각과 그 측정: 육십분법과 호도법

유향각

초등기하학에서 각은 시작점을 공유하는 두 반직선이 이루는 도형이며, 그 크기는 $0^\circ$와 $180^\circ$ 사이에 있다. 바퀴의 회전, 시계 바늘의 회전, 자전축을 중심으로 한 지구의 회전과 같은 회전을 연구하는 데에는 이 개념으로 충분하지 않다. 얼마나 돌았는지, 어느 방향으로 돌았는지가 중요하며, 회전은 여러 바퀴를 돌 수도 있다. 그래서 각을 회전의 결과로 생각한다.

유향각은 시초선이라 부르는 반직선이 꼭짓점이라 부르는 그 시작점을 중심으로 회전하여 동경이라 부르는 마지막 위치를 차지할 때, 그 반직선과 수행된 회전에 의해 정해진다. 회전이 시계 바늘이 도는 방향과 반대로(시계 반대 방향) 이루어지면 각은 양이고, 시계 바늘이 도는 방향으로(시계 방향) 이루어지면 음이다. 영각은 회전하지 않는 각이다.

같은 한 쌍의 변에 많은 유향각이 대응할 수 있다. 시계 반대 방향으로 사분의 일 바퀴를 돌아도, 시계 방향으로 사분의 삼 바퀴를 돌아도, 사분의 일 바퀴에 한 바퀴를 더 돌아도 동경은 같은 위치를 차지한다. 이 각들은 같은 변에서 끝나더라도 서로 다른 회전을 나타내므로 서로 다른 각이다. 이들이 어떻게 관련되는지는 이 수업의 세 번째 부분에서 밝힌다.

육십분법

가장 오래된 각의 측정법은 한 바퀴를 $360$개의 같은 호로 나누고, 그 각각에 대한 각을 도라 부른다. 각의 크기가 $g$도라는 것은 그 호가 1도의 호의 $g$배라는 뜻이며, 따라서 도로 나타낸 크기는 호의 길이에 비례한다. 1도는 $60$분으로, 1분은 $60$초로 나뉜다. 이 체계는 육십을 밑으로 하여 수를 세던 바빌로니아 천문학에서 유래하며, 이에 관해서는 강좌 I의 위치적 기수법에 관한 수업에서 설명하였다. 수 $360$은 무엇보다도 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$, $12$로 나누어떨어진다는 장점이 있다. 직각은 $90^\circ$, 평각은 $180^\circ$, 한 바퀴는 $360^\circ$이다. 음의 각은 음의 부호를 붙여 재므로, 시계 방향으로 사분의 일 바퀴는 $-90^\circ$이다. 40도 15분 36초인 각은 각 수 뒤에 도의 기호를, 분에는 아포스트로피 하나를, 초에는 둘을 써서 줄여 쓰는데, 도로 나타내면 아래와 같고, 즉 40.26도이다.

그러나 수 $360$은 약속일 뿐이다. 원의 기하학에서 그것을 다른 수와 구별해 주는 것은 아무것도 없다. 원 자체에서 생겨나는 방법으로 각을 재면 호의 길이와 부채꼴의 넓이의 공식, 그리고 나중에는 삼각함수의 공식도 간단해진다.

라디안

착상은 꼭짓점을 중심으로 하는 원(반지름은 $1$)에서 각이 대하는 호의 길이로 그 각을 재는 것이다. 이를 위해서는 호의 길이가 무엇인지 알아야 하는데, 여기서 어려움이 나타난다. 호는 선분들의 합집합이 아니며, 그 길이는 호에 내접하는 꺾은선의 변을 점점 짧게 할 때 그 길이들이 가까워지는 값으로, 즉 극한으로 정의된다. 그 연구는 미적분학 II 강좌에서 다루며, 거기서 곡선의 길이와 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 계산한다. 여기서는 아래의 사실들을 받아들인다.

