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Topos Uranos
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뉴턴-랩슨 방법

요약

볼차노 정리는 부호가 바뀌는 연속함수가 근을 가짐을 보장하고, 이분법은 한 번 이등분할 때마다 이진 자릿수를 하나씩 얻으며 그 근의 위치를 찾아낸다. 이 수업은 잘 작동할 때 훨씬 빠른 방법을 공부한다. 바로 뉴턴-랩슨 방법으로, 그래프를 접선으로 바꾸어 놓고 접선이 축과 만나는 점을 새 근삿값으로 삼는 방법이다. 이렇게 얻은 근삿값들은 정수 n≥0n \geq 0에 대하여 하나씩 차례로 정의되며, 그 극한은 수열의 이론 없이 변수가 무한대로 갈 때의 극한의 정의로 이해된다. 이 수업은 아래로 볼록함을 이용하여, 도함수가 0이 되지 않고 함수가 아래로 볼록하거나 위로 볼록하면 알맞은 쪽에서 출발한 반복값들이 근을 넘지 않으면서 근에 가까워지고 근에 수렴함을 증명한다. 또 평균값 정리를 이용하여, 계산할 수 있는 함수의 값이 알 수 없는 근까지의 거리의 상계가 됨을 증명한다. 이어서 수치 예를 통해 정확한 자릿수가 반복할 때마다 두 배가 됨을 보이고, 방법이 실패하는 경우로 도함수가 0인 경우, 순환, 발산을 보인다. 문제들은 나눗셈 없이 세제곱근과 역수를 계산하고, 순환을 끊고, 이중근을 조사하며, 아크탄젠트에 대하여 수렴과 발산 사이의 정확한 경계를 구한다.

학습 목표

  1. 미분가능한 함수의 뉴턴-랩슨 반복값을 계산하고, 그 안에서 접선과 축의 교점을 알아본다.
  2. 도함수가 0이 되지 않고 함수가 아래로 볼록하거나 위로 볼록할 때 반복값의 단조 수렴을 증명하고, 알맞은 쪽에서 초깃값을 고른다.
  3. 근삿값에서 근까지의 거리를 함수의 값과 도함수의 하계로 제한한다.
  4. 방법이 실패하는 경우를 알아보고, 빠르기와 확실성의 면에서 이분법과 비교한다.

반복

ff를 미분가능한 함수라 하고 그 근 rr을 구한다고 하며, x0x_0을 첫 근삿값이라 하자. x0x_0 근처에서 ff의 그래프는 그 접선 y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)과 닮았다. 이는 극한으로서의 도함수에 관한 수업의 접선의 정의에 따른 것이다. 고계도함수와 미분에 관한 수업의 미분으로 말하면, 증분 f(x0+Δx)−f(x0)f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)은 f′(x0)Δxf'(x_0) \Delta x와 닮았다. f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0이면 접선은 축과 한 점에서만 만나며, 그 점을 새 근삿값으로 삼는 것이 자연스럽다. 접선의 방정식을 0으로 놓으면 그 점을 얻는다. 얻은 점에서 같은 과정을 반복하는 것이 뉴턴-랩슨 방법이다.

정의뉴턴-랩슨 반복값

ff를 구간 II에서 미분가능한 함수라 하고, x0x_0을 II의 점이라 하자. x0x_0에서 시작하는 뉴턴-랩슨 반복값이란 아래 식으로 하나씩 차례로 정의되는 수들이다.

