Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Aeqvationes et inaeqvationes primi gradvs et systemata linearia

Svmmarivm

Haec lectio aeqvationes et inaeqvationes primi gradvs et systemata aeqvationvm linearivm tractat. Demonstrat qvae operationes aeqvationem in aliam isdem solvtionibvs praeditam transforment, et explicat cvr mvltiplicatio per expressionem qvae evanescere potest, vel elevatio ad qvadratvm, solvtiones addere vel tollere possit. Aeqvationem ax+b=0ax + b = 0 plene disceptat, etiam cvm coefficientes eivs a parametro pendent, aeqvationes cvm fractionibvs et inaeqvationes lineares, simplices et simvltaneas, solvit, et copias solvtionvm earvm vt intervalla exprimit. Postremo systemata dvarvm aeqvationvm cvm dvabvs incognitis per svbstitvtionem, redvctionem et comparationem solvit, regvlam Crameri demonstrat, systemata secvndvm determinans svvm distribvit, systema trivm aeqvationvm per redvctionem solvit, et problemata de mixtvris, aetatibvs et velocitatibvs in systemata convertit.

Proposita discendi

  1. Ivstificare qvae operationes copiam solvtionvm aeqvationis vel inaeqvationis servent, et eas agnoscere qvae solvtiones addere vel tollere possint.
  2. Aeqvationes primi gradvs, cvm parametris vel cvm fractionibvs, et inaeqvationes lineares simplices et simvltaneas disceptare et solvere, solvtiones earvm vt intervalla scribendo.
  3. Systemata dvarvm aeqvationvm linearivm per svbstitvtionem, redvctionem et comparationem solvere, et ea secvndvm determinans svvm per regvlam Crameri distribvere.
  4. Systemata linearia qvae problemata repraesentant constitvere et solvere, casvs infinitarvm solvtionvm vel nvllivs interpretando.

Aeqvationes et aeqvationes aeqvivalentes

Aeqvatio in incognita xx est aeqvalitas A=BA = B inter dvas expressiones qvae a xx pendent. Eivs solvtiones svnt nvmeri reales x0x_0 pro qvibvs ambae expressiones definitae svnt et evndem valorem capivnt; copia qvam efficivnt est copia solvtionvm aeqvationis. Aeqvationem solvere est eam copiam describere, qvae vnvm elementvm, plvra, infinita vel nvllvm habere potest. Exempli gratia, copia solvtionvm aeqvationis 2x−6=02x - 6 = 0 est {3}\{3\}, aeqvationis x+1=1+xx + 1 = 1 + x tota recta realis, et aeqvationis x+1=xx + 1 = x vacva.

Dvae aeqvationes svnt aeqvivalentes cvm eandem copiam solvtionvm habent. Methodvs generalis ad aeqvationem solvendam in eo consistit vt ea per seriem aeqvationvm aeqvivalentivm svbstitvatvr, qvarvm qvaeqve simplicior est qvam praecedens, donec ad eam perveniatvr cvivs copia solvtionvm directe legitvr, vt x=3x = 3. Atqvi qvaeqve transformatio hvivs seriei solvtiones servare debet, nvllam addens neqve tollens; inde seqvitvr primvm esse scire qvae operationes id praestent.

Operationes qvae solvtiones servant

Dvae operationes fvndamentales svnt eandem expressionem vtriqve membro addere et ea per evndem nvmervm non nvllvm mvltiplicare. Svbtrahere et dividere svnt casvs particvlares, qvia svbtrahere CC est addere −C-C, et dividere per kk est mvltiplicare per k−1k^{-1}, vt in lectione de generibvs nvmerorvm visvm est.

TheoremaOperationes qvae solvtiones servant

Sint AA, BB et CC expressiones in incognita xx, in eadem copia nvmerorvm realivm definitae, et sit kk nvmervs realis non nvllvs. Tvm aeqvationes A=BA = B, A+C=B+CA + C = B + C et kA=kBkA = kB eandem copiam solvtionvm habent. Generalivs, si expressio CC in nvllo pvncto eivs copiae evanescit, A=BA = B et CA=CBCA = CB eandem copiam solvtionvm habent. Pro vnaqvaqve operatione dvae inclvsiones ostendendae svnt: omnis solvtio aeqvationis originalis est solvtio transformatae, et vicissim. Figvra aeqvationem vt libram in aeqvilibrio repraesentat, qvod servatvr si idem in vtraqve lance fit.

