동치인 무한소와 무한대

요약

이 수업은 앞에서 다룬 거의 모든 것을 모으는 계산 기법, 즉 영이나 무한대로 가는 함수들의 비교로 극한 단원을 마무리한다. 스몰 오 $o$ , 빅 오 $O$ , 같은 차수, 동치를 정의하고, 곱이나 몫에서 각 인수를 극한을 바꾸지 않고 동치인 다른 인수로 치환할 수 있음을 증명한다. 앞선 수업들에서 증명한 삼각함수의 극한, 지수함수·로그함수·거듭제곱의 극한, 다항식의 극한은 동치 무한소 표로 모이며, 이 표를 쓰면 전에는 여러 번의 변형이 필요했던 극한을 한눈에 계산할 수 있다. 이 수업은 또한 이 기법에서 가장 흔한 오류인 합 안에서의 치환과, 합을 실제로 치환해도 되는 경우, 그리고 영 근처와 원점에서 먼 곳에서 거듭제곱을 비교하는 방법을 보여 준다.

학습 목표

한 점에서, 한쪽에서 또는 무한대에서 함수의 스몰 오 $o$ , 빅 오 $O$ , 같은 차수, 동치를 정의하고, 그 성질을 증명한다.
곱과 몫에서 동치 치환 정리를 증명하고, 그것이 합에서는 성립하지 않는 이유를 이해한다.
영에서의 동치 무한소 표를 증명하고, 이를 합성과 함께 사용하여 극한을 계산하고 무한소의 차수와 주요부를 구한다.
거듭제곱 꼴의 무한대와 무한소를 비교하고, 동치와 점근선의 존재를 구별한다.

함수 비교하기

조임 정리에 관한 수업과 무한 극한에 관한 수업은 $\frac{0}{0}$ 꼴과 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴이 정해진 결과를 갖지 않음을 보였다. 영으로 가는 두 함수의 몫의 극한은 그 함수들이 얼마나 빨리 영으로 가는지에 달려 있다. 이 수업의 생각은 각 함수를 더 간단한 다른 함수와 비교하여 그 빠르기를 재는 것이다. 무한 극한에 관한 수업에서처럼 $P$ 는 변수의 목표( $a$ , $a^+$ , $a^-$ , $\infty$ 또는 $-\infty$ )를 나타내고, 「 $P$ 근처에서」는 구멍 뚫린 근방에서, 한쪽에서, 또는 반직선 위에서라는 뜻이다. 함수가 어떤 집합 $A$ ( $a$ 는 그 집적점)에서만 정의되어 있으면, 「 $a$ 근처에서」는 $A$ 의 점 가운데 중심이 $a$ 인 구멍 뚫린 근방에 속하는 점에서라는 뜻이고, 극한은 실변수 함수의 극한에 관한 수업의 극한을 $A$ 위에서 취한 것이다. 아래의 정의들은 이 경우에도 똑같이 적용된다.

정의함수의 비교

$f$ 와 $g$ 를 $P$ 근처에서 정의된 함수라 하고, $g(x) \neq 0$ 이 $P$ 근처에서 성립한다고 하자.

$f$ 는 $g$ 에 비해 $P$ 에서 무시할 수 있다고 하고, $f = \operatorname{o}(g)$ 로 쓰며 「 $f$ 는 $g$ 의 스몰 오」라고 읽는다. 조건은 $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ 이다.
$f$ 는 $g$ 로 $P$ 에서 유계라고 하고, $f = \operatorname{O}(g)$ 로 쓰며 「 $f$ 는 $g$ 의 빅 오」라고 읽는다. 조건은 어떤 $C > 0$ 이 존재하여 $\abs{f(x)} \leq C\abs{g(x)}$ 가 $P$ 근처에서 성립하는 것이다. 즉, 몫 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 가 $P$ 근처에서 유계라는 것이다.
$f$ 와 $g$ 가 $P$ 에서 같은 차수라는 것은 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 가 영이 아닌 수로 간다는 것이다.
$f$ 와 $g$ 는 $P$ 에서 동치라고 하고, $f \sim g$ 로 쓴다. 조건은 $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ 이다.

$0$ 으로 가는 함수( $P$ 에서)를 $P$ 에서의 무한소라 하고, $\infty$ 또는 $-\infty$ 로 발산하는 함수를 무한대라 한다. $0$ 에서의 무한소가 차수 $k > 0$ 을 갖는다는 것은 그것이 $x^k$ 과 같은 차수라는 것이다( $0^+$ 에서, 단 $x^k$ 이 $x > 0$ 에 대해서만 정의되는 경우). 이때 $\frac{f(x)}{x^k}$ 가 $c$ 로 가면, 함수 $c\,x^k$ 이 그 주요부이다: $f \sim c\,x^k$ .

「무한소」라는 말은 아주 작은 수가 아니라 영으로 가는 함수를 가리킨다. 표기 $\operatorname{o}(g)$ 는 특정한 함수가 아니라 $g$ 에 비해 무시할 수 있는 함수들 가운데 아무것이나 가리킨다. 예를 들어 $x^2 = \operatorname{o}(x)$ ( $0$ 에서)이다. $\frac{x^2}{x} = x$ 가 $0$ 으로 가기 때문이다. 반면 $x = \operatorname{o}(x^2)$ ( $\infty$ 에서)이다. $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ 가 $0$ 으로 가기 때문이다. 같은 함수 쌍이 목표에 따라 반대 방식으로 비교된다. 같은 차수와 동치는 근본적으로 하나의 비교이다. $f$ 와 $g$ 가 같은 차수이고 몫이 $c$ 로 가면 $f \sim c\,g$ 이다.

