명제 논리의 언어

집합에서 필요한 것

형식 언어는 무엇보다도 기호열의 모임이다. 그렇다면 그것에 대해 정확하게 말하려면 모임에 관한 어휘가 필요하다. 그 어휘가 집합의 어휘이며, 이 수업은 그 가운데 강좌에서 쓸 것만 가져온다. 집합은 대상들의 모임으로, 그 대상들을 집합의 원소라 하며, 집합은 원소에 의해 결정된다. 곧 같은 원소를 가진 두 집합은 같은 집합이다. 대상 $a$가 집합 $A$의 원소라는 것은 $a \in A$로 쓰고 “$a$는 $A$에 속한다”라고 읽는다. 원소가 아니라는 것은 $a \notin A$로 쓴다.

집합을 주는 방법은 두 가지이다. 원소나열법은 원소를 하나씩 중괄호 안에 나열하며, 순서와 반복은 상관없다. 조건제시법은 원소들이 만족하고 오직 원소들만이 만족하는 조건을 진술하며, 이때 쌍점은 “인”이라고 읽는다. 예를 들어 $5$보다 작은 자연수들은 다음 집합을 이룬다.

조건제시법의 한 변형으로 앞으로 자주 쓰는 것은 원소를 그 꼴로 기술한다. $\{ 2n : n \in \mathbb{N} \}$은 $2n$($n$은 자연수) 꼴의 수 전체의 집합, 곧 짝수의 집합이다. 원소나열법으로 주어진 집합은 반드시 유한하다. 조건제시법으로는 무한집합도 줄 수 있으며, 짝수의 집합이 그 예이다.

$A$가 $B$에 포함된다고 하고 $A \subseteq B$로 쓰는 것은 $A$의 모든 원소가 $B$의 원소일 때이다. 이로부터 두 집합이 같을 필요충분조건은 각각이 다른 하나에 포함되는 것임이 따라 나온다. 그때 두 집합은 같은 원소를 가지기 때문이다. 그리고 실제로 이것이 집합의 상등을 증명하는 통상적인 방법이다. 곧 두 포함을 보인다. 끝으로 합집합 $A \cup B$는 $A$에 속하거나 $B$에 속하거나 둘 다에 속하는 대상 전체의 집합이다. 따라서 두 집합은 각각 그 합집합에 포함된다.