Demonstratio

  1. A(x0)=B(x0)→A(x0)+C(x0)=B(x0)+C(x0)\dato{s}{A(x_0) = B(x_0)} \rightarrow A(x_0) + \resaltar{C(x_0)} = B(x_0) + \resaltar{C(x_0)}

    Sit x0x_0 solvtio aeqvationis A=BA = B: nvmeri A(x0)A(x_0) et B(x0)B(x_0) idem svnt, et eodem nvmero eis addito idem effectvs obtinetvr. Omnis solvtio aeqvationis A=BA = B est solvtio aeqvationis A+C=B+CA + C = B + C.

  2. (A(x0)+C(x0))+(−C(x0))=A(x0)+0=A(x0)\left( A(x_0) + C(x_0) \right) + \resaltar{(-C(x_0))} = A(x_0) + 0 = \resaltar{A(x_0)}

    Vicissim, si x0x_0 aeqvationi A+C=B+CA + C = B + C satisfacit, vtriqve membro oppositvm nvmeri C(x0)C(x_0) addimvs. Per associativitatem et definitionem oppositi, in vtroqve membro solvm primvm addendvm manet, vnde A(x0)=B(x0)A(x_0) = B(x_0): dvae copiae solvtionvm congrvvnt.

  3. A(x0)=B(x0)→kA(x0)=kB(x0)A(x_0) = B(x_0) \rightarrow \resaltar{k} A(x_0) = \resaltar{k} B(x_0)

    Eodem modo, si x0x_0 est solvtio aeqvationis A=BA = B, eodem nvmero per kk mvltiplicato idem effectvs obtinetvr.

  4. k−1(kA(x0))=(k−1k)A(x0)=A(x0)\resaltar{k^{-1}} \left( k A(x_0) \right) = \left( k^{-1} k \right) A(x_0) = \resaltar{A(x_0)}

    Vicissim, cvm k≠0k \neq 0, inversvm eivs k−1k^{-1} exstat; vtroqve membro aeqvalitatis kA(x0)=kB(x0)kA(x_0) = kB(x_0) per id mvltiplicato, aeqvalitas originalis recvperatvr. Si CC in nvllo pvncto evanescit, idem argvmentvm in vnoqvoqve x0x_0 cvm nvmero k=C(x0)k = C(x_0) valet.

  5. 0⋅A(x0)=0=0⋅B(x0)\resaltar{0} \cdot A(x_0) = 0 = \resaltar{0} \cdot B(x_0)

    Hypothesis k≠0k \neq 0 necessaria est: mvltiplicando per 00, ambo membra valent 00 pro omni xx, et aeqvationi transformatae qvilibet nvmervs satisfacit, sive solvtio originalis est sive non.

Operationes qvae solvtiones addere vel tollere possvnt

Si CC in aliqvo pvncto evanescit, aeqvivalentia deficere potest. Mvltiplicando vtrvmqve membrvm per expressionem qvae in x1x_1 evanescit, nvmervs x1x_1 fit solvtio, etiamsi non erat; et dividendo per eam solvtiones amittvntvr in qvibvs evanescit. Exempli gratia, x=2x = 2 vnam solvtionem habet, sed mvltiplicando per x−3x - 3 etiam 33 apparet; et aeqvatio x2=3xx^2 = 3x solvtiones 00 et 33 habet, qvia x2−3x=x(x−3)x^2 - 3x = x(x - 3), sed dividendo per xx manet x=3x = 3 et 00 amittitvr:

x(x−3)=2(x−3)↔x=2∨x=3,x2=3x↔x=0∨x=3x(x - 3) = 2(x - 3) \leftrightarrow x = 2 \vee x = 3, \qquad x^2 = 3x \leftrightarrow x = 0 \vee x = 3

Neqve elevatio vtrivsqve membri ad qvadratvm est operatio reversibilis, qvia dvo nvmeri oppositi idem qvadratvm habent. Lemma seqvens definit qvae solvtiones apparere possint.

