함수의 극한으로서의 도함수

요약

이 수업에서는 함수의 한 점에서의 미분계수를 극한으로 정의한다. 곧 할선의 기울기의 극한으로서 이것은 접선의 기울기이고, 평균속도의 극한으로서 이것은 순간속도이다. 정의가 의미를 갖는 점이 어디인지 밝히고, 한쪽 미분계수, 접선과 법선, 도함수, 라이프니츠 표기법을 도입하며, 미분계수가 세 가지 동치인 표현을 가짐을 증명한다. 평균변화율의 극한, 무시할 수 있는 오차를 갖는 직선에 의한 근사, 그리고 카라테오도리 분해이다. 마지막 표현으로부터 미분가능한 함수는 모두 연속임이 따른다. 절댓값과 세제곱근은 그 역이 거짓임을 보여 준다.

학습 목표

함수의 한 점에서의 미분계수를 평균변화율의 극한으로 정의하고, 이를 접선의 기울기와 순간속도로 해석한다.
한쪽 미분계수를 계산하고, 이를 이용해 함수가 한 점에서 미분가능한지 판정한다.
평균변화율, 일차근사, 카라테오도리의 특성화가 동치임을 증명한다.
한 점에서 미분가능한 함수는 그 점에서 연속임을 증명하고, 미분가능하지 않은 연속함수를 알아본다.

접선과 속도

포물선의 방정식에 관한 수업에서, 직선이 한 점에서 곡선에 접한다는 것은 그 점에서만 곡선과 만나고 곡선을 가로지르지 않는다는 뜻이었다. 이 생각은 원뿔곡선에는 충분하지만 임의의 곡선에는 충분하지 않다. 원점에서 곡선 $y = x^3$ 은 왼쪽에서는 수평인 축 아래에, 오른쪽에서는 그 위에 있다. 원점을 지나는 모든 직선은 이 곡선을 가로지르고, 직선 $y = mx$ (단, $m < 0$ )는 원점에서만 이 곡선과 만난다. 왜냐하면 등식 $x^3 = mx$ 는 $x = 0$ 또는 $x^2 = m$ 을 요구하기 때문이다. 조건을 만족하는 직선은 하나도 없지만, 그래도 눈으로 보면 수평인 축이야말로 원점 근처에서 곡선에 가장 잘 붙어 가는 직선이다. 따라서 곡선 전체의 모양이 아니라 점 근처에서 일어나는 일에만 의존하는 다른 정의가 필요하다.

이 생각은 오래되었다. 접선은 할선의 극한 위치이다. 함수 $f$ 와 그 그래프 위의 점 $(a, f(a))$ 를 생각하자. $h \neq 0$ 일 때, $(a, f(a))$ 와 $(a + h, f(a + h))$ 를 지나는 할선의 기울기는

\frac{f(a + h) - f(a)}{h}

$h$ 가 $0$ 에 가까워지면 두 번째 점은 첫 번째 점에 가까워지고, 기울기들이 극한을 가지면 $(a, f(a))$ 를 지나고 그 기울기를 갖는 직선이 접선의 후보이다.

예시포물선의 할선

$f(x) = x^2$ , $a = 1$ 로 두자. 점 $(1, 1)$ 을 지나는 몇 개의 할선의 기울기를 계산한 뒤 그 극한을 구한다. 그림은 각 할선과, 마지막으로 접선을 보여 준다.

증명

$\frac{f(2) - f(1)}{1} = \frac{4 - 1}{1} = \resaltar{3}$
$h = 1$ 일 때, 할선은 $(1, 1)$ 과 $(2, 4)$ 를 지난다.
$\frac{f\left(\frac{3}{2}\right) - f(1)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{4} - 1}{\frac{1}{2}} = \resaltar{\frac{5}{2}}$
$h = \frac{1}{2}$ 일 때, 두 번째 점은 $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ 이고 기울기는 작아진다.
$\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = \resaltar{2 + h}$
일반적으로, 양수든 음수든 모든 $h \neq 0$ 에 대해 기울기는 간단해진다. $h = \frac{1}{4}$ 일 때 그 값은 $\frac{9}{4}$ 이다.
$\lim_{h \to 0} (2 + h) = 2, \qquad y = 1 + 2(x - 1) = \resaltar{2x - 1}$
$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 기울기는 $2$ 에 가까워진다. $(1, 1)$ 을 지나고 기울기가 $2$ 인 직선이 접선이다. 이것은 포물선에 관한 수업의 접선 보조정리가 준 직선과 같으며, 이때 $x^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} \, y$ 이다.

같은 극한이 운동을 연구할 때도 나타난다. $s(t)$ 가 직선 위를 움직이는 점의 시각 $t$ 에서의 위치이면, 몫 $\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ 는 시각 $t_0$ 과 $t_0 + h$ 사이의 평균속도, 곧 변위를 걸린 시간으로 나눈 것이다. 시각 $t_0$ 에서의 속도, 곧 속도계가 보여 줄 속도는 $h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 평균속도의 극한이다. 예를 들어 $s(t) = t^2 - 4t$ 이면, $1$ 과 $1 + h$ 사이의 평균속도는 $\frac{(1 + h)^2 - 4(1 + h) + 3}{h} = h - 2$ 이고, 이는 $-2$ 에 가까워진다. 시각 $1$ 에서 점은 단위 시간당 두 단위 길이의 비율로 왼쪽으로 움직인다. 접선의 물음과 속도의 물음, 이 두 물음은 같은 극한에 이르며, 아래에서 정의하는 것이 바로 이 극한이다.

