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Topos Uranos
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삼각함수와 그 그래프

요약

이 수업에서는 사인, 코사인, 탄젠트를 라디안으로 측정한 실수 변수의 함수로 연구한다. 이들의 정의역, 치역, 영점, 최댓값과 최솟값, 홀짝성을 구하고, 2π2\pi 이 사인과 코사인의 가장 작은 양의 주기이며 π\pi 가 탄젠트의 가장 작은 양의 주기임을 증명한다. 단위원을 펼쳐서 사인의 그래프를 만들고, 평행이동으로 코사인의 그래프를 얻으며, 탄젠트의 수직 점근선을 부호표로 기술한다. 이로부터 시컨트, 코시컨트, 코탄젠트의 그래프를 이끌어 낸다. 넓이를 비교하여 부등식 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x (단, 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}) 을 증명하고, 사인곡선 y=asin⁡(b(x−c))+dy = a \sin(b(x - c)) + d 를 연구한다. 이것들로 낮의 길이, 밀물과 썰물, 대관람차의 운동과 같은 주기적인 현상을 모형화한다.

학습 목표

  1. 사인, 코사인, 탄젠트를 실수 변수의 함수로 정의하고, 그 치역, 영점, 최댓값과 최솟값, 홀짝성, 최소 주기를 증명한다.
  2. 단위원으로부터 여섯 삼각함수의 그래프를 만들고, 수직 점근선을 부호표로 기술한다.
  3. 부등식 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x (단, 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}) 과 상계 ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x} 을 증명하고, 이를 함수와 방정식의 연구에 사용한다.
  4. 사인곡선의 진폭, 주기, 위상 이동, 세로 방향 평행이동을 사인 그래프의 변환으로 해석하고, 주기적인 현상에 사인곡선을 맞춘다.

함수로서의 사인과 코사인

삼각비와 단위원 수업에서는 임의의 각의 사인과 코사인을, 표준 위치에 있는 각의 동경이 단위원과 만나는 점 P(θ)P(\theta) 의 좌표로 정의하였다. 그런데 각과 그 측정 수업에 따르면, 모든 실수는 어떤 방향각의 라디안 크기이고, 두 각의 동경이 같은 것은 그 크기의 차가 2π2\pi 의 정수배일 때, 그리고 그때뿐이다. 그렇다면 사인과 코사인은 R\mathbb{R} 전체에서 정의된 함수로 볼 수 있다: 각 실수 xx 에 점 P(x)P(x) 의 좌표 하나를 대응시키는 것이다.

각 실수 xx 에 대하여, P(x)P(x) 를 표준 위치에 있는 xx 라디안의 각에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 사인 함수는 xx 에 P(x)P(x) 의 세로 좌표를 대응시키고, 코사인 함수는 그 가로 좌표를 대응시킨다. 두 함수 모두 정의역은 모든 실수의 집합이다.
P(x)=(cos⁡x,sin⁡x),x∈RP(x) = (\cos x, \sin x), \quad x \in \mathbb{R}

변수는 언제나 도가 아니라 라디안으로 측정한다. 이 선택은 아무래도 좋은 약속이 아니다: 둘째 절의 결과, 예를 들어 sin⁡x<x\sin x < x (xx 가 양수일 때) 은 사인을 변수 자체와 비교하는데, 이 비교는 xx 이 단위원 위에서 지나간 호의 길이일 때, 즉 1 라디안이 재는 것일 때에만 뜻이 있다.

정리사인과 코사인의 성질

사인의 치역과 코사인의 치역은 모두 구간 [−1,1]\icc{-1}{1} 이다. 모든 실수 xx 에 대하여 sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x 과 cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x 가 성립한다. 사인은 기함수이고 코사인은 우함수이다. 사인의 값이 영이 되는 곳은 정확히 π\pi 의 정수배이고, 값 11 을 갖는 곳은 정확히 수 π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi 이며, 값 −1-1 을 갖는 곳은 정확히 수 −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi 이다 (kk 은 정수). 코사인의 값이 영이 되는 곳은 정확히 수 π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi 이고, 값 11 를 갖는 곳은 정확히 수 2kπ2k\pi, 값 −1-1 를 갖는 곳은 정확히 수 π+2kπ\pi + 2k\pi 이다.