증명 없이 받아들이는 사실 (원에서의 길이와 넓이). 원의 모든 호는 길이를 가지며, 선분과 호로 둘러싸인 모든 영역은 넓이를 가진다. 합동인 도형은 같은 길이 또는 같은 넓이를 가진다. 한 도형이 서로 겹치지 않는 두 도형으로 분해되면 그 크기는 두 부분의 크기의 합이다. 한 영역이 다른 영역을 포함하면 그 넓이는 더 작지 않고, 그 차가 어떤 원판을 포함하면 더 크다. 또한 두 원의 반지름이 $r$과 $R$일 때, 같은 중심각이 그 원들에서 대하는 호는 반지름에 비례하며, 반지름이 $r$인 원판의 넓이는 $\pi r^2$이다.

이 사실은 증명 없이 받아들인다. 호의 길이와 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 극한으로 정의되고 적분으로 계산되기 때문이며, 이는 미적분학 II 강좌에서 한다. 그 마지막 부분은 수 $\pi$를 이미 알고 있다고 가정하므로, 이제 이를 정의한다. 수 $\pi$는 단위원의 둘레의 길이의 절반, 즉 반지름이 $1$인 원의 둘레의 길이의 절반이다. 호가 반지름에 비례한다는 것을 한 바퀴의 각에 적용하면, 반지름이 $r$인 원의 둘레의 길이는 $2\pi r$이고, 임의의 원의 둘레의 길이와 그 지름의 비는 항상 $\pi$이다. 또한 $\pi$가 무리수이며 그 소수 표현이 3.14159로 시작한다는 것도 받아들인다. 특히 $3 < \pi < 4$이다.

각을 재려면 또한 원을 호의 길이에 따라 이동할 수 있어야 한다. 즉 한 점에서 출발하여 원 위를 주어진 길이만큼 한쪽 방향 또는 다른 쪽 방향으로 나아가, 어느 점에 이르는지 알아야 한다. 이 단원이 각과 삼각함수에 관해 말하는 모든 것은 이 이동에 바탕을 두고 있으므로, 이에 관해 무엇을 받아들이는지 정확히 진술해 두는 것이 좋다. 진술은 좌표평면에서, 단위원 $x^2 + y^2 = 1$과 그 위의 점 $A = (1, 0)$에 대해 한다. 도형을 움직여도 길이는 변하지 않으므로, 반지름이 $1$인 임의의 원과 임의의 출발점에 대해서도 똑같이 성립한다.

공리 (호의 길이에 따른 이동). 각 실수 $s$에 대하여 단위원 위의 점 $P(s)$가 단 하나 존재하는데, 이는 $A = (1, 0)$에서 출발하여 원 위를 길이 $\abs{s}$만큼, $s > 0$이면 시계 반대 방향으로, $s < 0$이면 시계 방향으로, 필요한 만큼 여러 바퀴를 돌면서 나아갈 때 이르는 점이다. $s = 0$일 때는 $P(0) = A$이다. 이 이동은 아래의 네 가지 성질을 가진다.

1. 이어 붙이기: 점 $P(s)$에서 길이 $t \geq 0$만큼 시계 반대 방향으로 나아가면 $P(s + t)$에 이르고, 시계 방향으로 나아가면 $P(s - t)$에 이른다.
2. 주기성: 어느 방향이든 한 바퀴는 원의 길이 $2\pi$만큼 나아가 출발점으로 돌아온다. 즉 $P(s + 2\pi) = P(s)$가 모든 실수 $s$에 대하여 성립한다.
3. 반 바퀴: 시계 반대 방향의 이동은 먼저 위쪽 반원을 오른쪽에서 왼쪽으로 지난다. 정확히 말하면 $P(\pi) = (-1, 0)$이고, $0 \leq s < t \leq \pi$이면 점 $P(s)$와 $P(t)$의 세로 좌표는 음이 아니며, $P(s)$의 가로 좌표는 $P(t)$의 가로 좌표보다 크다.
4. 덮음: 단위원의 모든 점은 $P(s)$이다. 단, $s$는 어떤 실수이다.