한 점에서의 미분계수

함수의 극한에 관한 수업에서처럼, 먼저 극한이 어디에서 의미를 갖는지 밝혀야 한다. 몫에는 값 $f(a)$ 가 필요하므로 $a$ 는 정의역에 속해야 한다. 그리고 $x$ 가 $a$ 에 가까워질 때의 극한은 $a$ 가 정의역의 집적점이기를 요구한다.

정의함수의 한 점에서의 미분계수

$f$ 를 실수의 집합 $A$ 에서 정의된 실함수라 하고, $a$ 를 $A$ 의 원소로서 $A$ 의 집적점인 것이라 하자. $f$ 의 $a$ 에서의 평균변화율은 함수 $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ 이며, 이는 $x$ ( $A$ 의 원소로서 $a$ 와 다른 것)에 대해 정의된다. $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하다는 것은, 평균변화율이 실수 극한 $L$ 을 $x$ 가 $a$ 에 가까워질 때 갖는다는 것이다. 이 수를 $f$ 의 $a$ 에서의 미분계수라 하고 $f'(a)$ 로 쓴다:

f'(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

몫은 $A \setminus \{a\}$ 에서 정의되고, $a$ 는 이 집합의 집적점이다. 집적점의 정의는 $a$ 와 다른 원소만 보기 때문이다. 극한의 유일성에 의해 미분계수는 존재하면 유일하다. 정의역의 고립점에서는, 모든 함수가 거기서 연속임에도 미분계수를 정의하지 않는다. 또 몫이 $\infty$ 또는 $-\infty$ 로 발산하면, 함수는 $a$ 에서 미분가능하지 않다. 미분계수는 실수이기 때문이다. 정의는 흔히, 예에서처럼, 증분 $h = x - a$ 를 점 $x$ 대신 써서 나타낸다.

명제증분을 이용한 미분계수의 표현

정의의 가정 아래에서, $f(a + h)$ 는 정의된 곳에서만 생각하면 아래 등식이 성립한다:

f'(a) = L \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L

이것은 변수 변환 $x = a + h$ 이며, 좌극한과 우극한에 관한 수업의 평행이동과 대칭이동 명제가 한쪽에 대해 했던 것을, 이번에는 양쪽에 대해 동시에 하는 것이다.

증명

$Q(a + h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \qquad h \neq 0 \rightarrow a + h \neq a$
$Q(x)$ 를 평균변화율이라 하자. 함수 $g(h) = a + h$ 는 $h \neq 0$ (단, $a + h$ 가 $A$ 에 속하는 것)에 대해 $a$ 에 가까워지고, 값 $a$ 를 취하지 않으며, 그 값은 $Q$ 의 정의역에 속한다. 극한의 연산 법칙에 관한 수업의 합성함수의 극한 정리에 의해, $Q$ 가 $L$ 에 가까워지면( $a$ 에서) $Q(a + h)$ 도 $L$ 에 가까워진다( $0$ 에서).
$Q(x) = Q\left(a + (x - a)\right), \qquad x \neq a \rightarrow \resaltar{x - a \neq 0}$
거꾸로, 함수 $x - a$ 는 $x$ ( $A$ 의 원소로서 $a$ 와 다른 것)에 대해 $0$ 에 가까워지고 값 $0$ 을 취하지 않는다. 이것을 $h \mapsto Q(a + h)$ 와 합성하면 몫 $Q(x)$ 가 나오며, 이 몫도 같은 극한에 가까워진다.

처음 몇 가지 미분계수는 직접 계산된다. $f(x) = mx + b$ 이면 평균변화율은 $\frac{m(a + h) + b - (ma + b)}{h} = m$ 이고(모든 $h \neq 0$ 에 대해), 그 극한은 $m$ 이다. 일차함수의 미분계수는 모든 점에서 그 기울기이고, 그 접선은 그 직선 자신이다. 특히 상수의 미분계수는 $0$ 이고 항등함수 $f(x) = x$ 의 미분계수는 $1$ 이다. $f(x) = x^2$ 에 대해서는, $a$ 를 $1$ 대신 넣어 예의 계산을 하면 $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$ 가 되고, 미분계수는 $2a$ 이다.

한쪽 미분계수

구간의 끝점이나 함수의 식이 바뀌는 점에서는 평균변화율을 각 쪽에서 따로 살펴보는 것이 좋다.

정의한쪽 미분계수

$a$ 를 $A$ 의 원소로서 $A \cap \ioo{a}{\infty}$ 의 집적점인 것이라 하자. $f$ 가 $a$ 에서 우미분가능하다는 것은, 평균변화율이 $a$ 에서 실수 우극한을 갖는다는 것이다. 이 극한을 우미분계수라 하고 $f'_+(a)$ 로 쓴다:

f'_+(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(a < x < a + \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

마찬가지로 $a$ 가 $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ 의 집적점이면, 좌미분계수 $f'_-(a)$ 는 조건 $a - \delta < x < a$ 아래에서의 평균변화율의 좌극한이다.

명제미분계수와 한쪽 미분계수

$a$ 를 $A$ 의 원소라 하자.