모든 것은 단위원 위에서, 피타고라스 항등식과 삼각비 수업에서 증명한 대칭성으로 읽어 낼 수 있다.

증명

  1. sin⁡2x=1−cos⁡2x≤1→−1≤sin⁡x≤1\sin^2 x = \resaltar{1 - \cos^2 x} \leq 1 \rightarrow \dato{c}{\resaltar{-1 \leq \sin x \leq 1}}

    피타고라스 항등식에 의해 사인의 제곱은 많아야 11 이므로, 사인은 −1-1 와 11 사이에 있다. 코사인도 마찬가지이다.

  2. Q=(1−c2,c),(1−c2)2+c2=1→ran⁡(sin⁡)=ran⁡(cos⁡)=[−1,1]Q = \left( \sqrt{1 - c^2}, c \right), \quad \resaltar{\left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 + c^2} = \resaltar{1} \rightarrow \operatorname{ran}(\sin) = \operatorname{ran}(\cos) = \icc{-1}{1}

    거꾸로, cc (단, −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1) 이 주어지면 아래의 점 QQ 은 단위원 위에 있다. 각과 그 측정 수업에서 받아들인 호의 길이에 따른 이동의 공리의 덮개 성질에 의해, 그것은 점 P(x)P(x) 이다 (xx 는 어떤 각). 따라서 sin⁡x=c\sin x = c 이다. 마찬가지로, 점 (c,1−c2)\left( c, \sqrt{1 - c^2} \right) 은 코사인이 값 cc 을 가짐을 보여 준다.

  3. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x

    xx 라디안의 각과 x+2πx + 2\pi 라디안의 각은 동경이 같으므로 P(x+2π)=P(x)P(x + 2\pi) = P(x) 이다. 또한 삼각비 수업에서 증명했듯이, P(−x)P(-x) 는 P(x)P(x) 를 가로축에 대하여 대칭이동한 점이다: 사인은 기함수, 코사인은 우함수이다.

  4. sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \quad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

    사인이 영이 되는 것은 P(x)P(x) 이 가로축 위에 있을 때, 즉 그것이 (1,0)(1, 0) 또는 (−1,0)(-1, 0) 일 때이다. 이들은 각 00 와 π\pi, 그리고 이들과 동경이 같은 각의 점이다. 코사인이 영이 되는 것은 P(x)P(x) 이 (0,1)(0, 1) 또는 (0,−1)(0, -1) 일 때이다.

  5. sin⁡x=1→cos⁡2x=1−1=0→P(x)=(0,1)\sin x = 1 \rightarrow \cos^2 x = \resaltar{1 - 1} = \resaltar{0} \rightarrow P(x) = (0, 1)

    sin⁡x=1\sin x = 1 이면, 피타고라스 항등식에 의해 코사인은 영이어야 하고, 점 P(x)P(x) 는 (0,1)(0, 1) 이며, 이는 각 π2\frac{\pi}{2} 에 대응한다. sin⁡x=−1\sin x = -1 이면, 점은 (0,−1)(0, -1) 이고, 이는 −π2-\frac{\pi}{2} 에 대응한다.

  6. sin⁡x=1↔x=π2+2kπ,sin⁡x=−1↔x=−π2+2kπ,cos⁡x=1↔x=2kπ,cos⁡x=−1↔x=π+2kπ\sin x = 1 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \sin x = -1 \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \cos x = 1 \leftrightarrow x = 2k\pi, \quad \cos x = -1 \leftrightarrow x = \pi + 2k\pi

    같은 추론으로, 코사인이 값 11 을 갖는 것은 P(x)=(1,0)P(x) = (1, 0) 일 때, 값 −1-1 을 갖는 것은 P(x)=(−1,0)P(x) = (-1, 0) 일 때이다. 정리하면, 사인과 코사인의 최댓값과 최솟값은 아래의 수에서 얻어진다 (kk 는 정수).