이 공리는 위의 사실과 같은 이유로 증명 없이 받아들인다. 호의 길이는 극한으로 정의되고, 그 성질은 미적분학 II 강좌에서 증명된다. 원을 따라 이동할 때 어떤 점도 건너뛰지 않는다고 주장하는 덮음 성질은, 또한 연속함수의 중간값 성질에 바탕을 두며, 이 성질은 미적분학 I 강좌에서 증명된다. 반 바퀴의 성질에는 간단한 기하학적 해석이 있다. $(x, y)$가 단위원 위에 있으면, 점 $A$까지의 거리의 제곱은 아래와 같다.

따라서 위쪽 반원을 따라 가로 좌표가 순감소한다는 것은 $A$와 이동으로 도달한 점을 잇는 현이 호와 함께 순증가하여 반 바퀴 끝에서 지름이 된다는 것과 동치이다. 삼각비에 관한 수업에서 $s$의 코사인을 $P(s)$의 가로 좌표로 정의하면, 이 성질은 코사인이 $\icc{0}{\pi}$에서 순감소한다는 것을 말해 준다. 이 단조성은 이끌어 낸 것이 아니라, 좌표로 읽은 반 바퀴 조항 그 자체이다. 그런데 이 공리와, 길이와 넓이에 관한 사실들과, 곧이어 받아들일 대칭이동에 관한 사실로부터, 이동에 관해 사용하는 나머지 모든 것이 유도된다. 이 수업에서는 두 번째 반 바퀴에서의 성질과 한 바퀴가 같은 점을 두 번 지나지 않는다는 것이, 역삼각함수에 관한 수업에서는 사인과 탄젠트의 단조성이 그러하다.

증명 없이 받아들이는 사실 (대칭이동과 반 바퀴 회전). 직선에 대한 대칭이동은 거리를 보존하고, 그와 함께 호의 길이도 보존하지만, 회전 방향을 뒤집는다. 즉 그 직선 위의 점을 중심으로 하는 원의 시계 반대 방향 이동을 같은 길이의 시계 방향 이동으로 옮기며, 그 역도 마찬가지이다. 한 점을 중심으로 하는 반 바퀴 회전은 그 점을 지나는 서로 수직인 두 직선에 대한 대칭이동의 합성이며, 거리와 길이, 그리고 회전 방향도 보존한다.

이 사실은 평면의 운동에 관한 초등기하학에 속하며, 이 강좌에서는 다루지 않는다. 좌표로는 $x$축에 대한 대칭이동이 변환 $(x, y) \mapsto (x, -y)$이다. 이것은 단위원을 자기 자신으로 옮기는데, $x^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$이기 때문이다. 또 점 $A = (1, 0)$를 고정한다. 이를 이용하면 이동의 두 번째 반 바퀴를 첫 번째 반 바퀴로부터 얻는다.

단위원의 중심 $O$를 꼭짓점으로 하는 유향각을 생각하고, $A$를 시초선이 그 원과 만나는 점이라 하자. 변이 회전하면 점 $A$는 위의 공리에서처럼 원의 호를 따라 이동한다. 각의 호도법으로 나타낸 크기는 그 호의 길이에, 회전이 시계 반대 방향이면 양의 부호를, 시계 방향이면 음의 부호를 붙인 것이다. 회전이 여러 바퀴를 돌면 한 바퀴마다 원의 길이 $2\pi$가 더해진다.

라디안으로 잰 각은 단위가 없는 실수이다. 그것은 호의 길이와 반지름의 길이의 비이며, 반지름의 길이는 $1$이다. 그래서 2라디안인 각에 대해서는 간단히 $\theta = 2$라고 쓰고, 단위를 강조하고 싶을 때는 2 rad라고 쓴다. 반면 도로 나타낸 크기에는 항상 그 기호를 붙인다. $30^\circ$에서처럼 말이다. 역으로 모든 실수는 어떤 유향각의 크기이다. 이동의 공리에 의해 각 $\theta$에 대하여 점 $A$는 원 위를 길이 $\abs{\theta}$만큼, $\theta$의 부호가 나타내는 방향으로, 필요한 만큼 여러 바퀴를 돌면서 이동할 수 있으며, 꼭짓점에서 도달한 점으로 향하는 반직선이 동경이 된다.