$a$ 가 $A \cap \ioo{a}{\infty}$ 와 $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ 의 집적점이면, $f$ 가 $a$ 에서 미분가능할 필요충분조건은 두 한쪽 미분계수가 존재하고 서로 같은 것이다. 이때 $f'(a) = f'_+(a) = f'_-(a)$ 이다.
$a$ 가 $A$ 의 한쪽에만 있는 점들의 집적점이면, $f$ 가 $a$ 에서 미분가능할 필요충분조건은 그쪽에서 미분가능한 것이며, 미분계수는 그 한쪽 미분계수이다.

새로운 논증은 전혀 필요 없다. 한쪽 미분계수는 평균변화율의 한쪽 극한이고, 좌극한과 우극한에 관한 수업이 이미 이것들을 극한과 연결했다.

증명

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = L \Leftrightarrow f'_+(a) = L = \resaltar{f'_-(a)}$
첫째 경우에는 극한과 한쪽 극한 정리를 평균변화율에 적용하면 동치가 나온다.
$\left(\forall x \in A\right)\left(0 < \abs{x - a} < r \rightarrow x > a\right) \rightarrow f'(a) = \resaltar{f'_+(a)}$
둘째 경우에는, 같은 수업에서 보았듯이, $a$ 가 정의역의 한쪽에만 있는 점들의 집적점이면 극한과 그쪽의 한쪽 극한이 일치한다. 어떤 $r > 0$ 이 존재하여, 모든 $x$ ( $A$ 의 원소로서 $0 < \abs{x - a} < r$ 를 만족하는 것)가 그쪽에 있다.

예를 들어 절댓값의 $0$ 에서의 평균변화율은 $\frac{\abs{x}}{x}$ 이며, 그 값은 $1$ ( $x > 0$ 일 때)과 $-1$ ( $x < 0$ 일 때)이다. 한쪽 미분계수는 $f'_+(0) = 1$ 과 $f'_-(0) = -1$ 로 서로 다르며, $\abs{x}$ 는 $0$ 에서 미분가능하지 않다. 반면 함수가 $\icc{0}{1}$ 에서 정의되어 있으면, $0$ 에서의 미분계수는 우미분계수이고 $1$ 에서의 미분계수는 좌미분계수이다. 정의는 이미 정의역의 끝점을 한쪽만 있는 점으로 다룬다. 예를 들어 $f(x) = x$ 를 $\icc{0}{1}$ 로 제한한 것은 $0$ 에서 미분가능하며 $f'(0) = 1$ 이다.

접선과 법선

미분계수와 함께 접선은 눈으로 알아보는 도형이기를 그치고, 계산되는 직선이 된다.

정의접선과 법선

$f$ 가 $a$ 에서 미분가능하다고 하자. $f$ 의 그래프의 점 $(a, f(a))$ 에서의 접선은 그 점을 지나고 기울기가 $f'(a)$ 인 직선이다:

y = f(a) + f'(a)(x - a)

같은 점에서의 법선은 그 점을 지나고 접선에 수직인 직선이다. $f'(a) \neq 0$ 이면 직선 $y = f(a) - \frac{1}{f'(a)}(x - a)$ 이고, $f'(a) = 0$ 이면 연직선 $x = a$ 이다.

법선의 기울기는 직선의 방정식에 관한 수업의 수직인 직선 정리에서 나온다. 연직이 아닌 두 직선이 서로 수직일 필요충분조건은 기울기의 곱이 $-1$ 인 것이다. 곡선 $y = x^3$ 로 돌아가면, $0$ 에서의 평균변화율은 $x^2$ 이고 $0$ 에 가까워진다. 원점에서의 접선은 곡선을 가로지르지만 수평인 축이다. $f$ 가 $a$ 에서 연속이고 평균변화율이 $\infty$ 또는 $-\infty$ 로 발산하면, 할선은 연직 방향에 가까워진다. 이때 그래프는 $(a, f(a))$ 에서 수직 접선, 곧 직선 $x = a$ 를 갖는다고 한다. 단, $f$ 는 $a$ 에서 미분가능하지 않다.

마찬가지로 $s(t)$ 가 직선 위를 움직이는 점의 위치이면, 시각 $t_0$ 에서의 그 속도는 존재할 경우 $s'(t_0)$ 이다. 그 부호는 운동의 방향을, 그 절댓값은 속력을 나타낸다. 변화율에 관한 수업에서 이 해석을 발전시킨다.

도함수와 라이프니츠 표기법

$f$ 가 미분가능한 각 점은 하나의 수, 곧 그 점에서의 미분계수를 준다. 이 수들을 모두 모아 새로운 함수를 만든다.

정의도함수

$f$ 를 $A$ 에서 정의된 함수라 하자. $f$ 의 도함수는 함수 $f'$ 으로서, 각 점 $x$ ( $A$ 의 점으로서 $f$ 가 미분가능한 것)에 수 $f'(x)$ 를 대응시키는 것이다. 그 정의역은 그런 점들의 집합이다. $f$ 가 집합 $S$ ( $A$ 에 포함되는 것)의 모든 점에서 미분가능하면, $S$ 에서 미분가능하다고 한다. 그리고 정의역 전체에서 미분가능하면 단순히 미분가능하다고 한다.