명제비교의 성질

같은 목표 $P$ 에서:

동치는 반사적, 대칭적, 추이적이다: $f \sim f$ ; $f \sim g$ 이면 $g \sim f$ ; 그리고 $f \sim g$ 이고 $g \sim h$ 이면 $f \sim h$ ;
$f \sim g$ 일 필요충분조건은 $f - g = \operatorname{o}(g)$ 이다; 특히 $h = \operatorname{o}(g)$ 이면 $g + h \sim g$ ;
$f = \operatorname{o}(h)$ 이고 $g = \operatorname{o}(h)$ 이면, $f + g = \operatorname{o}(h)$ 이고 $c\,f = \operatorname{o}(h)$ 이다( $c$ 는 임의의 실수).

각 주장은 극한의 연산 법칙의 한 법칙을 몫에 적용한 것이다.

증명

$\frac{g}{f} = \frac{1}{\frac{f}{g}} \to 1, \qquad \frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} \to 1 \cdot 1 = \resaltar{1}$
$f$ 를 자기 자신으로 나눈 몫은 $1$ 이다. $\frac{f}{g}$ 가 $1$ 로 가면 역수의 법칙에 의해 그 역수는 $\frac{1}{1} = 1$ 로 간다. $\frac{f}{g}$ 와 $\frac{g}{h}$ 가 $1$ 로 가면 곱의 법칙에 의해 그 곱도 같은 값으로 간다.
$\frac{f - g}{g} = \frac{f}{g} - 1 \to 0 \Leftrightarrow \frac{f}{g} \to \resaltar{1}$
$f - g$ 를 $g$ 로 나눈 몫은 $\frac{f}{g} - 1$ 이고, 이것이 $0$ 으로 가는 것은 $\frac{f}{g}$ 가 $1$ 로 갈 때 그리고 그때에 한한다. $f = g + h$ 로 두면 차는 $h$ 이다.
$\frac{f + g}{h} = \frac{f}{h} + \frac{g}{h} \to 0 + 0 = \resaltar{0}$
$\frac{f}{h}$ 와 $\frac{g}{h}$ 가 $0$ 으로 가면, 일차결합의 법칙에 의해 그 합과 각각의 상수배도 같은 값으로 간다.

빅 오 $O$ 는 몫이 극한을 가질 것을 요구하지 않고, 한없이 커지지 않을 것만을 요구한다. 예를 들어 $\sin x = \operatorname{O}(1)$ ( $\infty$ 에서)이고, 거기서 $\sin x$ 는 극한을 갖지 않는데도 그렇다. 또 $x \sin \frac{1}{x} = \operatorname{O}(x)$ ( $0$ 에서)인데, $\abs{x \sin \frac{1}{x}} \leq \abs{x}$ 이기 때문이다. 극한을 계산하는 데는 스몰 오 $o$ 로 충분하다. 빅 오 $O$ 는 테일러 다항식의 오차 같은 근사 오차를 재는 데 쓰이며, 이는 미적분학 II에서 공부한다. 그 규칙은 아래와 같다.

명제빅 오의 규칙

같은 목표 $P$ 에서:

$\frac{f}{g}$ 가 $P$ 에서 유한한 극한을 가지면 $f = \operatorname{O}(g)$ ; 특히 $f = \operatorname{o}(g)$ 이거나 $f \sim g$ 인 경우에도 그렇다;
$f = \operatorname{O}(h)$ 이고 $g = \operatorname{O}(h)$ 이면, $f + g = \operatorname{O}(h)$ 이고 $c\,f = \operatorname{O}(h)$ ( $c$ 는 임의의 실수);
$f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ 이고 $f_2 = \operatorname{O}(g_2)$ 이면 $f_1 f_2 = \operatorname{O}(g_1 g_2)$ ;
$f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ 이고 $f_2 = \operatorname{o}(g_2)$ 이면 $f_1 f_2 = \operatorname{o}(g_1 g_2)$ .

각 규칙은 절댓값 사이의 부등식이다. 마지막 규칙은 상계와 영으로 가는 몫을 결합한다.

증명

$\abs{\frac{f(x)}{g(x)}} \leq \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} + \abs{L} < \resaltar{\abs{L} + 1}$
$\frac{f}{g}$ 가 $L$ 로 가면 도전 $\varepsilon = 1$ 에는 응답이 있다. $P$ 근처에서 몫과 $L$ 사이의 거리는 $1$ 보다 작고, 삼각부등식에 의해 그 절댓값은 $\abs{L} + 1$ 을 넘지 않는다.
$\abs{f(x) + g(x)} \leq C_1\abs{h(x)} + C_2\abs{h(x)} = \resaltar{(C_1 + C_2)\abs{h(x)}}$
상계 $C_1$ ( $f$ 의)과 상계 $C_2$ ( $g$ 의)는 $P$ 근처에서, 즉 두 근방의 공통부분에서 동시에 성립한다. 삼각부등식이 합의 상계를 준다. 상수배의 상계는 $\abs{c}\,C_1$ 이다.
$\abs{f_1(x) f_2(x)} \leq C_1\abs{g_1(x)} \cdot C_2\abs{g_2(x)} = \resaltar{C_1 C_2 \abs{g_1(x) g_2(x)}}$
두 인수의 상계를 곱한다.
$0 \leq \abs{\frac{f_1(x) f_2(x)}{g_1(x) g_2(x)}} \leq C_1 \abs{\frac{f_2(x)}{g_2(x)}} \to \resaltar{0}$
곱을 $g_1 g_2$ 로 나눈 몫은 $C_1$ 로 유계인 몫과 $0$ 으로 가는 다른 몫의 곱이다. 조임 정리에 의해 이것은 $0$ 으로 간다.