도와 라디안 사이의 환산

한 바퀴는 $360^\circ$이며 또한 $2\pi$라디안이고, 두 크기는 모두 각이 단위원에서 대하는 호의 길이에 비례하므로(도는 도의 정의에 의해, 라디안은 그것이 바로 그 길이이므로), 한 각의 두 크기는 비례한다.

실제로 도를 라디안으로 바꾸려면 $\frac{\pi}{180}$을 곱하고, 라디안을 도로 바꾸려면 $\frac{180}{\pi}$를 곱한다. 그러므로 $225^\circ = \frac{5\pi}{4}$, $-60^\circ = -\frac{\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$이다. $2$라디안인 각은 $\frac{360}{\pi}$도, 약 114.6도이다.

호의 길이와 부채꼴의 넓이

반지름이 $r$인 원에서 중심각 $\theta$는 호에 대하며, 각의 두 변과 그 호는 부채꼴을 둘러싼다. 호도법으로 나타낸 크기는 그 공식에 특히 간단한 형태를 준다.

각을 도로 잰다면 공식에 환산 계수가 들어간다. 호는 $\frac{\pi r g}{180}$, 부채꼴의 넓이는 $\frac{\pi r^2 g}{360}$이 된다. $s = r\theta$의 간단함이 라디안을 선호하는 주된 이유이다. 또한 이 공식은 단위원에서뿐 아니라 임의의 원에서 각의 크기를 준다. $\theta = \frac{s}{r}$는 호와 반지름의 비이며, 선택한 반지름에 의존하지 않는다.

원주각

꼭짓점이 원의 중심에 있는 각을 중심각이라 한다. $A$, $B$, $C$가 원 위의 서로 다른 세 점일 때, $C$에서 현 $CA$와 $CB$가 이루는 각을 원주각이라 하며, 그 각은 양 끝이 $A$와 $B$이고 $C$를 포함하지 않는 호에 대한다고 한다. 위의 정리에 의해, 길이가 $s$인 호(반지름이 $r$인 원의 호)에는 $\frac{s}{r}$라디안인 중심각이 대응하며, 이 수가 $\pi$를 넘더라도 그러하다. 원주각을 중심각과 비교하기 위해 초등기하학의 아래 사실들을 받아들인다. 이 강좌는 종합기하학을 다루지 않으므로 이를 증명하지 않는다. 처음 두 사실은 삼각형의 각을 재고, 나중의 두 사실은 위치에 관한 사실로서, 반직선이 각의 내부를 지날 때 각과 호가 어떻게 나뉘는지를 말해 준다.

증명 없이 받아들이는 사실 (삼각형의 각과 원 위의 위치). 아래의 네 가지 주장을 받아들인다. 여기서 방향이 없는 각은 라디안으로 재며, $0$과 $\pi$ 사이의 값을 가진다.

1. 각의 합: 삼각형의 세 각의 합은 평각, 즉 $\pi$라디안이다.
2. 이등변삼각형: 두 변의 길이가 같은 삼각형에서 그 변들과 마주 보는 각은 같다.
3. 이웃한 각의 합: 각의 꼭짓점에서 출발하는 반직선이 그 내부를 지나면, 그 반직선은 각을 두 각으로 나누고, 그 크기의 합은 주어진 각의 크기와 같다.
4. 중심의 위치: $A$, $B$, $C$를 중심이 $O$인 원 위의 서로 다른 세 점이라 하고, $D$를 $C$에서 출발하는 지름의 다른 끝점이라 하자. $O$가 현 $CA$ 위에도 현 $CB$ 위에도 있지 않으면, 두 경우 중 하나가 일어난다. 하나는 $O$가 $C$에서 그 현들이 이루는 각의 내부에 있는 경우로, 이때 $C$에서 $D$로 향하는 반직선은 그 내부를 지나고, $D$는 양 끝이 $A$와 $B$이고 $C$를 포함하지 않는 호 위에 있다. 다른 하나는 $O$가 그 각의 외부에 있는 경우로, 이때 점 $A$와 $B$ 중 하나(이를 $A$라 불러도 된다)는 양 끝이 $D$와 $B$이고 $C$를 포함하지 않는 호 위에 있으며, $C$에서 $A$로 향하는 반직선은 $C$에서 현 $CD$와 $CB$가 이루는 각의 내부를 지난다.