예를 들어 $x^2$ 의 도함수는 함수 $2x$ 이며, $\mathbb{R}$ 전체에서 정의된다. 절댓값의 도함수는 값 $1$ ( $\ioo{0}{\infty}$ 에서)와 $-1$ ( $\ioo{-\infty}{0}$ 에서)을 가지며, 그 정의역은 $0$ 을 포함하지 않는다. 프라임을 쓰는 표기 $f'$ 은 라그랑주에서 비롯된다. 또 하나의 흔한 표기는 라이프니츠에서 비롯된다. $y = f(x)$ 이면 도함수는 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 또는 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ 로 쓰고, $x$ 에 대해 미분하는 연산은 미분할 식 앞에 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 를 붙여 쓴다:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\right) = 2x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(mx + b\right) = m

이 표기는 도함수가 어디에서 오는지 떠올리게 한다. $\Delta x$ 가 변수의 증분이고 $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ 가 이에 대응하는 함수의 증분이면, 평균변화율은 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 이고 도함수는 그 극한이다:

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

강조해 둘 것은, 지금으로서는 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 가 하나의 기호이지 몫이 아니라는 점이다. $\mathrm{d}y$ 와 $\mathrm{d}x$ 는 아직 따로따로는 의미를 갖지 않으며, 고계도함수와 미분에 관한 수업에서 의미를 갖게 된다. 이 표기는 어느 변수에 대해 미분하는지를 분명히 한다. 위치가 시간에 의존하면 속도는 $s'(t)$ 또는 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ 로 쓴다.

미분계수의 세 가지 특성화

정의는 평균변화율이 $f'(a)$ 에 가까워진다고 말한다. 같은 것을 말하는 방법이 두 가지 더 있으며, 각각 다른 목적에 쓸모가 있다. 둘째 방법은 함수를 그 접선과 비교하고, 셋째 방법은 나눗셈을 피한다.

정리미분계수의 특성화

$f$ 를 $A$ 에서 정의된 함수, $a$ 를 $A$ 의 원소로서 $A$ 의 집적점인 것, $L$ 을 실수라 하자. 아래의 세 명제는 동치이다:

평균변화율. $f$ 는 $a$ 에서 미분가능하고 $f'(a) = L$ 이다.
일차근사. $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ ( $h$ 가 $0$ 에 가까워질 때). 곧 나머지 $R(h) = f(a + h) - f(a) - Lh$ 는 $\lim_{h \to 0} \frac{R(h)}{h} = 0$ 을 만족한다.
카라테오도리. 함수 $\varphi \colon A \to \mathbb{R}$ 로서 $a$ 에서 연속이고 $\varphi(a) = L$ 이며, $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ 가 모든 $x$ ( $A$ 의 원소)에 대해 성립하는 것이 존재한다.

기호 $\operatorname{o}$ 는 동치인 무한소와 무한대에 관한 수업의 것이며, $f(a + h)$ 는 정의된 곳에서만 생각한다. 함수 $\varphi$ 는 할선의 기울기를 $a$ 에서 미분계수로 보완한 것이다. 그림은 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{2}$ 과 $a = 1$ 의 경우에 대해, 곡선과 접선 사이의 나머지, 할선 하나, 그리고 마지막으로 $\varphi$ 의 그래프를 보여 준다. 이 경우 그것은 직선 $\varphi(x) = \frac{x + 1}{2}$ 이다.

증명

$\frac{R(h)}{h} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - L \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \to L}$
첫째와 둘째: 나머지를 $h$ 로 나눈 몫은 평균변화율에서 $L$ 을 뺀 것이다. 극한의 연산 법칙에 관한 수업의 영으로 가는 거리로서의 극한 보조정리에 의해, 이 몫이 $0$ 에 가까워질 필요충분조건은 평균변화율이 $L$ 에 가까워지는 것이며, 증분을 이용한 표현에 의해 이는 $f'(a) = L$ 와 동치이다.
$\varphi(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} & x \neq a \\ L & x = a \end{cases}, \qquad \lim_{x \to a} \varphi(x) = L = \resaltar{\varphi(a)}$
첫째에서 셋째로: $\varphi$ 를 $a$ 밖에서는 평균변화율로, 값 $L$ ( $a$ 에서)을 갖는 것으로 정의한다. 등식은 모든 $x \neq a$ 에서 정의에 의해 성립하고, $x = a$ 에서는 두 변이 모두 $0$ 이므로 성립한다. $a$ 가 $A$ 의 집적점이고 $\varphi$ 의 $a$ 에서의 극한이 $L = \varphi(a)$ 이므로, 극한과 연속성에 관한 수업의 연속성과 극한 명제에 의해 $\varphi$ 는 $a$ 에서 연속이다.
$x \neq a \rightarrow \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \varphi(x) \to \varphi(a) = \resaltar{L}$
셋째에서 첫째로: $x \neq a$ 이면 $x - a$ 로 나누어, 평균변화율은 $\varphi$ 의 $A \setminus \{a\}$ 로의 제한이 된다. $\varphi$ 는 $a$ 에서 연속이므로 같은 명제에 의해 $\varphi(a) = L$ 에 가까워지고, 극한의 연산 법칙에 관한 수업의 제한의 극한 보조정리에 의해 평균변화율도 같은 값에 가까워진다.