LemmaElevatio ad qvadratvm

Pro nvmeris realibvs AA et BB, valet A2=B2A^2 = B^2 si et solvm si A=BA = B vel A=−BA = -B. Itaqve, membris aeqvationis A=BA = B ad qvadratvm elevatis, omnes eivs solvtiones servantvr, sed solvtiones aeqvationis A=−BA = -B addi possvnt; si AA et BB valores negativos non capivnt, nvlla additvr. Demonstratio differentiam qvadratorvm in factores resolvit. Figvra parabolam y=t2y = t^2 et rectam horizontalem altitvdinis B2B^2 delineat, cvm B=2B = 2: nvmeri qvorvm qvadratvm est B2B^2 svnt abscissae dvorvm pvnctorvm intersectionis, BB et −B-B.

Demonstratio

  1. A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = \resaltar{(A - B)(A + B)}

    Per distribvtivitatem differentia qvadratorvm in factores resolvitvr; termini ABAB et −AB-AB se tollvnt.

  2. A2=B2↔(A−B)(A+B)=0↔A=B∨A=−B\dato{eq}{A^2 = B^2 \leftrightarrow (A - B)(A + B) = 0 \leftrightarrow A = B \vee \resaltar{A = -B}}

    Prodvctvm nihil est si et solvm si aliqvis factorvm eivs nihil est, vt in lectione de generibvs nvmerorvm demonstratvm est. Vnde nvmeri aeqvalis qvadrati avt aeqvales avt oppositi svnt.

  3. A2=B2↔(A=B)∨(A=−B)A^2 = B^2 \leftrightarrow \left( A = B \right) \vee \resaltar{\left( A = -B \right)}

    In vnoqvoqve valore incognitae xx adhibitvm, hoc dicit solvtiones aeqvationis ad qvadratvm elevatae esse solvtiones aeqvationis A=BA = B vna cvm solvtionibvs aeqvationis A=−BA = -B: nvlla amittitvr, sed solvtiones alterivs addi possvnt.

  4. A≥0≥−B=A→A=0=BA \geq 0 \geq -B = A \rightarrow \resaltar{A = 0 = B}

    Si AA et BB non negativi svnt et A=−BA = -B, nvmervs AA inter dvas qvantitates aeqvales iacet; vnde A=0=BA = 0 = B, et solvtio addita iam erat solvtio aeqvationis A=BA = B.

Aeqvationes cvm radicibvs, qvarvm leges in lectione de potentiis exponentis rationalis et radicalibvs tractatae svnt, elevando ad qvadratvm solvvntvr; per lemma, omnis solvtio aeqvationis obtentae in originali confirmanda est.

ExemplvmSolvtio qvae elevando ad qvadratvm apparet

Aeqvationem x+2=x\sqrt{x + 2} = x solvere. Figvra radicem, oppositam eivs et rectam y=xy = x ostendit: aeqvatio ad qvadratvm elevata intersectiones rectae cvm vtraqve colligit.

Demonstratio

  1. (x+2)2=x2→x+2=x2\resaltar{\left( \sqrt{x + 2} \right)^2} = x^2 \rightarrow \resaltar{x + 2} = x^2

    Radix definita est pro x≥−2x \geq -2. Vtrvmqve membrvm ad qvadratvm elevamvs; altervm membrvm negativvm esse potest, ita vt aeqvatio obtenta plvres solvtiones habere possit qvam originalis.

  2. x2−x−2=(x−2)(x+1)=0\resaltar{x^2 - x - 2} = \resaltar{(x - 2)(x + 1)} = 0

    Omnia in altervm membrvm transferimvs et in factores resolvimvs; prodvctvm (x−2)(x+1)(x - 2)(x + 1), evolvtvm, dat x2−x−2x^2 - x - 2.

  3. x=2∨x=−1\dato{c}{x = 2 \vee x = -1}

    Prodvctvm nihil est si et solvm si aliqvis factorvm eivs nihil est: dvo candidati svnt.

  4. 2+2=4=2\sqrt{\resaltar{2} + 2} = \sqrt{4} = \resaltar{2}

    Primvm in aeqvatione originali confirmamvs: solvtio est.

  5. −1+2=1≠−1\sqrt{\resaltar{-1} + 2} = 1 \neq \resaltar{-1}

    Alter non est: primvm membrvm valet 11 et altervm −1-1. Solvtio est aeqvationis −x+2=x-\sqrt{x + 2} = x, aeqvationis A=−BA = -B qvam qvadratvm addidit. Ergo copia solvtionvm est {2}\{2\}.