사인의 그래프

y=sin⁡xy = \sin x 의 그래프는 단위원을 가로축 위에 펼쳐서 얻는다: 점 P(x)P(x) 가 원을 따라 움직이는 동안, 지나간 호 (길이 xx) 를 가로축으로 옮기고 각 가로 좌표 위에 점의 높이를 세운다. 삼각비 수업의 대칭성에 의해, 그래프 전체를 처음 4분의 1로부터 만들 수 있다.

예시펼친 원으로서의 사인 그래프

그림은 단위원을 가로축 위에, 둘에 같은 길이 단위를 써서 펼친다: 점 P(x)P(x) 의 높이는 가로 좌표 xx 로 옮겨지고, 그래프 전체는 처음 4분의 1을 반복하고 대칭이동하여 얻어진다.

증명

  1. sin⁡0=0,sin⁡π2=1\sin 0 = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1

    xx 이 00 에서 π2\frac{\pi}{2} 까지 갈 때, 점 P(x)P(x) 는 (1,0)(1, 0) 에서 (0,1)(0, 1) 까지 제1사분면을 지나간다. 호의 길이에 따른 이동의 공리의 반바퀴 성질에 의해, 그 가로 좌표 cos⁡x\cos x 은 11 에서 00 까지 엄격하게 감소한다. 그 높이는 음이 아닌 제곱근 1−cos⁡2x\sqrt{1 - \cos^2 x} 이므로 00 에서 11 까지 엄격하게 증가한다. 역삼각함수 수업에서는 같은 논증을 구간 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 전체로 넓힌다.

  2. sin⁡π6=12,sin⁡π4=22,sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    삼각비 수업에서 계산한 특수각의 값은 첫 호의 중간 점 세 개를 준다.

  3. sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

    π2\frac{\pi}{2} 과 π\pi 사이에서는 보각의 대칭성에 의해 π−x\pi - x 에서의 높이가 xx 에서의 높이와 같다: 첫 호는 수직선 x=π2x = \frac{\pi}{2} 에 대하여 대칭이고, 내려가서 높이 00 에 이르며, 그때의 가로 좌표는 π\pi 이다.

  4. sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x + \pi) = -\sin x

    π\pi 과 2π2\pi 사이에서는 점 P(x+π)P(x + \pi) 이 P(x)P(x) 와 원점에 대하여 대칭인 점이다: 높이의 부호가 바뀌고, 그래프는 축 아래에서 이미 그린 호를 π\pi 만큼 평행이동하고 대칭이동한 것을 반복한다.

  5. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \sin(-x) = -\sin x

    주기성에 의해, 00 과 2π2\pi 사이의 부분은 한 사이클이라 부르며 오른쪽과 왼쪽으로 반복된다. 또 사인은 기함수이므로 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

사인의 그래프는 직선 y=−1y = -1 과 y=1y = 1 사이에서 진동하는 파동으로, π\pi 의 배수에서 가로축과 만나고, 수 π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi 에서 최댓값을, 수 −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi 에서 최솟값을 갖는다. 이는 위의 정리와 같다.

더욱이 그림은 두 가지 성질을 전제로 한다. 이 성질들은 펼친 원이 시사하지만 이 단원의 도구로는 증명할 수 없다: 그래프가 끊어지지 않은 곡선이라는 것, 그리고 축 위에 있는 각 호가 언제나 아래쪽으로 휜다는 것이다. 둘 다 극한으로 정의되며, 미적분학 I 강좌에서 증명된다. 여기서는 받아들인다. 이 단원의 어떤 정리도 이것들에 기대지 않는다: 이것들은 몇몇 문제에서만 쓰이며, 그 문제에서는 그 사실을 밝힌다.

