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Topos Uranos
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페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리

요약

이 수업은 도함수가 한 점에서 말하는 것에서 구간에서 말하는 것으로 나아간다. 극값을 정의하고 페르마의 정리를 증명한다. 함수가 정의역의 내점에서 극값을 갖고 그 점에서 미분가능하면 그 미분계수는 영이 된다. 증명은 변화율에 관한 수업의 한 점에서의 미분계수의 부호 명제에서 나온다. 앞 수업의 바이어슈트라스 정리와 함께, 페르마의 정리로부터 롤의 정리가 나온다. 롤의 정리를 함수와 그 현의 차에 적용하면 라그랑주의 평균값 정리가 나오며, 이에 따르면 어떤 접선은 현과 평행하다. 또 두 함수의 어떤 결합에 적용하면 코시의 평균값 정리가 나오며, 이어지는 수업은 이것으로 로피탈의 정리를 증명한다. 평균값 정리로부터 최초의 대역적 결과들이 나온다. 구간에서 도함수가 영인 함수는 상수이고, 도함수가 같은 두 함수는 상수만큼 차이 나며, 도함수의 상계는 증분을 어림하고, 함수의 두 근 사이에는 그 도함수의 근이 있으며, 도함수의 극한은 존재하면 미분계수와 같다. 간단한 경우들이 정리의 어떤 가정도 생략할 수 없음을 보여 준다.

학습 목표

  1. 극값이 무엇인지 한정기호로 표현하고, 페르마의 정리를 증명하여 그것이 주는 필요조건을 충분조건과 구별한다.
  2. 롤의 정리, 라그랑주의 평균값 정리, 코시의 평균값 정리를 증명하고, 그래프에서 읽어 내며, 반례로 그 가정들을 생략할 수 없음을 보인다.
  3. 평균값 정리로부터 구간에서 도함수가 영인 함수가 상수임을 이끌어 내고, 도함수의 상계로부터 부등식과 오차의 상계를 얻는다.
  4. 방정식의 근의 개수를 롤의 정리로 위에서, 볼차노 정리로 아래에서 어림하여 센다.

극값과 페르마의 정리

바이어슈트라스의 정리에 관한 수업은 유계인 닫힌구간에서 연속인 함수가 최댓값과 최솟값을 가짐을 보장하지만, 그것이 어디인지는 말하지 않는다. 그 위치를 찾으려면 점의 근처만 보는 개념이 필요하다. 어떤 값은 가까운 값들 가운데 가장 크면서도 모든 값 가운데 가장 크지는 않을 수 있다.

정의극값과 내점

ff를 집합 AA에서 정의된 함수라 하고, x0x_0을 AA의 원소라 하자. ff가 x0x_0에서 극댓값을 갖는다는 것은 어떤 δ>0\delta > 0이 존재하여, ff의 값 가운데 AA의 점(x0x_0에서의 거리가 δ\delta보다 작은 것)에서의 값이 하나도 f(x0)f(x_0)을 넘지 않는 것이고, x0x_0에서 극솟값을 갖는다는 것은 그 값들이 하나도 f(x0)f(x_0)보다 작지 않은 것이다:

(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x)≤f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x0)≤f(x))(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x_0) \leq f(x)\right)

극값은 극댓값 또는 극솟값이다. 점 x0x_0이 AA의 내점이라는 것은 어떤 r>0r > 0이 존재하여 (x0−r,x0+r)⊆A\ioo{x_0 - r}{x_0 + r} \subseteq A인 것이다.

ff가 AA에서 점 x0x_0일 때, 앞 수업의 의미로 최댓값을 가지면, 그 점에서 극댓값을 갖는다. 이때 δ\delta는 무엇이든 좋다. 그 역은 성립하지 않는다. f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x를 생각하자. 2−f(x)=(x+1)2(2−x)2 - f(x) = (x + 1)^2 (2 - x)이므로, f(x)≤2=f(−1)f(x) \leq 2 = f(-1)이 모든 x≤2x \leq 2에 대하여 성립한다. 이 함수는 −1-1에서 극댓값을 갖지만(δ=3\delta = 3으로 잡으면 된다), 그것은 R\mathbb{R}에서의 최댓값이 아니다. f(3)=18f(3) = 18이기 때문이다. 구간의 내점은 구간에 속하는 끝점을 제외한 모든 점이다. [a,b]\icc{a}{b}의 내점은 (a,b)\ioo{a}{b}의 점이다. 극값은 경계에 있을 수도 있다. 함수 xx는 [0,1]\icc{0}{1}에서 00일 때 최솟값을, 11일 때 최댓값을 갖는다.

정리페르마의 정리

ff를 집합 AA에서 정의된 함수라 하고, aa를 AA의 내점이라 하자. ff가 aa에서 극값을 갖고 aa에서 미분가능하면 f′(a)=0f'(a) = 0이다. 미분계수가 양수라면, 미분계수의 부호 명제에 의해 aa의 오른쪽 아주 가까이에 f(a)f(a)보다 큰 값들이 나타날 것이다. 음수라면 그것들이 왼쪽에 나타날 것이다. 그림은 f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x과 a=−1a = -1에서의 그 극댓값으로, 두 기울기가 왜 모두 불가능한지 보여 준다.