셋째 특성화의 함수 $\varphi$ 는 존재하면 유일하다. $a$ 밖에서는 평균변화율이고, $a$ 에서의 값은 그 평균변화율의 극한이다. 둘째 특성화는 접선이 어떤 의미에서 곡선에 가장 잘 붙어 가는 직선인지 설명한다. $f(a + h)$ 를 $f(a) + mh$ 로 바꾸면, 단 기울기 $m$ 은 $f'(a)$ 와 다르다고 하면, 오차는 $(f'(a) - m)h + \operatorname{o}(h)$ 이고, 이를 $h$ 로 나눈 몫은 $f'(a) - m \neq 0$ 에 가까워진다. 오차는 $h$ 와 같은 차수이다. 기울기가 $f'(a)$ 일 때에만 오차는 $h$ 에 비해 무시할 수 있다. 셋째 특성화에는 기술적인 장점이 있다. 나눗셈이 없는 곱 사이의 등식이라는 점이다. 미분법의 공식과 연쇄 법칙에 관한 수업에서는 영이 될 수 있는 양으로 나누지 않기 위해 이것을 쓴다. 첫째 결과는 바로 나온다.

정리미분가능하면 연속

$f$ 가 $a$ 에서 미분가능하면 $f$ 는 $a$ 에서 연속이다. 카라테오도리 분해는 $f$ 를 $a$ 에서 연속인 함수들 사이의 연산으로 나타낸다.

증명

$f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$
특성화 정리에 의해, $\varphi$ 로서 $a$ 에서 연속인 것이 존재하여, $f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$ 이 모든 $x$ ( $A$ 의 원소)에 대해 성립한다.
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) + \varphi(a) \cdot 0 = \resaltar{f(a)}$
상수 $f(a)$ 와 다항식 $x - a$ 는 $a$ 에서 연속이고 $\varphi$ 도 그렇다. 극한과 연속성에 관한 수업의 연속함수의 연산 정리에 의해, 상수와 곱의 합은 $a$ 에서 연속이다.

역은 거짓이다. 연속성은 $f(x) - f(a)$ 가 $0$ 에 가까워질 것을 요구한다. 미분가능성은 그 이상을 요구한다. 그것을 $x - a$ 로 나눈 몫이 극한을 갖는 것, 곧 $0$ 에 적어도 $x - a$ 만큼 빠르게 가까워지고, 서로 다른 기울기 사이에서 진동하지 않는 것이다.

명제미분불가능한 연속함수

절댓값과 세제곱근은 $0$ 에서 연속이고 $0$ 에서 미분가능하지 않다. 앞의 것은 한쪽 미분계수가 서로 다르고, 뒤의 것의 평균변화율은 $\infty$ 로 발산하므로, 그 그래프는 원점에서 수직 접선을 갖는다. 둘이 연속인 것은 극한과 연속성에 관한 수업의 잘 알려진 연속함수 따름정리에 의한다. 그림은 절댓값에서는 두 한쪽 기울기를, 세제곱근에서는 점점 가팔라지는 할선을 보여 준다.

증명

$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\abs{x}}{x} = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} \frac{\abs{x}}{x} = \resaltar{f'_-(0)}$
절댓값의 $0$ 에서의 평균변화율은 오른쪽에서 $1$ , 왼쪽에서 $-1$ 이다. 한쪽 미분계수가 서로 다르므로, 미분계수와 한쪽 미분계수 명제에 의해 $\abs{x}$ 는 $0$ 에서 미분가능하지 않다.
$\frac{\sqrt[3]{x} - 0}{x - 0} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2} \to \resaltar{\infty}$
세제곱근의 $0$ 에서의 평균변화율은 $\left(\sqrt[3]{x}\right)^2$ 의 역수이며, 이것은 $x \neq 0$ 일 때 양수이고 근의 연속성에 의해 $0$ 에 가까워진다. 무한 극한에 관한 수업의 역수 보조정리에 의해 평균변화율은 $\infty$ 로 발산하며 실수 극한을 갖지 않는다.

두 함수가 실패하는 곳은 한 점뿐이지만, 수직선 전체에서 연속이면서 어느 점에서도 미분가능하지 않은 함수가 존재한다. 바이어슈트라스는 1872년에 가장 유명한 예를 제시했으며, 그 구성은 이 과정의 범위를 넘어선다.

예제

문제들은 난이도 순으로 나아간다. 첫째 문제는 정의역의 끝에서 존재하지 않게 되는 미분계수를 계산하고, 둘째는 접선을 이용해 쌍곡선의 성질을 발견하며, 셋째는 한쪽 미분계수가 존재하지 않을 수 있음을 보이고, 넷째는 함수가 단 한 점에서만 미분가능할 수 있음을 보이며, 마지막 문제는 카라테오도리 분해와 한쪽 미분계수를 결합한다.

예제 1정의역의 끝에서의 제곱근

$f(x) = \sqrt{x}$ ( $\ico{0}{\infty}$ 에서 정의된 것)의 미분가능성을 조사하고, 가로 좌표가 $4$ 인 점에서의 접선을 구하라.

