행렬로서의 복소수

증명

1. 1
   $$zw = (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi + b \resaltar{i^2} y = \dato{p}{\resaltar{(ax - by) + (bx + ay) i}}$$

   분배법칙으로 곱을 전개하고 $i^2$을 $-1$로 바꾼다.

2. 2
   $$\begin{pmatrix} \resaltar{ax - by} \\ \resaltar{bx + ay} \end{pmatrix} = \dato{m}{\begin{pmatrix} \resaltar{a} & \resaltar{-b} \\ \resaltar{b} & \resaltar{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$$

   점을 열벡터로 쓴다. $zw$의 좌표는 $x$와 $y$의 상수 계수 결합이다. 이것은 어떤 행렬과 $w$의 벡터의 곱이며, 따라서 변환은 일차변환이다.

3. 3
   $$z \cdot \resaltar{1} = \resaltar{a + bi}, \qquad z \cdot \resaltar{i} = \resaltar{-b + ai}$$

   행렬의 열은 $1$과 $i$의 상이다. 첫째 열은 $z$이고, 둘째 열은 $iz = -b + ai$, 곧 $z$를 4분의 1 회전한 것이다.

4. 4
   $$\abs{iz} = \abs{i} \abs{z} = \resaltar{\abs{z}}, \qquad \resaltar{z \cdot (1 + i)} = \resaltar{z + iz}$$

   꼭짓점이 $0$, $1$, $1 + i$, $i$인 단위정사각형은 꼭짓점이 $0$, $z$, $z + iz$, $iz$인 사각형으로 옮겨진다. 원점에서 나가는 두 변은 길이가 $\abs{z}$로 같고 서로 수직이다. 상은 한 변의 길이가 $\abs{z}$인 정사각형이며, 단위정사각형에 대하여 회전해 있다.