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Topos Uranos
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사잇값 정리

요약

이 수업은 구간에서 연속인 함수에 관한 첫 번째 큰 정리를 증명한다. 연속함수는 한 값에서 다른 값으로 넘어갈 때 그 사이의 모든 값을 취하지 않고는 넘어갈 수 없다. 먼저 완비성 공리로 볼차노 정리를 증명하는데, 이 정리는 함수의 부호가 바뀔 때 영점이 있음을 보장한다. 이로부터 사잇값 정리, 구간의 상이 구간이라는 사실, 연속이고 엄격하게 단조인 함수의 역함수가 연속이라는 사실이 따라 나오며, 이 마지막 결과는 역함수의 도함수에 필요하다. 정리는 영점이 어디에 있는지 말해 주지 않지만, 이분법은 원하는 만큼의 정밀도로 그 위치를 찾아낸다. 이 수업은 정리를 방정식의 근의 존재, 홀수 차수의 다항식, 부동점에 적용한다.

학습 목표

  1. 완비성 공리로 볼차노 정리를 증명하고, 이로부터 사잇값 정리를 이끌어 낸다.
  2. 연속함수에 의한 구간의 상이 구간임을 증명하고, 연속이고 엄격하게 단조인 함수의 역함수의 연속성을 이끌어 낸다.
  3. 정리를 이용하여 방정식의 해의 존재를 증명하고, 이분법으로 해의 위치를 찾아낸다.

볼차노 정리

구간에서 연속인 함수의 그래프는 직관적으로 떠올리면 연필을 떼지 않고 그려진다. 축 아래에서 시작하여 축 위에서 끝난다면 축을 가로질러야 한다. 이 직관에는 증명이 필요한데, 실수에 의존하기 때문이다. 함수 x2−2x^2 - 2는 00에서 음이고 22에서 양이지만, 유리수만 생각한다면 결코 영이 되지 않는다. 2\sqrt{2}가 유리수가 아니기 때문이다. 따라서 증명은 상한을 통해 완비성 공리를 사용한다.

정리볼차노 정리

ff가 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이고 f(a)<0<f(b)f(a) < 0 < f(b)이라 하자. 그러면 cc((a,b)\ioo{a}{b}의 점)가 존재하여 f(c)=0f(c) = 0이다. f(a)>0>f(b)f(a) > 0 > f(b)일 때도 마찬가지이다. 함수가 음인 점들의 상한을 잡는다. 극한과 연속성에 관한 수업의 부호 보존에 의해, 함수는 그 점에서 음일 수도 양일 수도 없다. 그림은 그 점들의 집합과 그 상한을 보여 주고, 이어서 불가능한 두 경우를 보여 준다.

증명

  1. S={x∈[a,b]:f(x)<0},c=sup⁡SS = \left\{ x \in \icc{a}{b} : f(x) < 0 \right\}, \qquad c = \resaltar{\sup S}

    SS를 xx([a,b]\icc{a}{b}의 원소) 가운데 f(x)<0f(x) < 0인 것 전체의 집합이라 하자. 이 집합은 aa를 포함하므로 공집합이 아니고, bb는 상계이다. 완비성 공리에 의해 이 집합은 상한 cc를 가지며, a≤c≤ba \leq c \leq b이다.

  2. f(c)<0→c+δ2∈S,c+δ2>cf(c) < 0 \rightarrow c + \frac{\delta}{2} \in S, \qquad c + \frac{\delta}{2} > c

    f(c)<0f(c) < 0이면 c≠bc \neq b이다. f(b)>0f(b) > 0이기 때문이다. 부호 보존에 의해 ff는 [c,c+δ)\ico{c}{c + \delta}에서 음이다. 여기서 δ>0\delta > 0은 적당한 수이며, c+δ≤bc + \delta \leq b이 되도록 잡을 수 있다. 그러면 SS는 cc보다 큰 점을 포함하므로, cc는 상계가 아니게 된다.

  3. f(c)>0→sup⁡S≤c−δ<c,f(c)=0f(c) > 0 \rightarrow \sup S \leq c - \delta < c, \qquad \resaltar{f(c) = 0}

    f(c)>0f(c) > 0이면 c≠ac \neq a이다. 부호 보존에 의해 ff는 (c−δ,c]\ioc{c - \delta}{c}에서 양이다. 여기서 δ>0\delta > 0은 적당한 수이며, c−δ≥ac - \delta \geq a이 되도록 잡을 수 있으므로, 이 구간의 어떤 점도 SS에 속하지 않는다. cc보다 큰 점도 속하지 않으므로, 수 c−δc - \delta는 상한보다 작은 상계가 된다. 따라서 f(c)=0f(c) = 0이고, cc는 aa도 bb도 아니다. 둘째 경우는 −f-f를 생각하면 첫째 경우로 귀착된다.