풀이

$\frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{(a + h) - a}{\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right) h} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}$
$a > 0$ 이면 평균변화율은 $\frac{0}{0}$ 꼴의 부정형이다. 켤레식을 곱하고 나눈다.
$f'(a) = \resaltar{\frac{1}{2\sqrt{a}}}, \qquad y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$
근의 연속성에 의해 분모는 $2\sqrt{a} \neq 0$ 에 가까워지고, 극한의 연산 법칙에 관한 수업의 역수의 극한 정리에 의해 평균변화율은 $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ 에 가까워진다. $a = 4$ 에서 미분계수는 $\frac{1}{4}$ 이고 접선은 $(4, 2)$ 를 지난다.
$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \resaltar{\infty}$
$a = 0$ 에서는 정의역의 점이 오른쪽에만 있으므로, 미분계수와 한쪽 미분계수 명제에 의해 미분계수는 우미분계수이다. 평균변화율은 $\frac{1}{\sqrt{h}}$ 이고, $\sqrt{h}$ 는 양수이며 $0$ 에 가까워지므로, 역수 보조정리에 의해 $\infty$ 가 된다.
$f \colon \ico{0}{\infty} \to \mathbb{R}, \qquad f' \colon \resaltar{\ioo{0}{\infty}} \to \mathbb{R}$
따라서 $\sqrt{x}$ 는 $\ioo{0}{\infty}$ 에서 미분가능하고 $0$ 에서는 미분가능하지 않다. 그 점에서 함수는 연속이며, 그 그래프는 수직 접선 $x = 0$ 을 갖는다. 도함수의 정의역은 원래 함수의 정의역보다 작다.

예제 2쌍곡선의 접선

$y = \frac{1}{x}$ 의 점 $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ (단, $a > 0$ )에서의 접선이 좌표축과 함께 넓이가 $2$ 인 삼각형을 만들고 이 넓이는 $a$ 에 관계없음을, 또 접점이 좌표축이 접선에서 잘라 내는 선분의 중점임을 증명하라.

풀이

$\frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{-h}{a(a + h) \, h} = -\frac{1}{a(a + h)} \to \resaltar{-\frac{1}{a^2}}$
분수의 뺄셈으로 평균변화율이 간단해진다. 역수의 극한 정리에 의해 그 극한은 $-\frac{1}{a^2}$ 이다.
$y = \frac{1}{a} - \frac{1}{a^2}(x - a) = \resaltar{\frac{2}{a} - \frac{x}{a^2}}$
접선은 이 기울기로 $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ 를 지난다.
$\dato{c}{(2a, 0), \quad \left(0, \frac{2}{a}\right)}, \qquad \left(\frac{2a + 0}{2}, \frac{0 + \frac{2}{a}}{2}\right) = \resaltar{\left(a, \frac{1}{a}\right)}$
$y = 0$ 으로 두면 수평인 축과의 교점이, $x = 0$ 으로 두면 연직인 축과의 교점이 나온다. 두 점의 중점이 접점이다.
$\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = \resaltar{2}$
삼각형의 직각을 낀 변은 $2a$ 와 $\frac{2}{a}$ 이며 좌표축 위에 있다. 그 넓이는 $a$ 에 관계없다. 그림은 그런 삼각형 두 개를 보여 주는데, 모양은 다르고 넓이는 같다.

예제 3연속이면서 한쪽 미분계수가 없는 함수

$f(x) = x \sin \frac{1}{x}$ , $g(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ ( $x \neq 0$ 일 때), $f(0) = g(0) = 0$ 라 하자. $f$ 는 $0$ 에서 연속이지만 $0$ 에서 미분계수도 한쪽 미분계수도 갖지 않음을, 그리고 $g$ 는 $0$ 에서 미분가능하고 $g'(0) = 0$ 임을 증명하라.

풀이

$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x} = \resaltar{\sin \frac{1}{x}}$
극한과 연속성에 관한 수업의 예제 3에 의해 $f$ 는 $0$ 에서 연속이다. $0$ 에서의 그 평균변화율은 $\sin \frac{1}{x}$ 이다.
$\sin \frac{1}{x_n} = 1, \quad \sin \frac{1}{y_n} = -1, \qquad x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}, \quad y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi}$
극한에 관한 수업의 연습 문제 3에서는, 양수인 점들의 두 족을 이용해 $\sin \frac{1}{x}$ 가 $0$ 에서 극한을 갖지 않음을 보였다. 그 점들에서의 값은 $1$ 과 $-1$ 이다. 같은 논증으로 우극한이 부정된다. 부호를 바꾼 점들(그 점들에서의 값은 $-1$ 과 $1$ )을 쓰면 좌극한이 부정된다.
$\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = x \sin \frac{1}{x} \to 0, \qquad g'(0) = \resaltar{0}$
반면 $g$ 의 평균변화율은 $x \sin \frac{1}{x}$ 이며, 이는 유계인 함수와 $0$ 에 가까워지는 함수의 곱이다. 조임 정리에 관한 수업의 정리에 의해 이것은 $0$ 에 가까워진다.
$\abs{g(x)} \leq x^2 = \resaltar{\operatorname{o}(x)}$
두 함수는 $0$ 근처에서 무한히 많이 진동한다. $f$ 의 진동은 $\abs{x}$ 로 억제되며, 이것은 분모 $x - 0$ 과 같은 차수이므로 평균변화율은 계속 진동한다. $g$ 의 진동은 $x^2$ 으로 억제되며, 이것은 $x$ 에 비해 무시할 수 있으므로 평균변화율은 사라져 간다.

예제 4단 한 점에서만 미분가능한 함수

$f$ 를 값 $x^2$ ( $x$ 가 유리수일 때)와 $0$ ( $x$ 가 무리수일 때)를 갖는 함수라 하자. $f$ 는 $0$ 에서 미분가능하고 $f'(0) = 0$ 이며, 그 밖의 어느 점에서도 미분가능하지 않음을 증명하라.