증명

  1. x∈A, ∣x−a∣<δ0→f(x)≤f(a),F′(a)=f′(a)x \in A, \ \abs{x - a} < \delta_0 \rightarrow \dato{max}{f(x) \leq f(a)}, \qquad \resaltar{F'(a) = f'(a)}

    먼저 ff가 aa에서 극댓값을 갖는다고 하고(어떤 δ0>0\delta_0 > 0에 대하여), r>0r > 0를 구간 I=(a−r,a+r)I = \ioo{a - r}{a + r}가 AA에 포함되도록 잡자. FF를 ff의 II로의 제한이라 하자. 모든 xx(AA의 원소로서 ∣x−a∣<r\abs{x - a} < r인 것)은 II에 속한다. 미분법의 공식에 관한 수업의 미분계수의 국소성 보조정리에 의해, FF는 aa에서 미분가능하고 미분계수도 같다.

  2. f(a+ρ2)>f(a),f(a+ρ2)≤f(a)f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad \resaltar{f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a)}

    f′(a)>0f'(a) > 0이면, 변화율에 관한 수업의 한 점에서의 미분계수의 부호 명제를 FF에 열린구간 II에서 적용하여 어떤 δ>0\delta > 0를 얻으며, f(x)>f(a)f(x) > f(a)가 모든 xx(II의 원소로서 a<x<a+δa < x < a + \delta인 것)에 대하여 성립한다. ρ\rho를 수 δ\delta, δ0\delta_0, rr 가운데 가장 작은 것이라 하자. 점 a+ρ2a + \frac{\rho}{2}는 II에 속하고, 이 조건을 만족하며, aa에서의 거리가 δ0\delta_0보다 작다. 그 점에서 함수의 값은 f(a)f(a)보다 크면서 크지 않게 된다. 따라서 f′(a)>0f'(a) > 0은 불가능하다.

  3. f(a−ρ2)>f(a),f(a−ρ2)≤f(a)→f′(a)=0f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) = 0}

    f′(a)<0f'(a) < 0이면, 같은 명제를 값들 사이의 부등호 방향을 바꾸어 쓰면 어떤 δ>0\delta > 0를 얻으며, f(x)>f(a)f(x) > f(a)이 모든 xx(II의 원소로서 a−δ<x<aa - \delta < x < a인 것)에 대하여 성립하고, 점 a−ρ2a - \frac{\rho}{2}가 같은 모순을 낳는다. 미분계수는 양수도 음수도 아니므로 영이다.

  4. (−f)′(a)=−f′(a)=0→f′(a)=0(-f)'(a) = -f'(a) = 0 \rightarrow \resaltar{f'(a) = 0}

    ff가 aa에서 극솟값을 가지면, −f-f는 그 점에서 극댓값을 가지며, 미분법의 공식에 관한 수업의 일차결합의 미분법 정리에 의해 aa에서 미분가능하고 그 미분계수는 −f′(a)-f'(a)이다. 이미 증명한 것에 의해 이 미분계수는 영이다.

이 정리가 주는 것은 필요조건이지 충분조건이 아니다. x3x^3은 00에서 미분계수가 영이지만 그 점에서 극값을 갖지 않는다. 00의 왼쪽에서 음수 값을, 오른쪽에서 양수 값을 갖기 때문이다. 다른 두 가정도 생략할 수 없다. aa가 내점이 아니면 미분계수가 영이 되지 않을 수 있다. 함수 xx는 [0,1]\icc{0}{1}에서 11일 때 최댓값을 갖고, 그 점에서의 미분계수는, 정의역에 11의 오른쪽 점이 없으므로 평균변화율의 좌극한이며, 11과 같다. ff가 aa에서 미분가능하지 않으면 정리는 아무것도 말하지 않는다. ∣x∣\abs{x}는 00일 때 최솟값을 갖지만 그 점에서 미분가능하지 않다. 따라서 함수의 극값은 미분계수가 영이 되는 내점, 미분가능하지 않은 점, 내점이 아닌 점 가운데서 찾는다. 단조성에 관한 수업은 이 점들에 이름을 붙이고, 어느 것이 극값인지 판정하는 방법을 줄 것이다. 미분법의 공식에 관한 수업의 예제 1은 xx2+1\frac{x}{x^2 + 1}의 수평 접선이 그래프에 최댓값과 최솟값의 점에서 접한다는 것에 주목하고, 그것이 우연이 아니라고 예고했다. R\mathbb{R}에서 미분가능하고 최댓값을 갖는 함수는 그것을 내점에서 가지며, 그 점에서 페르마의 정리가 미분계수를 영으로 만든다.