, et ex eis indvctionem secvndvm complexitatem formvlarvm dedvcere.
- Lemma ponderis demonstrare et legibilitatem vnicam dedvcere.
- Decernere vtrvm catena formvla sit et eivs formationem restitvere.
- Fvnctiones in formvlis per recvrsionem definire et relationes inter eas demonstrare.
1. Indvctio strvctvralis. Indvctio fortis ex simplici dedvcitvr; ad longitvdinem adhibita, principivm indvctionis secvndvm complexitatem dat: si variabiles proprietatem habent et haec a $\varphi$ et $\psi$ ad $\sigI\varphi\psi$ transit, omnes formvlae eam habent.
  Vtitvr: 6. Forma formvlarvm. Nititvr: C (Principivm indvctionis). Demonstratvr in: Indvctio in nvmeris natvralibvs et in formvlis.
2. Lemma ponderis. Si qvaeqve occvrrentia variabilis pendit $+1$ et qvisqve discvs connectens $-1$ , omnis formvla pendit $+1$ et omne praefixvm per verba proprivm et non vacvvm formvlae svmmvm pendit $0$ ; praesertim omnis formvla vna occvrrentia variabilivm plvs habet qvam discos connectentes.
  Vtitvr: 8. Partitio in verba. Nititvr: F (Indvctio strvctvralis). Demonstratvr in: Indvctio in nvmeris natvralibvs et in formvlis.
3. Legibilitas vnica. Nvlla formvla est praefixvm proprivm alterivs; vnde, si $\sigI\varphi\psi = \sigI\varphi'\psi'$ qvattvor catenis formvlis existentibvs, tvm $\varphi = \varphi'$ et $\psi = \psi'$ .
  Vtitvr: 7. Vltimvm signvm et nvmervs discorvm, 8. Partitio in verba, 10. Lemma ponderis. Demonstratvr in: Indvctio in nvmeris natvralibvs et in formvlis.
4. Ratio decernendi. Catena qvae in $\sigO$ desinit formvla non est; si in $\sigI$ desinit, in verba partitvr. Si primvm verbvm variabilis est, catena tvm demvm formvla est cvm ea variabilis vnicvm eivs verbvm est. Si discvs est, post evm debitvm dvcitvr: si nvmqvam evanescit, catena formvla non est; si evanescit, sectio inter $\varphi$ et $\psi$ est vbi primvm evanescit, et qvaeqve pars eodem modo examinatvr, cvm catena vacva formvla non sit.
  Vtitvr: 6. Forma formvlarvm, 7. Vltimvm signvm et nvmervs discorvm, 8. Partitio in verba. Nititvr: G (Legibilitas vnica). Demonstratvr in: Lingva logicae propositionalis.
5. Definitio per recvrsionem. Datis valore pro qvaqve variabili et regvla qvae valorem formvlae $\sigI\varphi\psi$ ex $\varphi$ , ex $\psi$ et ex earvm valoribvs compvtat, exstat vna prorsvs fvnctio in formvlis qvae ea servat; sic definivntvr longitvdo, svbformvlae, profvnditas et svbstitvtio, qvae semper formvlas prodvcit.
  Vtitvr: 6. Forma formvlarvm. Nititvr: C (Principivm indvctionis), F (Indvctio strvctvralis), G (Legibilitas vnica). Demonstratvr in: Indvctio in nvmeris natvralibvs et in formvlis.
Segmentvm 4 A lingva Latina ad formvlas
- Envntiata cvm lexico explicito formalizare, ambitvm cvivsqve connectivi decernendo.
- Abbreviationes explicare vt decernatvr vtrvm dvae formalizationes eadem formvla sint.
- Implicationem materialem ab illo «si… tvm» sermonis distingvere et indicare qvid formalizatio amittat.
- Argvmentationes integras vt classem praemissarvm et conclvsionem formalizare.
1. Longitvdo abbreviationvm. Si $L(\varphi) = a$ et $L(\psi) = b$ , catenae formvlarvm $\neg\varphi$ , $(\varphi \vee \psi)$ , $(\varphi \rightarrow \psi)$ et $(\varphi \wedge \psi)$ longitvdines habent $2a + 1$ , $2a + 2b + 3$ , $4a + 2b + 5$ et $8a + 8b + 15$ ; dvae formalizationes diversarvm longitvdinvm formvlae diversae svnt.
  Vtitvr: 13. Definitio per recvrsionem. Demonstratvr in: Formalizatio lingvae natvralis.
2. Ambitvs et formvlae diversae. Compositiones $((p \wedge q) \vee r)$ et $(p \wedge (q \vee r))$ catenae diversae svnt: si congrverent, legibilitas vnica, bis adhibita, variabilem $r$ cogeret congrvere cvm formvla composita $(p \wedge q)$ .
  Vtitvr: 6. Forma formvlarvm. Nititvr: G (Legibilitas vnica). Demonstratvr in: Formalizatio lingvae natvralis.
3. Implicatio materialis. Implicatio $(\varphi \rightarrow \psi)$ , qvae $(\neg\varphi \vee \psi)$ abbreviat, falsa est tantvm cvm $\varphi$ vera est et $\psi$ falsa; est vnica lectio, a sola veritate partivm pendens, qvae theoremata condicionalia mathematicae vera reddit.
  Nititvr: H (Lectio negationis conivnctae). Demonstratvr in: Formalizatio lingvae natvralis.

Ad dedvctionem. Catena ibi consistit vbi lingva exstrvcta est et argvmentationes vt classis praemissarvm et conclvsio formalizatae svnt. Restat vt decernatvr qvando formvla ex aliis seqvatvr: primvm signis per regvlas tractandis, in vnitate seqventi, deinde earvm veritate considerata.