풀이

$x \in \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = x^2, \qquad x \notin \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = 0$
$g$ 를 극한과 연속성에 관한 수업의 예제 5의 함수, 곧 유리수에서 $x$ , 무리수에서 $0$ 을 갖는 함수라 하자. 그러면 $f(x) = x \, g(x)$ 가 모든 $x$ 에 대해, 두 경우 모두 성립한다.
$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \, g(x)}{x} = g(x) \to g(0) = 0, \qquad f'(0) = \resaltar{0}$
$0$ 에서 평균변화율은 $g(x)$ 이고, 이는 $g(0) = 0$ 에 가까워진다. 그 문제에서 $g$ 가 $0$ 에서 연속임을 보였기 때문이다.
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x} = \frac{f(a)}{a} = \resaltar{g(a)}$
$a \neq 0$ 이라 하자. 만약 $f$ 가 $a$ 에서 연속이면 $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ 도 연속이 된다(연속함수의 연산의 몫의 법칙에 의해. 분모는 $a$ 에서 영이 아니다). 그러나 같은 문제에서 $g$ 가 $a$ 에서 불연속임을 보였다. 따라서 $f$ 는 $a$ 에서 불연속이고, 미분가능하면 연속이라는 정리에 의해 $a$ 에서 미분가능하지 않다.

예제 5미분가능한 함수의 절댓값

$f$ 를 $a$ 를 포함하는 열린구간에서 정의되고, $a$ 에서 미분가능하며, $f(a) = 0$ 를 만족하는 함수라 하자. $F = \abs{f}$ 는 $a$ 에서 한쪽 미분계수 $\abs{f'(a)}$ 와 $-\abs{f'(a)}$ 를 가지며, 따라서 $a$ 에서 미분가능할 필요충분조건은 $f'(a) = 0$ 임을 증명하라. 이를 $\abs{\sin x}$ 와 $\abs{x^3}$ 에 $0$ 에서 적용하라.

풀이

$\frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \frac{\abs{f(x)} - \abs{f(a)}}{x - a} = \frac{\abs{\varphi(x)}\abs{x - a}}{x - a} = \begin{cases} \abs{\varphi(x)} & x > a \\ -\abs{\varphi(x)} & x < a \end{cases}$
카라테오도리의 특성화에 의해 $f(x) = \varphi(x)(x - a)$ 이고, $\varphi$ 는 $a$ 에서 연속이며 $\varphi(a) = f'(a)$ 이다. 절댓값을 취하면 인수 $\abs{x - a}$ 는 오른쪽에서 $x - a$ , 왼쪽에서 $a - x$ 이다.
$F'_+(a) = \abs{f'(a)}, \qquad F'_-(a) = -\abs{f'(a)}, \qquad \abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)} \Leftrightarrow \resaltar{f'(a) = 0}$
함수 $\abs{\varphi}$ 는 연속함수의 합성에 의해 $a$ 에서 연속이고 $\abs{f'(a)}$ 에 가까워진다. 미분계수와 한쪽 미분계수 명제에 의해 $F$ 가 $a$ 에서 미분가능할 필요충분조건은 두 한쪽 미분계수가 일치하는 것, 곧 $\abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)}$ 이다.
$\frac{\sin x}{x} \to 1 \neq 0, \qquad \frac{x^3}{x} = x^2 \to \resaltar{0}$
사인은 $\sin 0 = 0$ 을 만족하고, $0$ 에서의 그 평균변화율은 $\frac{\sin x}{x}$ 이며, 삼각함수의 기본 극한에 의해 $1$ 에 가까워진다. $\abs{\sin x}$ 는 $0$ 에서 한쪽 미분계수 $1$ 과 $-1$ 을 가지며 미분가능하지 않다. 세제곱 함수의 $0$ 에서의 평균변화율은 $x^2$ 이고 $0$ 에 가까워진다. $\abs{x^3}$ 은 $0$ 에서 미분가능하며 미분계수는 $0$ 이다.

연습 문제

문제들은 난이도 순으로 나아간다. 첫째 문제는 원과 구의 기하에서 도함수를 읽어 내고, 둘째는 주어진 점을 지나는 법선을 찾으며, 셋째는 함수가 뛰는 곳에서도 한쪽 미분계수가 존재할 수 있음을 보이고, 넷째는 미분계수로 얻은 접선을 원의 접선과 비교하며, 마지막 문제는 도함수와 비슷하지만 그렇지 않은 몫을 조사한다. 각 문제에는 힌트가 있으며, 스스로 시도해 본 뒤에만 여는 것이 좋다.

연습 문제 1원의 넓이와 구의 부피

$A(r) = \pi r^2$ 를 반지름이 $r$ 인 원의 넓이, $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ 를 반지름이 $r$ 인 구의 부피라 하자. 정의를 이용해 $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r}$ 과 $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$ 을 계산하고, 각 결과가 무엇인지 알아보라.

힌트

$(r + h)^2$ 과 $(r + h)^3$ 을 전개하고, 극한을 취하기 전에 평균변화율을 간단히 하라. 넓이의 증분은 폭이 $h$ 인 원환의 넓이이다.

정답

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r, \qquad \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2

이것들은 원의 둘레의 길이와 구면의 넓이이다.