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

단, xnx_n이 II에 속하고 f′(xn)≠0f'(x_n) \neq 0인 동안에 한한다. 이 조건들이 모든 정수 n≥0n \geq 0에 대하여 성립하면, 반복값들은 함수 n↦xnn \mapsto x_n을 이루며, 이 함수는 음이 아닌 정수 전체의 집합(위로 유계가 아니다)에서 정의되므로, 변수가 무한대로 갈 때의 극한에 관한 수업의 변수가 무한대로 갈 때의 극한의 정의를 여기에 적용할 수 있다. 반복값들이 rr에 수렴한다는 것은 lim⁡n→∞xn=r\lim_{n \to \infty} x_n = r이라는 것, 곧

(∀ε>0)(∃M)(∀n≥0)(n>M→∣xn−r∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists M)(\forall n \geq 0)\left(n > M \rightarrow \abs{x_n - r} < \varepsilon\right)

각 반복값은 (xn,f(xn))(x_n, f(x_n))에서의 접선과 축의 교점이다. y=0y = 0, x=xn+1x = x_{n+1}을 방정식 y=f(xn)+f′(xn)(x−xn)y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)에 대입하여 풀면 정의의 식을 얻는다. 이 방법은 이분법처럼 주어진 구간에서 함수의 부호가 바뀔 것을 요구하는 것이 아니라, 함수가 미분가능하고 지나가는 점들에서 도함수가 0이 되지 않을 것을 요구한다. 그 대신 반복값들이 근에 가까워진다는 것을 미리 보장해 주는 것은 아무것도 없다. 아래에서는 이를 보장하는 조건을 준다.

예시2의 제곱근

f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2에 뉴턴-랩슨 방법을 x0=2x_0 = 2에서부터 적용한다. 단계들은 처음 세 접선과 그것들이 축과 만나는 점을 보여 준다.

증명

  1. xn+1=xn−xn2−22xn=12(xn+2xn),x1=32x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right), \qquad \resaltar{x_1 = \frac{3}{2}}

    도함수는 f′(x)=2xf'(x) = 2x이며, x>0x > 0이면 0이 되지 않는다. 반복은 아래의 꼴이 된다. 각 근삿값은 바로 앞의 근삿값과, 22를 그것으로 나눈 값의 평균이다. x0=2x_0 = 2에서 접선 y=2+4(x−2)y = 2 + 4(x - 2)는 축과 32\frac{3}{2}에서 만난다.

  2. x2=12(32+43)=1712≈1.416667x_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\right) = \resaltar{\frac{17}{12}} \approx 1.416667

    (32,14)\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right)에서의 접선은 근에 훨씬 가까운 곳에서 축과 만난다.

  3. x3=12(1712+2417)=577408≈1.4142157,2≈1.4142136x_3 = \frac{1}{2}\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right) = \resaltar{\frac{577}{408}} \approx 1.4142157, \qquad \sqrt{2} \approx 1.4142136

    세 번째 반복값은 벌써 정확한 소수 자릿수를 다섯 개 가진다. 오차 xn−2x_n - \sqrt{2}는 약 0.590.59, 0.0860.086, 0.00250.0025, 0.00000210.0000021이며, 각각은 바로 앞 오차의 제곱 정도이다.

이 예의 오차는 정확히 제곱이 된다. 반복의 식으로부터 모든 xn>0x_n > 0에 대하여 아래 항등식을 얻는다.

xn+1−2=xn2−22 xn+22xn=(xn−2)22xnx_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{x_n^2 - 2\sqrt{2}\,x_n + 2}{2x_n} = \frac{\left(x_n - \sqrt{2}\right)^2}{2x_n}

따라서 첫째 것부터 모든 반복값은 2\sqrt{2} 이상이고, xn≥1x_n \geq 1이면 새 오차는 현재 오차의 제곱의 절반 이하이다. 네 번째 반복값 x4=665 857470 832x_4 = \frac{665\,857}{470\,832}은 정확한 소수 자릿수를 열한 개 가진다. 22를 임의의 양수로 바꾸면 같은 과정으로 제곱근을 계산할 수 있다. 이 방법은 이미 1세기 알렉산드리아의 헤론의 측량술에 나타나며, 그래서 헤론의 방법이라고도 한다.

아이작 뉴턴은 1669년에 다항방정식에 대한 자신의 방법을 기술했는데, 그 글은 필사본으로 돌다가 1711년에 출판되었다. 조지프 랩슨은 1690년에 더 간단한 설명을 발표했고, 토머스 심프슨은 1740년에 이를 일반 방정식에 대한 반복법으로 제시했다.