원 위에 있지 않은 점은 현을 다른 각으로 본다. 아래의 결과도 초등기하학에서 받아들인다. 이는 위의 정리와 유클리드의 『원론』 제I권 명제 21로부터 얻어지는데, 이 명제에 따르면 삼각형 내부의 점은 한 변을 마주 보는 꼭짓점보다 더 큰 각으로 본다. 그러나 그 증명에는 그 점에서 출발하는 선분들이 원과 어디서 만나는지 알아야 하며, 이는 이 강좌가 다루지 않는 위치의 문제이다. 이 결과는 역삼각함수에 관한 수업의 마지막 예제에서 사용한다.

증명 없이 받아들이는 사실 (내부의 점과 외부의 점에서 본 각). $A$와 $B$를 원 위의 두 점이라 하고, $\gamma$를 양 끝이 $A$와 $B$이고 꼭짓점이 이들이 정하는 두 호 중 하나 위에 있는 원주각들의 공통 크기라 하자. $Q$가 원 위에 있지 않은 점으로서 직선 $AB$에 대하여 그 호와 같은 쪽에 있으면, $Q$에서 선분 $QA$와 $QB$가 이루는 각은 $\gamma$보다 작고($Q$가 원의 외부에 있을 때), $\gamma$보다 크다(내부에 있을 때).

표준 위치와 동경이 같은 각

강좌 I의 직선의 방정식과 직교좌표계에 관한 수업에서 공부한 좌표평면에서는 각 각에 특별한 위치가 있다.

유향각은 꼭짓점이 원점이고 시초선이 $x$축의 양의 부분일 때 표준 위치에 있다고 한다. 이때 그 동경은 원점에서 출발하여 이동의 공리의 점 $P(\theta)$를 지나는 반직선이다. 이 점은 단위원 $x^2 + y^2 = 1$ 위의 점으로서, $(1, 0)$에서 길이 $\abs{\theta}$의 호를 $\theta$의 부호가 나타내는 방향으로 따라가서 이르는 점이다. 두 각이 표준 위치에서 같은 동경을 가지면 동경이 같은 각이라 한다.

좌표축은 평면을 네 개의 사분면으로 나누며, 이들은 좌표가 양인 점들을 포함하는 사분면부터 시계 반대 방향으로 번호가 매겨진다. 표준 위치에 있는 각은 그 동경을 포함하는 사분면의 각이다라고 한다. 동경이 축 위에 놓이면 그 각을 좌표축 위의 각이라 한다. 점 $P(\theta)$의 좌표는 $\theta$의 코사인과 사인이며, 이것들은 이어지는 삼각비에 관한 수업에서 공부한다.

어느 방향이든 한 바퀴는 이동의 주기성에 의해 변을 원래 위치로 되돌린다. 각 $\theta + 2\pi$는 $\theta$와 동경이 같고, $\theta - 2\pi$, $\theta + 4\pi$, 그리고 일반적으로 $\theta + 2k\pi$(단, $k$는 정수)도 마찬가지이다. 따라서 임의의 각이 어디서 끝나는지 알려면 한 바퀴들을 덜어 내면 된다. 강좌 I의 나누어떨어짐과 나머지가 있는 나눗셈에 관한 수업에서 제수의 배수를 덜어 낸 것과 같다. 아래의 정리는 그 나눗셈의 실수판이다. 제수는 $2\pi$, 몫은 바퀴 수, 나머지는 남는 각이다.

수 $\theta_0$을 $\theta$의 첫 바퀴로의 환원이라 한다. 도에서는 $360$을 $2\pi$ 대신 쓴 같은 추론으로, 임의의 각을 $0^\circ$와 $360^\circ$ 사이(후자는 제외)의 각으로 환원한다. 예를 들어 $1000^\circ = 280^\circ + 2 \cdot 360^\circ$이다. 환원을 이용하면 같은 변에서 끝나는 모든 각을 알아볼 수 있다. 그 전에 한 바퀴가 같은 점을 두 번 지나지 않는다는 것을 알아야 하며, 이는 이동의 공리로부터 유도된다.

