自然言語の形式化

言明から論理式へ

命題論理の言語の課では、意味をもたない言語を構成した。白丸と黒丸の記号列、一つの形成規則、そしていくつかの略記である。論理式に関する帰納法の課では、どの論理式もただ一通りに読まれることを証明した。ところで、この言語はある目的のために作られた。日常生活、科学、法、数学においてわれわれが推論に用いる言明の形を表し、推論の正しさをその主題にかかわりなく形そのものにおいて研究できるようにするためである。この課は二つの世界のあいだに橋を架ける。それは機械的な橋ではない。自然言語は豊かで、曖昧で、文脈に依存し、形式言語は貧しく、正確で、融通がきかない。このことから、形式化するとは解釈することであり、どの形式化にも理由づけが必要であることが帰結する。

この課でいう言明とは、その文脈において真または偽である平叙文のことである。たとえば「海抜ゼロメートルで水は百度で沸騰する」、「花子は遅刻した」、「$7$ は素数である」。疑問、命令、願望（「花子は遅刻したか」、「ドアを閉めなさい」、「雨が降ればいいのに」）は言明ではない。言明は、「〜ない」、「そして」、「または」、「ならば」のような語で結ばれた別の言明を含むとき複合的であり、そのように分解されないとき原子的である。命題論理は原子的言明の内部を分析しない。命題論理にとって「花子は遅刻した」は分割できない一片であり、真か偽であることしかできない。

文字の規約

基本言語の論理式は白丸と黒丸の記号列である。$n$ 番目の変数は $v_n = \sigO^{n}\sigI$、すなわち $n$ 個の白丸のあとに黒丸が一つ続くものである。このような記号列を書くのは確実だが骨が折れるので、形式化には短い名前があると都合がよい。そこで次の規約を採用する。これは、特に断らない限り、この課とコースの残りの部分で有効である。

そうであれば、ラテン文字 $p$、$q$、$r$、$s$、$t$ は五つの定まった変数の名前である。ちょうど $7$ が定まった数の名前であるのと同じように、$p$ は変化せず、つねに記号列 $\sigO\sigI$ を指す。これに対してギリシア文字 $\varphi$、$\psi$、$\chi$、$\theta$ は、言語の課と同じく、引き続きメタ変数である。それらは任意の論理式を表し、それらを用いて書かれた式、たとえば $(\varphi \downarrow \psi)$ は、無限に多くの論理式を包括する図式である。このことから重要な違いが生じる。$(p \downarrow q)$ はただ一つの論理式、すなわち記号列 $\sigI\sigO\sigI\sigO\sigO\sigI$ である。$(\varphi \downarrow \psi)$ は論理式の形であり、$(p \downarrow q)$、$(p \downarrow p)$、$(q \downarrow (p \downarrow r))$ はその事例である。$p$ と $q$ をメタ変数として使う本もあるが、ここではそうしない。形式化においては、異なる二つの文字が確実に異なる変数を指すことが必要であり、メタ変数はその保証を与えないからである。$\varphi$ と $\psi$ が同じ論理式を表すことを妨げるものは何もない。

形式化の辞書

言明を形式化することは三つの操作からなる。原子的言明を特定すること、それぞれに変数を割り当てること、そして結合子を用いて複合的言明を再構成することである。第二の操作における割り当てを形式化の辞書といい、つねに明示しなければならない。辞書がなければ論理式は何も語らないからである。辞書は二つの規則に従う。同じ原子的言明にはつねに同じ変数を割り当て、異なる原子的言明には異なる変数を割り当てる。第一の規則は、論理式がテキストの繰り返しを記録することを保証し、第二の規則は、テキストが主張していない同一性を論理式がでっち上げないことを保証する。