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Topos Uranos
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미분법의 공식

요약

이 수업에서는 카라테오도리의 특성화로부터, 매번 평균변화율로 돌아가지 않고 미분할 수 있게 해 주는 공식들을 이끌어 낸다. 일차결합, 곱, 역수, 몫의 미분법이다. 각 공식은 같은 방식으로 얻어진다. 새 함수의 증분을 x−ax - a와의 곱으로 쓰되 그 인수는 aa에서 연속이며, aa에서의 그 인수의 값이 미분계수이다. 이 공식들로 정수 지수의 거듭제곱, 다항식, 유리함수를 미분한다. 수업은 구간별로 정의된 함수로 끝난다. 각 조각의 내부에서는 그 조각의 식이 결정하고, 연결점에서는 한쪽 미분계수가 결정하는데, 이는 식들의 미분계수와 항상 같지는 않다.

학습 목표

  1. 카라테오도리의 특성화로 일차결합, 곱, 역수, 몫의 미분법을 증명한다.
  2. 정수 지수의 거듭제곱, 다항식, 유리함수를 미분하고, 각 도함수의 정의역을 밝힌다.
  3. 구간별로 정의된 함수가 연결점에서 미분가능한지를 한쪽 미분계수로 판정한다.
  4. 공식의 가정 가운데 충분한 것과 필요한 것을 구별하고, 각 조각의 식의 도함수가 함수의 도함수를 주지 않는 경우를 알아본다.

미분계수는 점 근처에서 일어나는 일에만 의존한다

극한으로서의 도함수에 관한 수업에서는 각 미분계수를 평균변화율로 계산하였다. x3−2xx2+1\frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1} 같은 함수에서는 그 계산이 길다. 오히려 미분계수가 연산에 대해 어떻게 행동하는지 아는 것이 좋다. 이 수업의 모든 공식은 같은 수업의 카라테오도리의 특성화에 기초한다. ff가 aa에서 미분가능하고 f′(a)=Lf'(a) = L인 것은, 함수 φ\varphi로서 aa에서 연속이고 φ(a)=L\varphi(a) = L이며 f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)이 정의역의 모든 xx에 대해 성립하는 것이 존재할 때, 그리고 그때에 한한다. 따라서 함수가 aa에서 미분가능함을 보이려면, 그 증분을 x−ax - a와의 곱으로, aa에서 연속인 인수를 써서 나타내면 된다. aa에서의 그 인수의 값이 미분계수이다. 극한과 연속성에 관한 수업의 연속함수의 연산 정리가 인수의 연속성을 보장한다.

먼저 정의역에 관한 문제를 해결해 두자. 두 함수의 정의역은 다를 수 있으며, 몫 fg\frac{f}{g}는 gg가 영이 되지 않는 곳에서만 정의된다. 아래의 보조정리는, 점이 집적점으로 남아 있는 한 정의역을 줄여도 미분계수가 변하지 않으며, 미분계수가 점 근처의 값에만 의존함을 말해 준다.

보조정리미분계수의 국소성

ff를 AA에서 정의된 함수, aa를 AA의 원소, BB를 AA의 부분집합으로서 aa를 포함하는 것, FF를 ff의 BB로의 제한이라 하자.

  • aa가 BB의 집적점이고 ff가 aa에서 미분가능하면, FF는 aa에서 미분가능하며 F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a)이다.
  • aa가 AA의 집적점이고, 어떤 δ>0\delta > 0이 존재하여 모든 xx(AA의 원소로서 ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta을 만족하는 것)가 BB에 속하면, ff가 aa에서 미분가능한 것은 FF가 그러할 때, 그리고 그때에 한하며, 이 경우 F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a)이다.

첫째 주장은 극한의 연산 법칙의 제한의 극한 보조정리이고, 둘째 주장은 극한의 정의가 가까운 점들만 본다는 것이다.

증명

  1. x∈B∖{a}→F(x)−F(a)x−a=f(x)−f(a)x−ax \in B \setminus \{a\} \rightarrow \frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \resaltar{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}

    FF의 평균변화율은 B∖{a}B \setminus \{a\}로의 제한, 곧 ff의 평균변화율을 제한한 것이다. aa가 BB의 집적점이면, 극한의 연산 법칙에 관한 수업의 제한의 극한 보조정리에 의해 같은 극한이 얻어진다.

  2. x∈A∧0<∣x−a∣<min⁡{δ,δ′}→∣f(x)−f(a)x−a−L∣<εx \in A \wedge 0 < \abs{x - a} < \min\{\delta, \delta'\} \rightarrow \resaltar{\abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon}

    둘째 경우에는, AA의 점으로서 aa와 다르고 거리가 δ\delta보다 작은 것은 모두 BB에 속한다. aa가 AA의 집적점이므로 BB의 집적점이기도 하며, 첫째 주장이 한쪽 함의를 준다. 다른 쪽에 대해서는, F′(a)=LF'(a) = L이면 ε>0\varepsilon > 0를 잡고 δ′\delta'을 FF의 평균변화율에 대한 응답이라 하자. δ\delta와 δ′\delta' 중 작은 것은 ff의 평균변화율에 대한 응답이다. 두 평균변화율은 그것이 덮는 xx에서 일치하기 때문이다.

둘째 주장으로부터, AA에서 정의된 두 함수가 AA의 점 가운데 aa에 가까운 것들에서 일치하면, 둘 다 aa에서 미분가능하고 미분계수가 같거나, 둘 다 미분가능하지 않다. 두 함수는 그 점들로의 제한이 같기 때문이다. 또 첫째 주장으로부터, ff와 gg의 정의역이 다르지만 둘 다 점 aa를 포함하면, 정의역들의 교집합에서 다룰 수 있다. 단, aa가 그 교집합의 집적점이어야 한다. 그래서 아래에서는 ff와 gg가 같은 집합 AA에서 정의되어 있다고 가정한다.