증명 없이 받아들이는 사실 (삼각함수와 그 역함수의 연속성). 사인과 코사인은 수직선 전체에서 연속이다. 탄젠트, 시컨트, 코시컨트, 코탄젠트는 그 정의역에 포함된 각 구간에서 연속이다. 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트는 역삼각함수 수업에서 정의되며, 각자의 정의역에서 연속이다. 연속함수의 합, 곱, 분모가 영이 아닌 몫, 합성은 연속이다. 따라서 강좌 I에서 증명 없이 받아들이고 유리함수 수업에서 언급한 사잇값 정리에 관한 사실은, 정의역에 포함된 각 닫힌구간에서 sin⁡x−x10\sin x - \frac{x}{10}, tan⁡x−x\tan x - x 또는 arcsin⁡x+arctan⁡x\arcsin x + \arctan x 과 같은 함수에 적용된다: 양 끝에서 부호가 바뀌면 어떤 내부의 점에서 영이 된다.
증명 없이 받아들이는 사실 (사인이 위로 볼록함). 사인은 각 구간 [2kπ,(2k+1)π]\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi} (kk 는 정수) 에서 엄격하게 위로 볼록하다: u<x<vu < x < v 이 이 구간의 점이면, 가로 좌표 xx 인 그래프 위의 점은 가로 좌표 uu 와 vv 인 그래프 위의 점을 잇는 선분보다 엄격하게 위에 있다.
u<x<v→sin⁡x>(v−x)sin⁡u+(x−u)sin⁡vv−uu < x < v \rightarrow \sin x > \frac{(v - x) \sin u + (x - u) \sin v}{v - u}

주기함수

함수 ff 이 주기적이라는 것은, 어떤 수 p>0p > 0 가 있어서 정의역의 모든 xx 에 대하여 x+px + p 와 x−px - p 가 정의역에 속하고 f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x) 이 성립한다는 것이다. 이러한 수를 ff 의 주기라 한다. pp 이 주기이면 2p2p, 3p3p, 그리고 귀납법에 의해 그 모든 자연수배가 주기이다: f(x+2p)=f((x+p)+p)=f(x+p)=f(x)f(x + 2p) = f((x + p) + p) = f(x + p) = f(x). 따라서 주기함수는 무한히 많은 주기를 가지며, 가장 흥미로운 것은 그중 가장 작은 것 (존재한다면) 으로, 이를 최소 주기라 한다. 그 그래프는 주기와 같은 길이의 구간에 대응하는 부분을 반복하여 얻는다.

보조정리주기는 최소 주기의 배수이다

qq 이 함수 ff 의 최소 주기이면, ff 의 주기는 정확히 수 kqkq (kk 는 자연수) 이다.

임의의 주기를 qq 로 나누되, 나머지가 있는 나눗셈처럼 하여 나머지가 양수일 수 없음을 보인다. 그림은 최소 주기가 qq 인 함수를 쓴다.

증명

  1. f(x+kq)=f(x),k∈N\dato{m}{f(x + kq) = f(x)}, \quad k \in \mathbb{N}

    qq 의 각 자연수배는 주기이다. 이는 방금 귀납법으로 보았다.

  2. kq≤p<(k+1)q→0≤r=p−kq<q\resaltar{kq \leq p < (k + 1)q} \rightarrow \dato{r}{\resaltar{0 \leq r = p - kq < q}}

    거꾸로, pp 을 주기라 하자. qq 의 최소성에 의해 p≥qp \geq q 이다. 강좌 I의 유리수의 십진 표현 수업에서 증명한 실수의 아르키메데스 성질과 정렬성 원리에 의해, 각과 그 측정 수업의 첫 바퀴로의 환원 정리에서처럼, 자연수 k≥1k \geq 1 가 있어서 kq≤p<(k+1)qkq \leq p < (k + 1)q 이고, 나머지 r=p−kqr = p - kq 은 00 과 qq 사이에 있다 (뒤의 것은 제외).

  3. f(x+r)=f(x+r+kq)=f(x+p)=f(x)f(x + r) = f(x + \resaltar{r + kq}) = f(x + \resaltar{p}) = f(x)

    만약 rr 이 양수이면, 그것은 주기이다: rr 만큼 나아간 뒤 kqkq 만큼 물러나는 것은 pp 만큼 나아가는 것이고, kqkq 와 pp 은 모두 주기이기 때문이다.

  4. r=0→p=kqr = 0 \rightarrow p = kq

    그러나 qq 보다 작은 양의 주기는 qq 의 최소성에 모순된다. 따라서 나머지는 영이고, pp 은 qq 의 자연수배이다.

정리사인과 코사인의 최소 주기

수 2π2\pi 은 사인과 코사인의 최소 주기이다.