이로부터 $\theta$와 동경이 같은 각은 정확히 $\theta + 2k\pi$(단, $k$는 정수) 꼴의 각이며, 각의 사분면은 그 환원이 결정한다는 것이 따른다. $0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$이면 제1사분면의 각, $\frac{\pi}{2} < \theta_0 < \pi$이면 제2사분면의 각, $\pi < \theta_0 < \frac{3\pi}{2}$이면 제3사분면의 각, $\frac{3\pi}{2} < \theta_0 < 2\pi$이면 제4사분면의 각이다. $\theta_0$이 $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$ 중 하나이면 좌표축 위의 각이다. 그러므로 $-\frac{23\pi}{6}$은 제1사분면의 각이고, $1000^\circ$(그 환원은 $280^\circ$)는 제4사분면의 각이다.

끝으로, 단위원의 모든 점은 어떤 각의 점 $P(\theta)$이다. 이는 이동의 공리의 덮음 성질로서, $(1, 0)$에서 원을 따라 이동하면 그 모든 점을 지난다는 것을 말한다. 그렇다면 첫 바퀴로의 환원, 주기성, 동경이 같은 각에 관한 보조정리에 의해, 단위원의 각 점은 $P(\theta)$이며, 여기서 $\theta$는 $\ico{0}{2\pi}$ 안의 유일한 값이다. 그 점에 대응하는 각은 정확히 그 $\theta$와 동경이 같은 각들이다.

각속도와 선속도

물체가 한 축을 중심으로 회전할 때, 그 모든 점은 축 위에 중심을 둔 원의 호를 그리며, 모든 점이 같은 시간 동안 같은 각만큼 돈다. 시간 $t$ 동안 물체가 일정한 빠르기로 각 $\theta$만큼 회전하면, 그 각속도는 비 $\omega = \frac{\theta}{t}$이며, 초당 라디안으로 잰다. 분당 회전수로도 나타내며, 1회전은 $2\pi$라디안이고 1분은 $60$초이므로, 분당 1회전은 초당 $\frac{\pi}{30}$라디안과 같다.

축에서 거리 $r$에 있는 점은 그 시간 동안 호의 길이의 정리에 의해 길이가 $s = r\theta$인 호를 지난다. 따라서 그 선속도, 즉 이동한 거리와 시간의 비는 반지름과 각속도의 곱이다.

이로부터 회전하는 물체에서 각속도는 모든 점에서 같지만, 선속도는 축까지의 거리에 비례하여 커진다는 것이 따른다. 회전하는 원판의 가장자리는 중심에 가까운 점들보다 빨리 움직인다. 이 관계는 각을 라디안으로 잴 때에만 성립하며, 역학의 기초 강좌에서 원운동을 공부하는 출발점이 된다. 미끄러지지 않는 벨트나 체인으로 연결된 두 바퀴, 또는 서로 맞물리는 두 바퀴는 접점에서 같은 선속도를 가진다. 따라서 $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$이고, 작은 바퀴가 더 빨리 돈다. 이는 예제 3에서 보게 된다.

예제

예제에서는 한 각으로부터 지구를 재고, 활꼴의 넓이를 계산하며, 체인으로 회전을 전달하고, 둘레가 주어졌을 때 넓이가 최대인 부채꼴을 찾으며, 시계 바늘이 겹치는 횟수를 센다. 각 문제에는 고유한 착상이 필요하며, 풀이를 읽기 전에 그것을 찾아보는 것이 좋다.

에라토스테네스는 거리를 스타디온으로 나타냈는데, 그 정확한 값에 대해서는 논란이 있다. 여기서 채택한 수치로는 자오선의 길이가 40000 km가 되는데, 이는 우연이 아니다. 18세기 말에 미터는 자오선의 사분의 일의 천만분의 일로 정의되었다. 한편 알렉산드리아는 시에네의 정확히 북쪽에 있지 않고 약 삼 도 서쪽에 있으므로, 두 도시를 잇는 호는 완전한 자오선의 호가 아니다.