연습 문제 2한 점을 지나는 법선

포물선 $y = x^2$ 위의 점 가운데 그 법선이 점 $(0, 1)$ 을 지나는 것을 모두 구하고, 그 법선들을 쓰라.

힌트

$(a, a^2)$ 에서의 법선의 기울기는 $-\frac{1}{2a}$ 이다( $a \neq 0$ 일 때). 그것이 $(0, 1)$ 을 지나도록 하라. $a = 0$ 인 경우를 잊지 말라. 이때 미분계수는 영이 되고 법선은 연직이다.

정답

세 점: $(0, 0)$ , 법선 $x = 0$ , 그리고 $\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , 법선 $y = 1 \mp \frac{x}{\sqrt{2}}$ .

연습 문제 3정수 부분의 한쪽 미분계수

정수 부분 $E(x) = \lfloor x \rfloor$ 가 정수가 아닌 모든 실수에서 미분가능하고 미분계수가 $0$ 이며, 각 정수 $n$ 에서 우미분계수 $0$ 을 갖지만 좌미분계수는 갖지 않음을 증명하라. 이것은 미분가능하면 연속이라는 정리에 모순되는가?

힌트

정수 $n$ 에서 함수는 오른쪽에서 $n$ , 왼쪽에서 $n - 1$ 이다. 평균변화율은 오른쪽에서 $0$ , 왼쪽에서 $\frac{-1}{x - n}$ 이다. 마지막 물음에 대해서는 정리의 가정과 $n$ 에서 일어나는 일을 비교하라.

정답

E'(x) = 0 \quad (x \notin \mathbb{Z}), \qquad E'_+(n) = 0, \qquad \lim_{x \to n^-} \frac{E(x) - E(n)}{x - n} = \infty

모순은 없다. 함수는 $n$ 에서 미분가능하지 않다. 우미분계수가 주는 것은 오른쪽 연속성뿐이며(정리를 $E$ 의 $\ico{n}{\infty}$ 로의 제한에 적용한 것), 그것은 성립한다.

연습 문제 4원의 접선

$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ 를 중심이 $(0, 0)$ 이고 반지름이 $1$ 인 위쪽 반원이라 하자. $f'(a)$ (단, $-1 < a < 1$ )를 계산하고, 접선이 원점과 $(a, f(a))$ 를 잇는 반지름에 수직임을 원에 관한 수업에서처럼 증명하고, $a = \pm 1$ 에서 무슨 일이 일어나는지 조사하라.

힌트

평균변화율에 $\sqrt{1 - (a + h)^2} + \sqrt{1 - a^2}$ 를 곱하고 나누라. $a \neq 0$ 이면 반지름의 기울기는 $\frac{f(a)}{a}$ 이고, $a = 0$ 이면 반지름은 연직이다. $a = 1$ 에서는 정의역의 점이 왼쪽에만 있다.

정답

f'(a) = -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}, \qquad -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a} = -1 \quad (a \neq 0)

$a = 0$ 에서 접선은 수평이고 반지름은 연직이다. $a = 1$ 에서 평균변화율은 $-\infty$ 로 발산하고, $a = -1$ 에서는 $\infty$ 로 발산한다. $f$ 는 $\pm 1$ 에서 미분가능하지 않으며, 그 그래프는 거기서 수직 접선을 갖는다.

연습 문제 5대칭 평균변화율

$f$ 를 $a$ 를 포함하는 열린구간에서 정의된 함수라 하자. $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하면 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a)$ 임을 증명하라. $f(x) = \abs{x}$ 의 $a = 0$ 에서의 경우를 이용해, $f$ 가 미분가능하지 않아도 이 극한이 존재할 수 있음을 증명하라.

힌트

$h$ 와 $-h$ 에 대해 일차근사를 쓰고 빼라. 나머지에서 $\operatorname{o}(h)$ 가 나온다. 절댓값의 경우 분자는 $\abs{h} - \abs{-h}$ 이다.

정답

\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{R(h) - R(-h)}{2h} \to f'(a), \qquad \frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = 0

절댓값의 대칭 평균변화율은 $0$ ( $0$ 에서)이며, 거기서 미분가능하지 않다.

풀이 과정

풀이

$f(a + h) = f(a) + f'(a)h + R(h), \qquad f(a - h) = f(a) - f'(a)h + R(-h)$
일차근사에 의해, $L = f'(a)$ 로 두면 나머지 $R$ 은 $\frac{R(h)}{h} \to 0$ 을 만족한다. $h$ 를 $-h$ 로 바꾸면, 합성함수의 극한 정리에 의해 $\frac{R(-h)}{-h} \to 0$ 도 성립한다.
$\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(h)}{h} + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(-h)}{-h} \to \resaltar{f'(a)}$
두 등식을 빼고 $2h$ 로 나눈다. 일차결합의 극한 정리에 의해 나머지의 두 몫은 모두 $0$ 을 준다.
$\frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = \resaltar{0}, \qquad f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$
$0$ 에서의 절댓값의 경우, 분자는 모든 $h$ 에 대해 영이고, 대칭 평균변화율은 $0$ 에 가까워진다. 그러나 한쪽 미분계수는 $1$ 과 $-1$ 이다. 대칭 평균변화율은 두 한쪽 기울기를 평균하여 꺾인 점을 감춘다.