성질 정리에 의해 2π2\pi 은 두 함수의 주기이다. 00 와 2π2\pi 사이의 어떤 수도 주기가 아님을 보이면 되고, 이를 위해서는 최댓값을 어디서 갖는지 보는 것으로 충분하다.

증명

  1. sin⁡(π2+p)=sin⁡π2=1\dato{m}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + p \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1}

    pp (단, 0<p<2π0 < p < 2\pi) 이 사인의 주기라고 가정하자. 등식 sin⁡(x+p)=sin⁡x\sin(x + p) = \sin x 에 x=π2x = \frac{\pi}{2} 를 대입하면, 수 π2+p\frac{\pi}{2} + p 도 최댓값을 갖는 점이 된다.

  2. π2+p=π2+2kπ→p=2kπ\frac{\pi}{2} + p = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rightarrow p = 2k\pi

    성질 정리에 의해 사인이 값 11 을 갖는 곳은 수 π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi 뿐이다: 그러면 pp 은 2π2\pi 의 정수배가 되는데, 이는 00 와 2π2\pi 사이에서는 불가능하다. 바꿔 말하면, 사인의 이웃한 두 최댓값 점 사이의 거리는 정확히 2π2\pi 이다.

  3. cos⁡p=cos⁡0=1→p=2kπ\cos p = \cos 0 = 1 \rightarrow p = 2k\pi

    코사인에 대해서는 x=0x = 0 로 마찬가지로 생각한다: 주기 pp 는 cos⁡p=cos⁡0=1\cos p = \cos 0 = 1 을 주지만, 코사인이 값 11 를 갖는 곳은 2π2\pi 의 정수배뿐이다.

위의 보조정리에 의해, 사인과 코사인의 주기는 정확히 수 2kπ2k\pi (kk 는 자연수) 이다.

평행이동한 사인으로서의 코사인

코사인의 그래프에는 새로운 작도가 필요 없다. 그것은 사인의 그래프를 평행이동한 것이기 때문이다.

정리코사인은 평행이동한 사인이다

모든 실수 xx 에 대하여 cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) 가 성립한다. 따라서 y=cos⁡xy = \cos x 의 그래프는 사인의 그래프를 왼쪽으로 π2\frac{\pi}{2} 만큼 평행이동한 것이다.

여각과 보각의 대칭성을 결합하고, 이어서 강좌 I의 함수의 연산 수업의 변환 정리를 쓴다.

증명

  1. cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \dato{c}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right)}

    여각의 대칭성에 의해 xx 의 코사인은 π2−x\frac{\pi}{2} - x 의 사인이다.

  2. cos⁡x=sin⁡(π−(π2−x))=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( \resaltar{\pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right)} \right) = \dato{t}{\sin \left( \resaltar{x + \frac{\pi}{2}} \right)}

    보각의 대칭성에 의해 sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi - u) = \sin u 이다. u=π2−xu = \frac{\pi}{2} - x 라 두면, 각 π−u\pi - u 은 π2+x\frac{\pi}{2} + x 이다.

  3. y=sin⁡(x−(−π2))y = \sin \left( x - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

    변환 정리에 의해, y=f(x−h)y = f(x - h) 의 그래프는 ff 의 그래프를 가로 방향으로 hh 만큼 평행이동한 것이다. 여기서 ff 는 사인이고 h=−π2h = -\frac{\pi}{2} 이다: 사인 그래프의 각 점은 왼쪽으로 π2\frac{\pi}{2} 만큼 옮겨진다. 최댓값 점 (π2,1)\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) 은 (0,1)(0, 1) 로 옮겨진다.

  4. cos⁡(−x)=cos⁡x,cos⁡0=1,cos⁡π=−1\cos(-x) = \cos x, \quad \cos 0 = 1, \quad \cos \pi = -1

    평행이동한 그래프에서 코사인의 성질을 읽어 낼 수 있다: 코사인은 우함수이므로 그래프는 세로축에 대하여 대칭이고, 수 π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi 에서 가로축과 만나며, 최댓값 11 를 갖는 곳은 π\pi 의 짝수배, 최솟값 −1-1 를 갖는 곳은 홀수배이다.